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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)4.1


讲案 4.1 任意角的三角函数 课前自主研习 温故而知新 可以为师矣 知 识 导 读 1.角的概念 角 可 以 看 成 是 __________________,射线的端点叫做 角的______;旋转开始时的射线叫做角 的______;旋转终止时的射线叫做角的 ______. (1)正角、负角和零角 按__________________叫做正角; 按 _____________

_______ 叫 做 负 角 ; __________________叫做零角. (2)象限角 在平面直角坐标系下,使角的顶点 与 ______ 重 合 , 角 的 始 边 与 __________________重合,角的终边落 在第几象限,就把这个角称做第几象限 角.若角的终边落在坐标轴上,称为 ______,这个角不属于任何象限. (3)终边相同的角

所有与 α 角终边相同的角,连同 α 角在内(而且只有这样的角), 可以用式子 __________________表示. 2.角的度量 (1)|α|=______,2π=__________. (2)设扇形的弧长为 l, 圆心角大小为 α(rad),半径为 r,则 l=______;扇形的 面积为 S=______=______. 提示:上述扇形的弧长公式及面积 公式中 α 均为弧度制表示的角. 3.三角函数的定义 α 为任意角,α 的终边上任意一点 P 的坐标(x,y),它与原点的距离|OP|=r = x2+y2(r>0). 则 sinα=______,cosα=______. tanα=______,cotα=______. secα=______,cscα=______. 三角函数值只与角 α 终边的位置有 关,与点 P 在终边上的位置无关. 4.三角函数符号规律及三角函数线
函 象 限 符 号 数









_____ _____ _____ _____ sinα, cscα _ _ _ _ cosα, _____ _____ _____ _____ _ _ _ _ secα _____ _____ _____ _____ tanα, cotα _ _ _ _ 三角函数线是表示三角函数值的有 向线段,线段的方向表示了三角函数值 的正负,线段的长度表示了三角函数值 的绝对值.

正弦线

余弦线 正切线

如图,α 终边与单位圆交于 P,过 P 作 PM 垂直 x 轴于 M 点, 有向线段______即为 正弦线 如图,有向线段______即为 余弦线 如图,过 A(1,0)作 x 轴的垂 线,交 α 的终边或 α 终边的 反向延长线于 T 点, 有向线

段______即为正切线 导读校对: 1.由一条射线绕着它的端 点旋转而成的 顶点 始边 终边 (1) 逆时针方向旋转而成的角 顺时针方向 旋转而成的角 当一条射线没有作任何 旋转时而成的角 (2)坐标原点 x 轴的 非负半轴 轴线角 (3)k· +α, 360° k∈Z 1 1 2 l 2.(1)r 360° (2)|α|r 2lr 2|α|r y x y x r r 3.r r x y x y 4. + + - - + - - + + - + - MP OM AT 基 础 热 身 1.有下列命题, 其中正确命题的个数 是( ) ①终边不同的角的同名三角函数值 不等; ②若 sinα>0,则 α 是第一、二象限 的角; ③若 α 是第二象限的角,且 P(x,y)

-x 是其终边上一点,则 cosα= 2 2. x +y A.0 B.1 C.2 D.3 π 解析:对于①,可举出反例,sin3= 2π π π sin 3 .对于②, 可举出 sin2=1>0, 2不 但 是第一、 二象限的角. 对于③, 应是 cosα x = 2 2. x +y 答案:A 2.已知 p:α 为第二象限角,q: sinα>cosα,则 p 是 q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充 分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必 要条件 解析:若 α 为第二象限角,则 sinα>0>cosα;反之不成立;则 p 是 q 成 立的充分不必要条件. 答案:A

3.角 α 的终边上有一点 P(a,a), a∈R 且 a≠0,则 sinα 的值是( ) 2 2 2 2 A. 2 B.- 2 C. 2 或 - 2 D.1 解析:r= a2+a2= 2|a|,∴sinα= ? 2 ? 2 ?a>0? a a ? r = 2|a|=? 2 - ?a<0? ? 2 2 2 ∴sinα 的值是 2 或- 2 . 答案:C 4.已知扇形的周长是 6cm,面积是 2cm2, 则扇形的中心角的弧度数是( ) A.1 B.4 C.1 或 4 D.2 或 4 解析:设此扇形的半径为 r,弧长为 l, ?2r+l=6 ?r=1 ? ? 则 ?1 解 得 ? 或 ?l=4 ? ?2rl=2 ?

