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山东省莱芜市第一中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题


高二理科数学试题
2013.1 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.考生务必用黑色 0.5mm 签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、座号填写在答卷纸和答题卡上,并 将答题卡上的准考证号、考试科目及试卷类型用 2B 铅笔涂写。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑

。如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其他答案;第Ⅱ卷一律答在答卷纸上,答在其它地方无效。 3.试题不交,请妥善保存,只交答卷纸和答题卡。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的。

3] 上任取一个实数 x ,则 1.5 ? x ? 2 的概率等于 1.在区间 [1,
A.

2 3

B.

1 2

C.

1 3
2

D.

1 4

2.下列命题中,真命题是

1 ?0 4 ? x2 ?1 ? 0 C. ?x ? R ,
A. ?x ? R , x2 ? x ?

B. ?x0 ? R , x0 ? x0 ? ?1 D. ?x0 ? R , x0 ? 2 x0 ? 2 ? 0
2

3.直线 x ? 2 y ? 0 与直线 2 x ? 4 y ? a ? 0 的距离为 5 ,则 a 的值为 A. ? 5 B. ? 10 C.10 D. 2 5

4.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. y ?
1 x3

B. y ? tan x

C. y ? 3 x

D. y ? lg x

5.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的 两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的体积是 A.
正视图 侧视图

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.1
俯视图 (第 5 题图)

6.在等差数列 {an } 中,已知 a5 ? a7 ? 14 ,则该数列前 11 项和 S11 ? A.196 7.若双曲线 B.132 C.88 D.77

x2 y2 1) 在其渐近线上,则双曲线的方程为 ? ? 1 的焦距为 10,点 P(?2 , a2 b2
B.

A.

x2 y2 ? ?1 80 20

x2 y2 ? ?1 20 80

C.

x2 y2 ? ?1 20 5

D.

x2 y2 ? ?1 5 20

8. “ a ? 1 ”是“直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? (a ? 1) y ? 3 ? 0 平行”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 9.方程 ( x ? y) 2 ? ( xy ? 1) 2 ? 0 表示的图形是 A.两条直线 B.两条双曲线 C.两个点

D.既不充分也不必要条件

D.一条直线和一条双曲线

10.已知直线 ax ? by ? c ? 0(abc ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相离,则三条边长分别为 | a | 、 | b | 、 | c | 的三角形是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上均有可能

11.已知一个四面体其中五条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 ,则此四面体体积的最大值是 A.

3 12

B.

2 12

C.

2 4

D.

3 3

c ? a) 交于点 M ,椭圆 C 以 A 为左顶点, 12.已知直线 y ? k ( x ? a) (a ? 0) 与 x 轴交于点 A ,与直线 x ? c (c ? 0 , 0) 为右焦点,且过点 M ,当 以 F (c ,
A. (0 , )

2 3

B. ( , 1)

2 3

1 1 ? k ? 时,椭圆 C 的离心率的范围是 3 2 1 1 2 C. ( , D. ( , ) 1) 2 2 3

[来源:学科网 ZXXK]

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共计 16 分。 13.若 sin ? ? ,则 cos(π ? 2? ) ?

1 3

. .

14.若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点在圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 上,则 p ?

?x ? y ? 2 ? 0) ,则 MN 斜率的取值范围 15.已知不等式组 ? x ? y ? ?2 表示的平面区域为 A ,若 M 是区域 A 上一点, N (?4 , ?y ?1 ?
是 .
[来源:学科网 ZXXK]

16.设 ? ,? 是两个不同的平面, m ,n 是两条不同直线. ①若 m ? ? ,? ? ? ,则 m // ? ②若 m ? ? ,? // ? ,则 m ? ? ③若 m ? ?,n ? ?,m // ?,n // ? ,则 ? // ? ④若 m ? ?,n ? ?,m ? n ,则 ? ? ? 以上命题正确的是

.(将正确命题的序号全部填上)

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 17.(本小题满分12分)
[来源:学科网ZXXK]

1) , B (0 , ? 2) , C ( 4 , 2) , D 为 AB 的中点, DE // BC . 在△ ABC 中,点 A(1,
(Ⅰ)求 BC 边上的高所在直 线的方程; (Ⅱ)求 DE 所在直线的方程. 18.(本小题满分 12 分) 抛物线顶点在坐标原点,焦点与椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点 F 重合,过点 F 斜率为 2 2 的直线与抛物线交于 5 4

