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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)3.5


讲案 3.5 数列的实际应用 课前自主研习 温故而知新 可以为师矣 知 识 导 读 1.数列应用题解答思路框架及一般 步骤 思路框架如下表:

一般步骤: (1)审题; (2)建立数学模型; (3)求解; (4)检验. 2.数列应用题常见模型 (1)复利公式 按复利计算利息的一种储蓄,本金 为 a 元,每期利率为 r,存期为 x,则本 利和 y=_______

_____________. (2)产值模型 原来产值的基础数为 N,平均增长 率为 p,则时间 x 的总产值 y=

____________________. (3)单利公式 利息按单利计算,本金为 a 元,每 期利率为 r,存期为 x,则本利和 y= ____________________. 导读校对:2.(1)a(1+r)x (2)N(1+ p)x (3)a(1+xr). 基 础 热 身 1.一种专门占据内存的计算机病毒 开始时占据内存 2 KB,然后每 3 分钟自 身复制一次, 复制后所占内存是原来的 2 倍,那么开机后________分钟,该病毒 占据 64 MB.(1 MB=210 KB)( ) A. 45 B. 48 C. 51 D.42 解析:由题意可得每 3 分钟病毒占 的内存容量构成一个等比数列,令病毒 占据 64 MB 时自身复制了 n 次, 2×2n 即 =64×210=216,解得 n=15,从而复制 的时间为 15×3=45(分钟). 答案:A 2.A、B 两个工厂 2005 年元月份的

产值相等,A 厂的产值逐月增加且每月 增加的产值相同,B 厂产值也逐月增加 且月增长率相同,而 2006 年元月份两厂 的产值又相等,则 2005 年 7 月份产值高 的工厂是__________. 解析:设两工厂的月产值从 2005 年 元月起依次组成数列{an},{bn}. 由题意知{an}成等差数列, n}成等 {b 比数列, 并且 a1=b1, 13=b13, a 由于{an} 成等差数列, a1+a13 ∴a7= 2 . ∵{bn}成等比数列且 bn>0,∴b7= b1b13= a1a13. a1+a13 有 2 > a1a13 (a1≠a13),∴a7 > b7. 即 A 厂 2005 年 7 月份产值高于 B 厂. 答案:A 厂 3. 甲、 乙两物体分别从相距 70m 的 两处同时相向运动,甲第 1 分钟走 2m, 以后每分钟比前 1 分钟多走 1m, 乙每分

钟走 5m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即 折返, 甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1m, 乙继续每分钟走 5m, 那么开始运动几分 钟后第二次相遇? 解析:(1)设 n 分钟后第 1 次相遇, n?n-1? 依题意,有 2n+ 2 +5n=70. 整理得 n2+13n-140=0.解得 n= 7,n=-20(舍去). 第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟. (2)设 n 分钟后第 2 次相遇, 依题意, 有 n?n-1? 2n+ 2 +5n=3×70, 整理得 n2+13n-6×70=0. 解得 n=15,n=-28(舍去). 第 2 次相遇是在开始运动后 15 分 钟. 4.学校餐厅每天供应 1000 名学生 用餐, 每周星期一有 A、 两种菜谱可供 B

选择(每人限选一种),调查资料表明:凡 是在星期一选 A 菜谱的人,下周一会有 20%的人改选 B 菜谱, 而选 B 菜谱的人, 下周一会有 30%的人改选 A 菜谱. 试证明:不论原来选 A 菜谱的人数 有多少,随着时间的推移,选 A 菜谱的 人数将趋近于 600 人. 证明: An 和 Bn 分别表示第 n 周星 设 期一选 A 菜谱和 B 菜谱的人数,且 A1= a. 4 3 根 据 题 意 , 得 An + 1 = 5 An + 10 Bn(n∈N*). ∵An+Bn=1000, 即 Bn=1000-An. 4 3 ∴An+1=5An+10(1000-An), 1 即 An+1=2An+300. 1 1 则 An + 1 -600= 2 An -300= 2 (An - 600). ∴{An-600}是首项为 a-600, 公比

1 为2的等比数列. 1 n-1 故 An-600=(a-600)·2) . ( 1 n-1 ∴An=(a-600)(2) +600. 则limAn=600, n→∞ ∴随着时间的推移,选 A 菜谱的人 数将趋近于 600 人. 思维互动启迪 博学而笃志 切问而近思 疑难精讲 1.建立数学模型的一般方法步骤是: (1)认真审题,准确理解题意,达到 如下要求: ①明确问题属于哪类应用问题; ②弄清题目中的主要已知事项; ③明确所求的结论是什么. (2)抓住数量关系,联想数学知识和 数学方法,恰当引入参数变量或适当建 立坐标系,将文字语言翻译成数学语言,

