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椭圆点差法


点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
定理 在椭圆

x2 y2 ? ? 1( a > b >0)中,若直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点,点 P( x0 , y0 ) a2 b2

是弦 MN 的中点,弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ,则 k MN ?

y0 b2 ?? 2 . x0 a

/>
? x1 2 y1 2 ? 2 ? 2 ? 1,??(1) ?a b 证明:设 M、N 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,则有 ? 2 2 ? x2 ? y 2 ? 1.??(2) ? a2 b2 ?
(1) ? (2) ,得

x1 ? x2 y ?y ? 1 2 2 ? 0. 2 a b
2 2 2 2

?

y 2 ? y1 y 2 ? y1 b2 ? ?? 2. x2 ? x1 x2 ? x1 a

又? k MN ?

y 2 ? y1 y1 ? y 2 2 y y , ? ? . x2 ? x1 x1 ? x2 2 x x
y b2 ?? 2. x a

? k MN ?

x2 y2 同理可证, 在椭圆 2 ? 2 ? 1 a > b >0) 若直线 l 与椭圆相交于 M、 两点, P( x0 , y0 ) ( 中, N 点 b a
是弦 MN 的中点,弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ,则 k MN ?

y0 a2 ?? 2 . x0 b

典题妙解
例 1 (04 辽宁)设椭圆方程为 x ?
2

y2 ? 1 ,过点 M (0,1) 的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 为坐 4

标原点,点 P 满足 OP ?

1 ?1 1? (OA ? OB ) ,点 N 的坐标为 ? , ? .当 l 绕点 M 旋转时,求: 2 ?2 2?

(1)动点 P 的轨迹方程; (2) | NP | 的最大值和最小值. 解: (1)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) .由平行四边形法则可知:点 P 是弦 AB 的中点 .

1

焦点在 y 上, a 2 ? 4, b 2 ? 1. 假设直线 l 的斜率存在. 由 k AB ?

y a2 y ?1 y ? ? ?4. ? ? 2 得: x x x b

整理,得: 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0. 当直线 l 的斜率不存在时,弦 AB 的中点 P 为坐标原点 O(0,0) ,也满足方程。

? 所求的轨迹方程为 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0.

1 ( y ? )2 x 2 ? 1. ? ? 1 ? x ? 1 . (2)配方,得: ? 1 1 4 4 16 4
2

1 1 ?| NP | 2 ? ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 2 2 1 2 1 ? (x ? ) ? ? x2 2 4 1 2 7 ? ?3( x ? ) ? 6 12
?当 x ?
1 1 1 21 时, | NP | min ? ;当 x ? ? 时, | NP | max ? . 4 6 4 6

例 2 (07 年海南、宁夏)在直角坐标系 xOy 中,经过点 (0, 2 ) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 有两个不同的交点 P 和 Q. 2
(1)求 k 的取值范围;

y (2) 设椭圆与 x 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 A、 是否存在常数 k , B, 使得向量 OP ? OQ
与 AB 共线?如果存在,求 k 的取值范围;如果不存在,请说明理由. 解: (1)直线 l 的方程为 y ? kx ? 2.

? y ? kx ? 2 , ? 由 ? x2 得: (2k 2 ? 1) x 2 ? 4 2kx ? 2 ? 0. 2 ? ? y ? 1. ?2
? 直线 l 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 有两个不同的交点, 2

2

? ? ? 32k 2 ? 8(2k 2 ? 1) >0.
解之得: k < ?

2 2 或k > . 2 2

? ? 2? ? 2 ??? ,?? ? . ? k 的取值范围是 ? ? ?,? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?
(2)在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 中,焦点在 x 轴上, a ? 2, b ? 1 , 2

? A( 2,0), B(0,1), AB ? (? 2,1).
设弦 PQ 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,则 OM ? ( x0 , y10 ). 由平行四边形法则可知: OP ? OQ ? 2OM.

? OP ? OQ 与 AB 共线,

? OM 与 AB 共线.
? x0 ? 2 ? y0 y 2 ,从而 0 ? ? . 1 x0 2

由 k PQ ?

? y0 2? 1 b2 ? ? ? 2 得: k ? ? ? ? 2 ???2, x0 a ? ?

?k ?

2 . 2
2 时,直线 l 与椭圆没有两个公共点, 2

由(1)可知 k ?

