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徐州市2011-2012学年第一学期高二数学期末考试文科试题及答案


徐州市 2011-2012 学年度第一学期期末考试

高二数学试题(文科)
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题 ~ 第 20 题,共 20 题) 。本卷满分 160 分, 考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本卷和答题纸一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的

姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题纸的规定位置。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答,在其它 位置作答一律无效。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式: (1)锥体的体积公式: V =
2

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 是高. 3

(2)球的表面积 S = 4p R ,其中 R 是球的半径.

一、填空题:本大题共 14 小题,每题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........

≥x ”的否定是 1.命题“ ?x ? R, x 2 + 1
2.抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点坐标是 3.半径为 1 的球的表面积是
2 2

▲ .



▲ ▲ .

4.圆 x + y - 2 x - 4 y = 0 的半径是 5.已知命题 p : - 2 #x





1- m #x 10 ;命题 q:
▲ .

1 + m ,若 p 是 q 的充分不必要条件,

则实数 m 的取值范围为

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 作直线与椭圆相交于 M , N 两点, 6.已知 F1 , F2 是椭圆 25 9
则 VMNF2 的周长为 ▲ .

7.直线 x - y + 2 = 0 与圆 x 2 + y 2 ? 3 交于 A , B 两点,则弦 AB 的长等于 ▲ .

y
y= f? ( x)

b a O 第 10 题 x

8.已知双曲线

x2 y 2 = 1 的一条渐近线方程为 y = 9 m

4 x ,则实数 m 等于 3
▲ .





9.点 P ?1, ?2? 关于直线 2 x - 3 y + 5 = 0 的对称点的坐标是

10.函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a, b) ,其导函数 f ?( x ) 在 ( a, b) 图象如图所示,则函数

f ( x) 在开区间 ( a, b) 内的极小值的个数是 ▲ 个.
11.已知 m, n 为两条不同的直线, ? , ? , ? 为三个不同的的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n // ? ,则 m ? n ;②若 ?

? , ? // ? , m ? ? ,则 m ? ? ;③若 m ? , n ? ,则
▲ .

m

n ;④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ?
3

? .其中正确命题的序号是

12.已知函数 f ( x) = x - 3x + 5 ,当 x ? 范围为 ▲ .

[ 2,2 ]时, f ( x) < m 恒成立,则实数 m 的取值

13.设曲线 C : y = - ln x(0 < x

1) 在 M (e- t , t )(t ? 0) 处的切线为 l ,若直线 l 与 x 轴及 y
▲ .

轴所围成的三角形的面积为 S (t ) ,则 S (t ) 的最大值是 14.斜率为 2 的直线过椭圆

x2 y 2 + ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F 交椭圆于 A, B 两点,且满 a2 b2
▲ .

足 AF = 3FB ,则椭圆的离心率是

uuu r

uur

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 过点 P(2,1) ,分别写出满足下列条件的直线方程: (1)过点 P 且与直线 l 平行; (2)过点 P 且与直线 l 垂直. P N C

16.(本小题满分 14 分) 如图, 且M,N PA ? 矩形 ABCD 所在的平面, PA ? AD , 分别是 AB , PC 的中点. ⑴求证: MN // 平面 PAD ; (2)求证: MN ? 平面 PCD ; A

D

M (第 16 题)

B

(3)若 PA ? 2, AB ? 4 ,求三棱锥 B - PMC 的体积.

17.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的长轴长为 4 ,离心率为 . 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设椭圆 C 的右焦点为 F ,直线 3x ? 2 y ? 0 与椭圆 C 在第一象限内的交点为 P ,若 直线 4 x ? 3 y ? m ? 0 与以 PF 为直径的圆相切,求实数 m 值.

18.(本小题满分 16 分) 已知某公司生产品牌服装的年固定成本是 10 万元,每生产千件,需另投入 2.7 万元.该公司 年 内 共 生 产 品 牌 服 装 x 千 件 并 全 部 销 售 完 , 每 千 件 的 销 售 收 入 为 R( x) 万 元 , 且

ì ? ? 10.8 ? ? ? R( x) = í ? 108 ? ? ? ? ? x

x2 , (0 < x 10), 30 1000 , ( x > 10). 3x 2

(1)写出年利润 W (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大? (注:年利润=年销售收入-年总成本)

19.(本小题满分 16 分)
2 2 如图,在平面直角坐标系中,已知圆 O : x + y = 4 与直线 l : x = 4 , A, B 是圆 O 与 x

轴的交点, P 是 l 上的动点. (1)若从 P 到圆 O 的切线长为 2 3 ,求点 P 的 y 坐标; (2)若直线 PA, PB 与圆 O 的另一个交点分别为 l

M , N ,求证:直线 MN 经过定点.