A , B 两点.
(Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)求△ AOB 的面积. 19.(本小题满分 12 分) 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC ? AA1 ? 4 ,
C1 B1 A1

AB ? 4 2 ,若 D 是 AB 中点.
(Ⅰ)求证: AC1 ∥平面 B1CD ;

C

(Ⅱ)求异面直线 AC1 和 CD 所成的角. 20.(本小题满分 12 分)

A D (第 19 题图)

B

1) ,被 x 轴截得的弦长为 4 2 . 已知⊙ C 的圆心 C (3 ,
(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A , B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值. 21.(本小题满分13分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形.已知 AP ? PB ? AD ? 2 , PD ? 2 2 . (Ⅰ)求证: AD ? PB ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积 V ; (Ⅲ)设 PC 与平面 ABCD 所成角的大小为 ? ,求 tan ? 的值. 22.(本小题满分 13 分)
B A D P

0) , B(1, 0) ,△ ABC 的周长为 6. 已知点 A(?1,
(Ⅰ)求动点 C 的轨迹 E 的方程;

C (第 21 题图)

0) 的直线 l 与曲线 E 相交于不同的两点 M ,N . (Ⅱ) 设过点 B(1, 若点 P 在 y 轴上, 且 | PM |?| PN | , 求点 P
的纵坐标的取值范围.

高二理科数学参考答案
2013.1 一、选择题:1.D 二、填空题:13. ? 三、解答题: 17. 解: (Ⅰ)因为 A (1,1) , B ( 0,-2), C (4,2), 所以 BC 所在直线的斜率为 1, 所以 BC 边高所在直线的斜率为-1, 所以 BC 边高所在直线的方程为 y ? 1 ? ?1?x ? 1? , 即 x ? y ? 2 ? 0. (Ⅱ)因为 D 为 AB 的中点,所以 D ( ,? ) , 又因为 DE // BC , 所以 DE 所在直线的方程为 y ? 即 x ? y ?1 ? 0 . 18.解: (Ⅰ)由题意可知,椭圆 所以抛物线的方程为 y 2 ? 4 x . (Ⅱ)直线 AB 的方程为 y ? 2 2 ( x ? 1) ,设 A( x1 ,y1 ) , B( x 2 ,y 2 ) ?????????6 分 ?????????2 分 ?????????4 分 2.C 3.B 14. 2 4.A 5.B 6.D 7.C 8.A 9.C 10.C 11.A 12.D

7 9

15. [ , ]

1 1 5 2

16. ②④

1 2

1 2

?????????8 分

1 1 ?x? , 2 2
?????????12 分

x2 y2 ? ? 1 的右焦点 F (1, 0) ,故抛物线焦点 F (1, 0) , 5 4
?????????4 分

? ? y ? 2 2 ( x ? 1) 联立 ? ,消去 x ,得 y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ? 4x

?????????6 分

y1 ? y 2 ? 2 , y1 y 2 ? ?4 ,
因为 S ?AOB ?

| y ? y2 | 1 ? 1? | y1 ? y 2 |? 1 2 2

?????????9 分

由 | y1 ? y 2 |? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 3 2 所以 S ?AOB ?

?????????11 分 ?????????12 分

3 2 2

19.(Ⅰ)证明:连接 BC1 交 B1C 于点 E ,连结 DE ,
B1

C1

A1

? ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,
∴三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧面都是矩形, ∴点 E 是 BC1 的中点, 又? D 是 AB 的中点, ∴ DE // AC1 , 又∵ DE ? 平面 B1CD , AC1 ? 平面 B1CD ∴ AC1 // 平面 B1CD . (Ⅱ)? DE // AC1 , ∴ ?CDE 为异面 直线 AC1 和 CD 所成的角或其补角,
[来源:学,科,网]

E C B D A

?????????2 分

?????????4 分

?????????6 分

?????????7 分

? AC ? BC ? AA1 ? 4,AB ? 4 2 ,
∴三角形 ABC 是直角三角形, ∴ CD ? ?????????8 分

1 1 1 AB ? 2 2,DE ? AC1 ? 2 2,CE ? CB1 ? 2 2 , 2 2 2
?????????11 分 ?????????12 分

∴三角形 CDE 是等边三角形, ∴ ?CDE ?