? 不存在符合题意的常数 k .
例 3(09 年四川)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0)的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,离心率 a2 b2

e?

2 ,右准线方程为 x ? 2 . 2
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程; (Ⅱ) 过点 F1 的直线 l 与该椭圆相交于 M、N 两点,且 | F2 M ? F2 N |?

2 26 ,求直线 l 的方程. 3

3

解: (Ⅰ)根据题意,得

? c 2 , ?e ? ? ? a 2 ? 2 ? x ? a ? 2. ? c ?
? a ? 2, b ? 1, c ? 1 .
? 所求的椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

(Ⅱ)椭圆的焦点为 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) . 设直线 l 被椭圆所截的弦 MN 的中点为 P ( x, y ) . 由平行四边形法则知: F2 M ? F2 N ? 2F2 P . 由 | F2 M ? F2 N |?

2 26 26 得: | F2 P |? . 3 3
26 . ………………………………………………………………………① 9

? ( x ? 1) 2 ? y 2 ?

若直线 l 的斜率不存在,则 l ? x 轴,这时点 P 与 F1 (?1,0) 重合,| F2 M ? F2 N |?| 2F2 F1 |? 4 , 与题设相矛盾,故直线 l 的斜率存在. 由 k MN ?

y b2 y y 1 ? ?? . ? ? 2 得: x ?1 x 2 x a

1 ? y 2 ? ? ( x 2 ? x). ………………………………………………………………………② 2 1 2 26 2 . ②代入①,得 ( x ? 1) ? ( x ? x) ? 2 9
2 整理,得: 9 x ? 45x ? 17 ? 0 .

17 2 ,或 x ? ? . 3 3 17 由②可知, x ? 不合题意. 3 2 1 ? x ? ? ,从而 y ? ? . 3 3 y ? ?1. ?k ? x ?1
解之得: x ?

? 所求的直线 l 方程为 y ? x ? 1 ,或 y ? ? x ? 1 .
例 4 (09 全国Ⅱ)已知椭圆 C :

x2 y2 3 ? 2 ? 1( a > b >0)的离心率为 ,过右焦点 F 的直 2 3 a b
4

线 l 与 C 相交于 A、B 两点. 当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (1)求 a, b 的值;

2 . 2

(2)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立?若存在, 求出所有点 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由. 解:1) ( 椭圆的右焦点为 F (c,0) , 直线 l 的斜率为 1 时, 则其方程为 y ? x ? c , x ? y ? c ? 0 . 即 原点 O 到 l 的距离: d ?

|0?0?c| 2

?

2c 2 ,? c ? 1 . ? 2 2

又e ?

c 3 ,? a ? 3 . 从而 b ? 2 . ? a 3

? a ? 3, b ? 2.
(2)椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 . 设弦 AB 的中点为 Q( x, y ) . 由 OP ? OA ? OB 可知,点 Q 3 2

是线段 OP 的中点,点 P 的坐标为 (2 x,2 y) .

?

4x 2 ? 2 y 2 ? 1.………………………………………………………………① 3

若直线 l 的斜率不存在,则 l ? x 轴,这时点 Q 与 F (1,0) 重合, OP ? (2,0) ,点 P 不在椭圆上, 故直线 l 的斜率存在. 由 k AB ?

y b2 y y 2 ? ?? . ? ? 2 得: x ?1 x 3 x a

2 ? y 2 ? ? ( x 2 ? x) .…………………………………………………………………② 3
由①和②解得: x ?

3 2 . ,y ?? 4 4

?当 x ?

y 3 2 3 2 ? ? 2 , 点 P 的坐标 为 ( , 时 , k AB ? ,y ? ) , 直线 l 的 方程 为 x ?1 4 4 2 2

2x ? y ? 2 ? 0 ;
当x?

y 3 2 3 2 ? 2 , 点 P 的 坐 标 为 ( ,? 时 , k AB ? ,y ?? ) ,直线 l 的方程为 x ?1 4 4 2 2
5

2x ? y ? 2 ? 0 .

金指点睛
1. 已知椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 4 ,则以 (1,1) 为中点的弦的长度为( )

A. 3 2

B. 2 3

C.

30 3

D.