将数量关系用数学式子表达. (3)将实际问题抽象为数学问题,将 已知与所求联系起来,据题意列出满足 题意的关系式(如函数关系式或方程或 不等式). 2.建立数列模型时,应明确是等差 数列模型还是等比数列模型,还是递推 数列模型. 互动探究 题型 1 等差数列模型应用题 例 1.铜片绕在盘上,空盘时盘心直 径 80 mm,满盘时直径 160 mm.已知铜 片的厚度是 0.1 mm,那么满盘时一盘铜 片共有多长? 【思维点拨】 要求铜片的总长, 需要解决两个问题:铜片一共绕了多少 圈?每一圈有多长?对于第一个问题, 由空盘、满盘的直径以及铜片厚度可以 解决.对于第二个问题,由于各圈长度 不等,需要分析每圈长度之间的关系. 【解析】 铜盘一共绕的圈数为 n

80 =0.2=400(圈).每一圈近似一圈,且其 半径组成一个以 0.1 mm 为公差的等差 数列,所以各圈长度形成一个首项为 80.1π,公差为 0.2π 的等差数列,其和为 1 S = 80.1πn + 2 n(n - 1)×0.2π = 48000π(mm)≈150(m).

题型 2 等比数列模型应用题 例 2 某市 2003 年共有 1 万辆燃油型 公交车,有关部门计划于 2004 年投入 128 辆电力型公交车, 随后电力型公交车 每年的投入比上一年增加 50%,试问: (1)该市在 2010 年应该投入多少辆 电力型公交车? (2)到哪一年底,电力型公交车的数 1 量开始超过该市公交车总量的3? 【解析】 (1)该市逐年投入的电力 型公交车的数量组成等比数列{an}, 其中 a1=128,q=1.5.则在 2010 年应该投入

的电力型公交车为 a7=a1q6=128×1.56=1458(辆). (2)记 Sn=a1+a2+…+an,依据题 1 Sn 意,得 >3?Sn>5000. 10000+Sn 128?1-1.5n? 于是 Sn = >5000,即 1-1.5 657 n 1.5 > 32 经验证,n≥8. ∴到 2011 年底,电力型公交车的数 1 量开始超过该市公交车总量的3. 题型 3 数列递推关系的应用题 例 3 有人玩掷硬币走跳棋游戏.已 1 知硬币出现正、 反面的概率都是2.棋盘上 标有第 0 站,第 1 站,第 2 站,…,第 100 站, 一枚棋子开始在第 0 站. 棋手每 掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷 出正面,则棋子向前跳动一站;若掷出 反面,则棋子向前跳动两站,直到棋子

跳到第 99 站(胜利大本营)或第 100 站(失 败大本营)时,游戏结束.设棋子跳动到 第 n 站的概率为 Pn. (1)求 P0,P1,P2; 1 (2)求证:Pn-Pn-1=-2(Pn-1-Pn- 2); (3)求 P99 及 P100. 1 1 【解析】 (1)P0=1,P1=2,P2=2 1 1 3 ×2+2=4. (2) 证 明 : 棋 子 跳 到 第 n 站 (2≤n≤99),必是从第 n-1 站或第 n-2 Pn-2 Pn-1 站跳到的概率为 Pn= 2 + 2 . 1 所以 Pn-Pn-1=-2(Pn-1-Pn-2). (3)由(2)知数列{Pn+1-Pn}是首项为 1 1 P1-P0=-2,公比为-2的等比数列, 该数列的前 99 项和可由 P1-P0,P2- P1,…,P99-P98 相加而得.

1 1 2 P99 -1=(- 2 )+(- 2 ) +…+(- 1 99 2) , 2 1 100 所以 P99=3[1-(2) ], 1 99 2 1 99 P98=P99-(-2) =3[1+(2) ], 1 1 1 99 ∴P100=2P98=3[1+(2) ]. 错解辨析 例 4 一个球从 100 米高处自由落下, 每次着地后又跳回到原高度的一半落 下,当它第 10 次着地时,共经过了多少 米? 【错解】 因球每次着地后跳回到 原高度的一半,从而每次着地之间经过 1 的路程形成一公比为2的等比数列,又第 一次着地时经过了 100 米,故当它第 10 次着地时,共经过的路程应为其前 10 项

之和.即: 1 10 100[1-?2? ] S10= ≈199(米) 1 1-2 【错因】 上述解法中,忽略了球 落地一次的路程有往有返的情况. 【正解】 球第一次着地时经过了 100 米, 从这时到球第二次着地时, 一上 100 一下共经过了 2× 2 =100(米),从这时 100 到 球 第 三 次 着 地 时 经 过 了 2× 22 = 50(米)……因此到球第十次着地时共经 过的路程为: 100 100 100 100+100+ 2 + 22 +…+ 28 可见从第一次着地开始,每一次着 地经过的路程形成一等比数列,故到球 第 10 次着地时总共经过的路程为:

19 100[1-?2? ] 100+ ≈300 米. 1 1-2


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