?r=2 ? ? ?l=2 ?

l .∴α=r=4 或 α=1.

答案:C 5. 已知角 α 的终边上一点的坐标为 2π 2π (sin 3 ,cos 3 ),则角 α 的最小正值为 ( ) 5π 2π 5π 11π A. 6 B. 3 C. 3 D. 6 2 2 解析:∵sin3π>0,cos3π<0. 2 2 ∴点(sin3π,cos3π)落在第四象限. 2 cos3π 3 又∵tanα= 2 =- 3 ,∴α=2π sin3π 1 11 -6π= 6 π. 答案:D 思维互动启迪 博学而笃志 切问而近思 疑难精讲

1.在写与角 α 终边相同的角的集合 时要注意单位统一,避免出现“2kπ+ π 30° ,k∈Z 或 k· +6,k∈Z”之类的 360° 错误; 判断角所在的象限时要注意 2π 的 整数倍(360° 的整数倍)加 α 与 α 终边相 π 同, 避免出现 kπ+3是第一象限角的错误 kπ 判断, 如遇 kπ+α 或 2 +α 等应对 k 进行 讨论,再确定其所在象限. 2.根据定义,角度制与弧度制的互 换关系是:角度化为弧度,只需将角 α π 乘180° ;弧度化为角度,则只需将 α 乘 180° π . 3.利用三角函数定义或三角函数线 解题应抓住 x、y、r 的比值关系;判断三 角函数值或式的符号应以函数和象限为 主体. 4.在计算或化简三角函数关系时, 常需要对角的范围以及相应三角函数值

的正负情况进行讨论.因此,在解答这 类问题时要三思而行:①角的范围是什 么?②对应的三角函数值是正还是负? ③与此相关的定义、性质或公式有哪 些? 互动探究 题型 1 在坐标系下讨论角 例(1)如果 α 是第三象限的角,那么 -α,2α 的终边落在何处? (2)写出终边在直线 y= 3x 上的角 的集合; 6π (3)若角 θ 的终边与 7 角的终边相 θ 同,求在[0,2π)内终边与3角的终边相同 的角. 【解析】 (1)由 α 是第三象限的角 3π 3π 得 π+2kπ<α< 2 +2kπ?- 2 -2kπ< -α<-π-2kπ. π 即2+2kπ<-α<π+2kπ. ∴角-α 的终边在第二象限;

3π 由 π+2kπ<α< 2 +2kπ 得 2π+4kπ <2α<3π+4kπ(k∈Z). ∴角 2α 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴. (2)在(0,π)内终边在直线 y= 3x 上 π 的角是3, ∴终边在直线 y= 3x 上的角的集 π 合为{α|α=3+kπ,k∈Z}. 6π θ 2π 2kπ (3)∵θ = 7 + 2kπ , ∴ 3 = 7 + 3 (k∈Z). 2π 2kπ 3 依题意 0≤ 7 + 3 <2π?-7≤k< 18 7 ,k∈Z. θ ∴k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与3相 2π 20π 34π 同的角为 7 , 21 , 21 . 题型 2 三角函数坐标定义法的应用

例 2(1)角 α 的终边上一点 P(4t,- 3t)(t≠0),求 2sinα+cosα 的值; (2)已知角 β 的终边在直线 y= 3x 上, 用三角函数定义求 sinβ 和 cotβ 的值. 【解析】 (1)根据题意,有 x=4t, y=-3t,所以 r= ?4t?2+?-3t?2=5|t|. 3 ①当 t>0 时, r=5t, sinα=-5, cosα 4 =5, 6 4 2 ∴2sinα+cosα=-5+5=-5; -3t ②当 t<0 时, r=-5t, sinα= = -5t 3 4t 4 5,cosα=-5t=-5, 6 4 2 ∴2sinα+cosα=5-5=5. (2)设 P(a, 3a)(a≠0)是角 β 终边 y = 3x 上一点, 3 a 则 cotβ= =3. 3a 若 a<0,则 β 是第三象限角,r=-