A

O

B

x

(第 19 题)

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) =

1 2 x - a ln x(a 2

R) .

(1)若函数 f ( x ) 在 (0, +

) 为增函数,求实数 a 的取值范围;

(2)讨论方程 f ( x) = 0 解的个数,并说明理由.

徐州市 2011 —2012 学年度第一学期期末考试

高二数学(文)参考答案与评分标准
一 填空题: 1. ?x ? R , x 2 ? 1 ? x 9. (?3, 4) 二 解答题: 10. 1 2. (2,0) 3. 4? 4. 5 13. 5. m ≥ 9 14. 6. 20 7. 2 8.16

11.①② 12. m ? 7

2 e

3 2

1 1 ,所以所求直线的斜率为 ,???????4 分 2 2 1 故所求直线的方程 y ? 1 ? ( x ? 2) ,即 x ? 2 y ? 0 .????????????8 分 2 (2) 因为两直线互相垂直,所以所求直线的斜率为 ?2 ,????????????10 分
15.(1)因为两直线互相平行,且 kl ? 故所求直线的方程 y ? 1 ? ?2( x ? 2) ,即 2 x ? y ? 5 ? 0 . ?????????14 分 16 . ( 1 )取 PD 的中点 E ,连结 AE , NE . 因为 N 是 PC 的中点,所以 EN ∥ DC ,且

1 DC .在矩形 ABCD 中, AB ∥ DC ,又 M 是 AB 的中点,所以 AM ∥ DC ,且 2 1 AM ? DC .所以 AM /?/ EN ,所以四边形 AMNE 是平行四边形,????2 分 2 所以 MN ∥ AE ,又 AE ? 平面 PAD , MN ? 平面 PAD , EN ?
所以 MN ∥平面 PAD . ???????????????????????4 分 (2)因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD .在矩形 ABCD 中, AD ? CD , 又 PA

AD ? A ,所以 CD ? 平面 PAD ,所以 CD ? AE .?????????6 分

在 ?PAD 中, PA ? AD , E 是 PD 的中点,所以 AE ? PD , 又 PD

CD ? D ,所以 AE ? 平面 PDC .????????????????8 分

因为 MN ∥ AE ,所以 MN ? 平面 PDC .????????????????10 分 (3)因为 S?MBC ?

1 1 MB ? BC ? ? 2 ? 2 ? 2 ,又因为 PA ? 平面 ABCD , 2 2 1 3 1 3 4 ,????????????12 分 3

所以 V三棱锥P?MBC ? ? S?MBC ? PA ? ? 2 ? 2 ?

所以 V三棱锥B? PMC ? V三棱锥P?MBC ?

4 .??????????????????14 分 3

? 2a ? 4, ?a ? 2, ? 17. (1)由题意得 ? c 1 解得 ? ??????????????????4 分 ? , ?c ? 1, ? ?a 2
所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,故椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 . ???????6 分 4 3

? x2 y 2 ? 1, ? ? (2)由 ? 4 3 ?3 x ? 2 y ? 0, ?

? x ? ?1, ? 解得 ? 3 ???????????????????8 分 y?? , ? 2 ?

因为点 P 在第一象限,所以 P(1, ) ,又 F (1,0) , 则以 PF 为直径的圆的圆心坐标为 (1, ) ,半径为 此圆的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? )2 ?

3 2

3 4

3 , 4

9 ,????????????????10 分 16 9 4? ?m 3 4 当直线 4 x ? 3 y ? m ? 0 与圆相切时,则 d ? ? , 5 4 5 解得 m ? ?10 ,或 m ? ? .??????????????????????14 分 2 x3 ? 10 , 18. (1)当 0 ? x ≤10 时, W ? xR ( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 8.1x ? 30 1000 当 x ? 10 时, W ? xR( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 98 ? ? 2.7 x , 3x ? x3 8.1 x ? ? 10, (0 ? x ≤10), ? ? 30 所以 W ? ? ?????????????????4 分 ?98 ? 1000 ? 2.7 x, ( x ? 10). ? 3x ? x2 ? 0 ,得 x ? 9 , (2)①当 0 ? x ≤10 时,由 W ? ? 8.1 ? 10
(0,9) 又当 x ? (0,9) 时, W ? ? 0 ; W 在 上单调递增;
(9, 10) 当 x ? (9,10) 时, W ? ? 0 , W 在 上单调递减;

3 4

所以当 x ? 9 时, W 有极大值,也就是最大值 Wmax ? 8.1? 9 ?

