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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)3.5

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课前自主研习
温故而知新 可以为师矣

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/>知 识 导 读 1.数列应用题解答思路框架及一般步骤 思路框架如下表:

一般步骤: (1)审题;(2)建立数学模型;(3)求解;(4)检验. 2.数列应用题常见模型 (1)复利公式 按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r, a(1+r)x 存期为 x,则本利和 y=____________________.
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(2)产值模型 原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p,则时间 x 的总产 N(1+p)x 值 y=____________________. (3)单利公式 利息按单利计算,本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 x,则 a(1+xr) 本利和 y=____________________.

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基 础 热 身 1.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2 KB, 然后每 3 分钟自身复制一次, 复制后所占内存是原来的 2 倍, 那 么 开 机 后 ________ 分 钟 , 该 病 毒 占 据 64 MB.(1 MB = 210 KB)( ) A.45 B.48 C.51 D.42

解析: 由题意可得每 3 分钟病毒占的内存容量构成一个等比 数列, 令病毒占据 64 MB 时自身复制了 n 次, 2×2n=64×210 即 =216,解得 n=15,从而复制的时间为 15×3=45(分钟). 答案:A

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2.A、B 两个工厂 2005 年元月份的产值相等,A 厂的产值 逐月增加且每月增加的产值相同, 厂产值也逐月增加且月增长 B 率相同,而 2006 年元月份两厂的产值又相等,则 2005 年 7 月份 产值高的工厂是__________.

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解析:设两工厂的月产值从 2005 年元月起依次组成数列 {an},{bn}. 由题意知{an}成等差数列,{bn}成等比数列,并且 a1=b1, a13=b13,由于{an}成等差数列, a1+a13 ∴a7= . 2 ∵{bn}成等比数列且 bn>0,∴b7= b1b13= a1a13. a1+a13 有 > a1a13(a1≠a13),∴a7>b7. 2 即 A 厂 2005 年 7 月份产值高于 B 厂. 答案:A 厂

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3.甲、乙两物体分别从相距 70m 的两处同时相向运动,甲 第 1 分钟走 2m,以后每分钟比前 1 分钟多走 1m,乙每分钟走 5m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比 前 1 分钟多走 1m, 乙继续每分钟走 5m, 那么开始运动几分钟后 第二次相遇?

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解析:(1)设 n 分钟后第 1 次相遇, n?n-1? 依题意,有 2n+ +5n=70. 2 整理得 n2+13n-140=0.解得 n=7,n=-20(舍去). 第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟. (2)设 n 分钟后第 2 次相遇,依题意,有 n?n-1? 2n+ +5n=3×70, 2 整理得 n2+13n-6×70=0. 解得 n=15,n=-28(舍去). 第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟.

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4.学校餐厅每天供应 1000 名学生用餐,每周星期一有 A、 B 两种菜谱可供选择(每人限选一种),调查资料表明:凡是在星 期一选 A 菜谱的人,下周一会有 20%的人改选 B 菜谱,而选 B 菜谱的人,下周一会有 30%的人改选 A 菜谱. 试证明: 不论原来选 A 菜谱的人数有多少, 随着时间的推移, 选 A 菜谱的人数将趋近于 600 人.

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证明: An 和 Bn 分别表示第 n 周星期一选 A 菜谱和 B 菜谱 设 的人数,且 A1=a. 4 3 根据题意,得 An+1= An+ Bn(n∈N*). 5 10 ∵An+Bn=1000, 即 Bn=1000-An. 4 3 ∴An+1= An+ (1000-An), 5 10 1 即 An+1= An+300. 2 1 1 则 An+1-600= An-300= (An-600). 2 2

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1 ∴{An-600}是首项为 a-600,公比为 的等比数列. 2 1 n-1 故 An-600=(a-600)· ) . ( 2 1 n-1 ∴An=(a-600)( ) +600. 2 则limAn=600, n→∞ ∴随着时间的推移,选 A 菜谱的人数将趋近于 600 人.

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思维互动启迪
博学而笃志 切问而近思

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疑难精讲 1.建立数学模型的一般方法步骤是: (1)认真审题,准确理解题意,达到如下要求: ①明确问题属于哪类应用问题; ②弄清题目中的主要已知事项; ③明确所求的结论是什么. (2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参 数变量或适当建立坐标系, 将文字语言翻译成数学语言, 将数量 关系用数学式子表达. (3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来, 据题意列出满足题意的关系式(如函数关系式或方程或不等式). 2.建立数列模型时,应明确是等差数列模型还是等比数列 模型,还是递推数列模型.
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互动探究 题型 1 等差数列模型应用题 例 1.铜片绕在盘上,空盘时盘心直径 80 mm,满盘时直径 160 mm.已知铜片的厚度是 0.1 mm, 那么满盘时一盘铜片共有多 长?