2a, 3a 3 此时 sinβ= =- 2 ; -2a 当 a>0 时,则 β 是第一象限角,r =2a, 3a 3 此时 sinβ= 2a = 2 . 点评:本例(1)、(2)中,参数 t 和 a 都是不为零的实数,所以应对它们分类 讨论,这是不应忽视的. 题型 3 三角函数符号的判定 例 3.解答下列问题: (1) 若 θ 在 第 四 象 限 , 试 判 断 sin(cosθ)· cos(sinθ)的符号; (2)若 tan(cosθ)· cot(sinθ)>0,试指出 θ 所在象限. 【解析】 (1)∵θ 在第四象限, π π ∴0<cosθ<1<2,-2 <-1<sinθ <0, ∴sin(cosθ) > 0 , cos(sinθ) > 0 ,

∴sin(cosθ)· cos(sinθ)>0. ?tan?cosθ?>0, ? (2) 原 式 即 ? ?cot?sinθ?>0; ?
?tan?cosθ?<0, ? ? ?cot?sinθ?<0, ? ?0<cosθ<1 ? ∴? ?0<sinθ<1 ? ?-1<cosθ<0 ? 或? ?-1<sinθ<0 ?



∴θ 为第一或第三象限角. 题型 4 三角函数线的应用 例 4 利用单位圆中的三角函数线. (1)求 y=lgsinx+ 1-2cosx的定义 域; π (2)证明:当 0<x<2时,1<sinx+ cosx.

【解析】 (1)考虑对数式、根式有 意义的条件,可得 sinx>0,1-2cosx≥0,

1 在单位圆中画出 cosx≤2, 对应的区域(如 图),因为 sinx>0 对应区域在 x 轴上方, 所以定义域为 ? ? π ?2kπ+ ,2kπ+π?(k∈Z). 3 ? ?

(2)证法一: 如图所示, 在△OPQ 中, OP=1,OQ=cosx,QP=sinx,由三角 形的两边之和大于第三边, sinx+cosx 则 >1. 证法二:如果将 sinx+cosx 改写成 ? π? sinx+cosx= 2sin?x+4?,在单位圆中画 ? ? ? π? π π 3π ?x+ ?(注意 <x+ < ), 出正弦线 sin 4? 4 4 4 ?
? π? 2 则 2 < sin ?x+4? ≤1,1 < sinx + ? ? cosx≤ 2.

题型 5 弧长公式与扇形面积公式的

应用 例 5 一扇形的周长为 20cm,当扇形 的圆心角 α 等于多少弧度时,这个扇形 的面积最大?并求此扇形的最大面积. 【解析】 设扇形的半径为 rcm, 则弧长为 l=(20-2r)cm,扇形的面积为 1 S=2(20-2r)r=-(r-5)2+25. l 当 r=5 时,l=10,α=r=2(弧度), 故 当 α = 2 弧 度 时 , (S 扇 )max = 25(cm2). 也可用基本不等式求解: 1 S = 2 (20 - 2r)r = (10 - 10-r+r 2 r)· r≤( ) =25. 2 当且仅当 10-r=r, r=5cm 时上 即 式取等号. 错解辨析 4π 例 6 已知 π<α+β< 3 ,-π<α-β

π <-3,求 2α-β 的范围. 4 【错解】 ∵π<α+β<3π① π -π<α-β<-3② π π ①+②得: 0<α<2, 2<-α<0③ - ∴0<2α<π④ 3π 再在②两边加上 α,得- 2 <-β< π -3⑤ 3π 2 ④+⑤得:- 2 <2α-β<3π. 【错因】 若通过两条件分别得 α、 β 的范围, 因为 α 和 β 不一定能够同时取 得最值,所得的 2α-β 的范围比实际范 围要大. 【正解】 设 2α-β=A(α+β)+B(α -β)(A、B 为待定系数), 则 2α-β=(A+B)α+(A-B)β. 比较两边系数,

1 ? ?A+B=2 ?A=2 ? 得? 解得:? ?A-B=-1 ? ?B=3 2 ? 1 3 ∴2α-β=2(α+β)+2(α-β). π 1 2 3 3 而2<2(α+β)<3π,-2π<2(α-β) π <-2, π ∴-π<2α-β<6.


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