π . 3

20.解:(Ⅰ)设⊙ C 的半径为 r ,由题意可知 r 2 ? (2 2 ) 2 ? 12 ,得 r ? 3 . 所以⊙ C 的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 . (Ⅱ)设 A ( x1,y1 ) ,B ( x 2,y 2 ) ,

[来源:学科网 ZXXK]

?????????4 分

?x ? y ? a ? 0 联立 ? ,得 2x 2 ? (2a ? 8) x ? a 2 ? 2a ? 1 ? 0 . 2 2 ( x ? 3 ) ? ( y ? 1 ) ? 9 ?
由已知可得,判别式 ? ? 56 ? 16a ? 4a 2 ? 0 .

?????????6 分

x1 ? x 2 ? 4 ? a ,x1 x 2 ?

(a ? 1) 2 2

?????????7 分 ?????????9 分 ?????????10 分

由于 OA⊥OB,可得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , 又 y1 ? x1 ? a,y 2 ? x2 ? a ,所以 2x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 ? 0 所以 2 ?

(a ? 1) 2 ? a(4 ? a) ? a 2 ? 0 2

解得 a ? ?1 ,满足 ? ? 0 , 所以 a ? ?1 21. (Ⅰ)证明:? 底面 ABCD 是矩形, ? AD ? AB ,

?????????11 分 ?????????12 分

? AD ? PA ? 2 , PD ? 2 2 ? AD ? PA, 又? AB ? PA ? A , ? AD ? 平面PAB ? AD ? PB . (Ⅱ)取 AB 的中点 E ,连接 PE,CE , ? PA ? PB ? AB ? 2 ,
? PE ? AB,PE ? 3 ,

?????????1 分 ?????????3 分 ?????????4 分
P

?????????6 分
A E C D

? AD ? 平面PAB,AD ? 平面ABCD ,
? 平面PAB ? 平面ABCD , ? PE ? 平面ABCD , B ? PE 是四棱锥 P ? ABCD 的高, 1 4 3 . ?V ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 3 (Ⅲ)? PE ? 平面ABCD , ? ?PCE 即为 PC 与 平面ABCD 所成的角,

?????????8 分 ?????????9 分

?????????10 分 ?????????11 分 ?????????13 分

? CE ? BC 2 ? BE 2 ? 5
? tan ? ?
PE 3 15 . ? ? CE 5 5

22.解: (Ⅰ)由题意可知, | CA | ? | CB |? 4 , 故动点 C 的轨迹 E 是以 A , B 为焦点的椭圆. 设其方程为 ?????????1 分 ?????????3 分

x2 y2 ? ? 1 ,则 2a ? 4 , a ? 2 , c ? 1 , b ? 3 . a2 b2
x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?2) 4 3

所以椭圆的方程为

?????????4 分 ?????????5 分

(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,满足条件的点 P 的纵坐标为 0 . 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1) ? 联立 ? x 2 得, y2 ? ?1 ? 3 ?4

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 .

? ? 144(1 ? k 2 ) ? 0 .
8k 2 . 3 ? 4k 2

????????? 6 分

设 M ( x1 ,y1 ) , N ( x 2 ,y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

设 MN 的中点为 Q ,则 x Q ?

? 3k 4k 2 y ? k ( xQ ? 1) ? , 2 , Q 3 ? 4k 2 3 ? 4k
?????????9 分

所以 Q(

4k 2 3k , ? ). 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

由题意可知 k ? 0 , 又直线 MN 的垂直平分线的方程为 y ? 令 x ? 0 解得 y P ?

3k 1 4k 2 ? ? ( x ? ). k 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
?????????10 分

k 1 . ? 2 3 3 ? 4k 4k ? k

3 3 ; ? 4 3 ,所以 0 ? y P ? 12 k 3 3 ? yP ? 0 . 当 k ? 0 时,因为 4k ? ? ?4 3 ,所以 ? 12 k 3 3 , ]. 综上所述,点 P 纵坐标的取值范围是 [ ? 12 12
当 k ? 0 时,因为 4k ?

?????????12 分 ? ????????13 分


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