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2015-2016学年高中数学 第二讲 参数方程本讲小结 新人教A版选修4-4


2015-2016 学年高中数学 第二讲 参数方程本讲小结 新人教 A 版选 修 4-4
一、基本内容简介 1.参数方程.

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2.几种常见曲线的参数方程及相应的普通方程: (1)过点 M(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l:
?x=x0+tcos α , ? ? (t 为参数).

? ?y=y0+tsin α

普通方程:y-y0=tan α (x-x0)或 x=x0.

t 的几何意义: 直线 l 上任一点 P(不同于 M 点)为终点, M 为起点的有向线段 MP 的长度.
(2)以原点为圆心,半径为 r 的圆:
? ?x=rcos φ , ? (φ 为参数). ?y=rsin φ ?

普通方程:x +y =r . (3)中心在原点,长轴长为 2a,短轴长为 2b,焦点在 x 轴上的椭圆:

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3

?x=acos φ , ? ? (φ 为参数). ? ?y=bsin φ

普通方程: 2+ 2=1(a>b>0). (4)中心在原点,实轴长为 2a,虚轴长为 2b,焦点在 x 轴上的双曲线:
? ?x=asec φ , ? (φ 为参数). ?y=btan φ ?

x2 y2 a b

普通方程: 2- 2=1(a>0,b>0). (5)顶点在原点,x 轴为对称轴,开口向右且焦点到准线的距离为 p 的抛物线:
?x=2pt , ? ? (p>0,t 为参数). ?y=2pt ?
2

x2 y2 a b

普通方程:y =2px(p>0). (6)圆的渐开线方程:
? ?x=r(cos φ +φ sin φ ), ? (φ 为参数). ?y=r(sin φ -φ cos φ ) ?

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(7)摆线的参数方程:
?x=r(φ -sin φ ), ? ? (φ 为参数). ?y=r(1-cos φ ) ? ? ?x=x0+at, ?y=y0+bt, ?

? 3. 直线参数方程的一般形式及应用: 过定点 M(x0, y0)的直线 l 的一般形式:

其中 t 为参数,a、b 为常数且满足 a +b ≠0.当 a +b =1 时,t 才具有几何意义. ①求直线 l 被二次曲线 f(x,y)=0 截得的弦长|PQ|. 将直线 l 的参数方程代入曲线方程得到关于 t 的二次方程:

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At2+Bt+C=0(A≠0),
则|PQ|= a +b ·
2 2

B2-4AC . |A|

②普通方程:当 a=0 时,x=x0; 当 a≠0 时,y-y0= (x-x0). 二、学习参数方程重点注意的几点 1.关于参数方程的学习,首先要正确理解曲线的参数方程的概念,注意掌握课本中讲

b a

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到的曲线的参数方程、直线的参数方程、圆的参数方程、椭圆的参数方程(这三个内容新教 材中也有)、双曲线的参数方程、抛物线的参数方程. 2.由于同学们对曲线的普通方程有着较深刻的理解和掌握,因此要善于消去参数,把 参数方程化为普通方程,进而可以再研究曲线的几何性质.消去参数的常用方法有:①代入 消参法;②三角消参法;③根据参数方程的特征,采用消参的手段. 3.参数方程的一个优点是曲线上的动点坐标(x,y)中的 x 和 y 分别用第三个变量 t 来 表示,因此在利用参数方程解答数学问题时就可以消去 x 和 y,转化为 t 的方程或 t 的函数 问题了. 4.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用,要注意合理选参、巧妙消参. 5.参数既是刻画变化状态的工具,又是揭示问题中内在联系的媒介,确立参数思想是 提高数学能力的 重要环节,一些解析几何问题,适当地引进参数后,问题的难度明显降低.但参数方程 只是曲线方程多种形式的一种,利用参数方程研究曲线或建立轨迹参数方程有它的简便之 处,但也不是任何问题参数法就比其他解法优越,因此,复习中应要求恰当,既不能简单处 理,也不宜要求过高. 在求动点轨迹方程的综合问题中,常用参数法.其步骤为: (1)选参数并确定参数的取值范围; (2)建立参数与 x、y 的函数关系; (3)消参数并整理得普通方程. 6.在选择参数时,要注意以下几点: (1)参数应与动点坐标 x、y 有直接关系,且 x、y 便于用参数表示. (2)选择的参数要便于使问题中的条件解析化. (3)对于所选定的参数,要注意其取值范围,并能确定参数对 x、y 取值范围的制约. (4)若求轨迹,应尽量使所得的参数方程便于消去参数得普通方程. 7.提高利用转化解题的意识. 建立曲线方程时,可先引入参数,建立起参数方程,再化为普通方程;同样地,在根据 参数方程确定曲线的形状和研究性质时, 又往往化为普通方程来求解. 这一转化过程能降低 解题难度,是一个有效的过程,在解题时应善于应用.

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