1 ? 93 ? 10 ? 38.6 . 30

??????????????????????????????????10 分 ②当 x>10 时,

W ? 98 ?
当且仅当

1000 1000 1000 ? 2.7 x ? 98 ? ( ? 2.7 x) ? 98 ? 2 ? 2.7 x ? 38 , 3x 3x 3x

100 1000 时, W ? 38 .?????????????14 分 ? 2.7 x ,即 x ? 9 3x

由①②知,当 x ? 9 千件时,W 取最大值 38.6 万元. 答:年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大.???16 分 19.(1)设点 P 的坐标为 (4,a) ,设 PD 是圆 O 的切线, D 是切点,则 OD ? PD . 在 Rt△PDO 中, PO2 ? PD 2 ? OD 2 ? 12 ? 4 ? 16 , 即 16 ? a 2 ? 16 ,所以 a ? 0 ,故点 P 的坐标为 (4,0) .???????????4 分

0) ,设 P(4,a) ,直线 PA 方程为: y ? 0) , B(2, (2)由题意知: A(?2,

? x 2 ? y 2 ? 4, ? 由? 得 (a2 ? 36) x2 ? 4a2 x ? 4(a 2 ? 36) ? 0 , a y ? ( x ? 2), ? 6 ? 2( a 2 ? 36) 2( a 2 ? 36) 24 a , ), 解得 x ? ?2 , x ? ? 2 ,所以 M ( ? 2 a ? 36 a 2 ? 36 a ? 36 2( a 2 ? 4) ?8a , ) .????????????????????8 分 同理可求 N ( 2 a ? 4 a2 ? 4 2( a 2 ? 36) 2( a 2 ? 4) ? 2 ①若 MN ? x 轴,则 ? 2 ,解得 a 2 ? 12 ,此时点 M , N 的横坐标 a ? 36 a ?4 都为 1 ,直线 MN 过定点 (1,0) ;???????????????????10 分
②若 MN 与 x 轴不垂直,即 a 2 ? 12 ,此时 kMN

a ( x ? 2) , 6

?8a 24a ? 2 2 ?8a a ? 4 a ? 36 ? ? , 2(a 2 ? 4) 2(a 2 ? 36) a 2 ? 12 ? 2 a2 ? 4 a ? 36

所以直线 MN 的方程为: y ? 即y?

?8a ?8a 2(a 2 ? 4) ? ( x ? ), a 2 ? 4 a 2 ? 12 a2 ? 4

?8a ( x ? 1) ,所以直线 MN 过定点 (1,0) . a ? 12 综上,直线 MN 过定点 (1,0) .?????????????????????16 分
2

20.(1)因为 f ?( x) ? x ?

a , x

当函数 f ( x) 在 (1, ??) 上恒成立时,则 f ?( x) ? 0 在 (1, ??) 上恒成立, 即: a ≤ x 2 在 (1, ??) 上恒成立,所以有 a ≤ 1 .?????????????4 分 (2)①当 a ? 0 时, f ( x) 在定义域 (0, ??) 上恒大于 0 ,此时方程无解;?????6 分 ②当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ?

a ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,所以 f ( x) 在定义域 (0, ??) 上 x

1 2 1 a 1 a f (e ) ? e ? 1 ? 0 ,所以方程有惟一解;?8 分 为增函数,因为 f (1) ? ? 0 , 2 2

③当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ?

a x 2 ? a ( x ? a )( x ? a) ? ? , x x x

因为当 x ? (0, a ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, a ) 内为减函数; 当 x ? ( a , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ( a , ??) 内为增函数, 所以当 x ? a 时, f ( x) 有极小值, 即为最小值 f ( a ) ? a ? a ln a ? a(1 ? ln a) .???????????10 分 1)当 a ? (0,e) 时, f ( a ) ? 2)当 a ? e 时, f ( a ) ?

1 2

1 2

1 a(1 ? ln a) ? 0 ,此方程无解; 2

1 a(1 ? ln a) ? 0 ,此方程有惟一解 x ? a ; 2 1 3)当 a ? (e, ??) 时, f ( a ) ? a(1 ? ln a) ? 0 , 2 1 因为 f (1) ? ? 0 且 1 ? a ,所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (0, a ) 上有惟一解; 2
因为当 x ? 1 时, ( x ? ln x)? ? 0 ,所以 x ? ln x ? 1 ,所以 x ? ln x ,

1 2 1 x ? a ln x ? x2 ? ax , 2 2 1 因为 2a ? a ? 1 ,所以 f ( x) ? (2a)2 ? 2a2 ? 0 , 2
故 f ( x) ? 所以方程 f ( x) ? 0 在区间 ( a , ??) 上有惟一解; 所以当 a ? (e, ??) 时,方程 f ( x) ? 0 有两解. 综上所述:当 a ?[0,e) 时,方程无解;当 a ? 0 或 a ? e 时,方程有惟一解; 当 a ? e 时,方程有两解.??????????????????16 分


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