【思维点拨】 要求铜片的总长,需要解决两个问题:铜 片一共绕了多少圈?每一圈有多长?对于第一个问题,由空盘、 满盘的直径以及铜片厚度可以解决.对于第二个问题,由于各 圈长度不等,需要分析每圈长度之间的关系.

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80 【解析】 铜盘一共绕的圈数为 n= =400(圈).每一圈 0.2 近似一圈,且其半径组成一个以 0.1 mm 为公差的等差数列,所 以各圈长度形成一个首项为 80.1π,公差为 0.2π 的等差数列,其 和为 1 S=80.1πn+ n(n-1)×0.2π=48000π(mm)≈150(m). 2

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题型 2 等比数列模型应用题 例 2 某市 2003 年共有 1 万辆燃油型公交车,有关部门计划 于 2004 年投入 128 辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的 投入比上一年增加 50%,试问: (1)该市在 2010 年应该投入多少辆电力型公交车? (2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车 1 总量的 ? 3

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【解析】 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等 比数列{an},其中 a1=128,q=1.5.则在 2010 年应该投入的电力 型公交车为 a7=a1q6=128×1.56=1458(辆). Sn 1 (2)记 Sn=a1+a2+…+an,依据题意,得 > ?Sn 10000+Sn 3 >5000. 128?1-1.5n? 657 n 于是 Sn= >5000,即 1.5 > 32 1-1.5 经验证,n≥8. ∴到 2011 年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车 1 总量的 . 3

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题型 3 数列递推关系的应用题 例 3 有人玩掷硬币走跳棋游戏. 已知硬币出现正、 反面的概 1 率都是 .棋盘上标有第 0 站,第 1 站,第 2 站,…,第 100 站, 2 一枚棋子开始在第 0 站. 棋手每掷一次硬币, 棋子向前跳动一次, 若掷出正面,则棋子向前跳动一站;若掷出反面,则棋子向前跳 动两站,直到棋子跳到第 99 站(胜利大本营)或第 100 站(失败大 本营)时,游戏结束.设棋子跳动到第 n 站的概率为 Pn. (1)求 P0,P1,P2; 1 (2)求证:Pn-Pn-1=- (Pn-1-Pn-2); 2 (3)求 P99 及 P100.

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1 1 1 1 3 【解析】 (1)P0=1,P1= ,P2= × + = . 2 2 2 2 4 (2)证明:棋子跳到第 n 站(2≤n≤99),必是从第 n-1 站或 P n - 2 P n -1 第 n-2 站跳到的概率为 Pn= + . 2 2 1 所以 Pn-Pn-1=- (Pn-1-Pn-2). 2

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1 (3)由(2)知数列{Pn+1-Pn}是首项为 P1-P0=- ,公比为- 2 1 的等比数列,该数列的前 99 项和可由 P1-P0,P2-P1,…, 2 P99-P98 相加而得. 1 12 1 99 P99-1=(- )+(- ) +…+(- ) , 2 2 2 2 1 100 所以 P99= [1-( ) ], 3 2 1 99 2 1 99 P98=P99-(- ) = [1+( ) ], 2 3 2 1 1 1 99 ∴P100= P98= [1+( ) ]. 2 3 2

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错解辨析 例 4 一个球从 100 米高处自由落下, 每次着地后又跳回到原 高度的一半落下,当它第 10 次着地时,共经过了多少米? 【错解】 因球每次着地后跳回到原高度的一半, 从而每次 1 着地之间经过的路程形成一公比为 的等比数列,又第一次着地 2 时经过了 100 米,故当它第 10 次着地时,共经过的路程应为其 前 10 项之和.即: 1 10 100[1-? ? ] 2 S10= ≈199(米) 1 1- 2 【错因】 上述解法中, 忽略了球落地一次的路程有往有返 的情况.
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【正解】 球第一次着地时经过了 100 米, 从这时到球第二 100 次着地时,一上一下共经过了 2× =100(米),从这时到球第 2 100 三次着地时经过了 2× 2 =50(米)……因此到球第十次着地时 2 共经过的路程为: 100 100 100 100+100+ + 2 +…+ 8 2 2 2 可见从第一次着地开始, 每一次着地经过的路程形成一等比 数列,故到球第 10 次着地时总共经过的路程为: 19 100[1-? ? ] 2 100+ ≈300 米. 1 1- 2
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