3 6 2

2.(06 江西)椭圆 Q :

x2 y2 ? ? 1( a > b >0)的右焦点为 F (c,0) ,过点 F 的一动直线 m 绕点 F a2 b2

转动,并且交椭圆于 A、B 两点,P 为线段 AB 的中点. (1)求点 P 的轨迹 H 的方程; (2)略. 3. (05 上海) (1)求右焦点坐标是 ( 2,0) 且过点 (?2,? 2 ) 的椭圆的标准方程;

x2 y2 (2)已知椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0).设斜率为 k 的直线 l ,交椭圆 C 于 A、B a b
两点,AB 的中点为 M. 证明:当直线 l 平行移动时,动点 M 在一条过原点的定直线上; (3)略. 4. (05 湖北)设 A、B 是椭圆 3x ? y ? ? 上的两点,点 N (1,3) 是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂直
2 2

平分线与椭圆相交于 C、D 两点. (1)确定 ? 的取值范围,并求直线 AB 的方程; (2)略.

y2 x2 ? ? 1 的焦点为焦点,以抛物线 x 2 ? ?6 6 y 的准线为 5. 椭圆 C 的中心在原点,并以双曲线 4 2
其中一条准线. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? 2(k ? 0) 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,使 A、B 两点关于直线

l ' : y ? mx ? 1(m ? 0) 对称,求 k 的值.

参考答案
1. 解:由 x ? 2 y ? 4 得
2 2

x2 y2 ? ? 1 ,? a 2 ? 4, b 2 ? 2 . 4 2 y b2 1 1 ? ? 2 得 k MN ? ? ,? 直线 MN 的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 1) . 2 2 x a

弦 MN 的中点 (1,1) ,由 k MN ?

6

即 x ? ?2 y ? 3 . k ? ? .

1 2

?x 2 ? 2 y 2 ? 4 由? 得: 6 y 2 ? 12y ? 5 ? 0 . ? x ? ?2 y ? 3
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 2, y1 y 2 ?

5 . 6

| MN |? (1 ? ? 5 ? (4 ? ? 30 3

1 ) ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 k

?

?

10 ) 3

故答案选 C.

y b2 y y b2 ? ?? 2 , 2. 解: (1)设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由 k AB ? ? ? 2 得: x x?c x a a
整理,得: b x ? a y ? b cx ? 0 .
2 2 2 2 2

? 点 P 的轨迹 H 的方程为 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? b 2 cx ? 0 .
3.解: (1)? 右焦点坐标是 ( 2,0) ,? 左焦点坐标是 (?2,0) . c ? 2 . 由椭圆的第一定义知,2a ?

(?2 ? 2) 2 ? (? 2 ) 2 ? (?2 ? 2) 2 ? (? 2 ) 2 ? 4 2 , a ? 2 2 . ?

? b2 ? a 2 ? c2 ? 4 . ? 所求椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 8 4 y b2 y b2 ? ? 2 得: k ? ? ? 2 ,整理得: b 2 x ? a 2 ky ? 0 . x x a a

(2)设点 M 的坐标为 ( x, y ) ,由 k AB ?

? a、b、k 为定值, ? 当直线 l 平行移动时,动点 M 在一条过原点的定直线 b 2 x ? a 2 ky ? 0 上.
2 2 2 2 4. 解: (1)? 点 N (1,3) 在椭圆 3x ? y ? ? 内,? 3 ? 1 ? 3 < ? ,即 ? >12.

? ? 的取值范围是 (12,??) .
由 3x ? y ? ? 得
2 2

y2

?

?

x2

?
3

? 1 ,? a 2 ? ? , b 2 ?

?
3

,焦点在 y 轴上.

7

若直线 AB 的斜率不存在,则直线 AB ? x 轴,根据椭圆的对称性,线段 AB 的中点 N 在 x 轴上, 不合题意,故直线 AB 的斜率存在. 由 k AB ?

3 ? y a2 ? ? 2 得: k AB ? ? ? ,? k AB ? ?1. ? 1 x b 3

? 所求直线 AB 的方程为 y ? 3 ? ?1 ? ( x ? 1) ,即 x ? y ? 4 ? 0 .
从而线段 AB 的垂直平分线 CD 的方程为 y ? 3 ? 1 ? ( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0 .

5. 解: (1)在双曲线

y2 x2 ? ? 1 中, a ? 2, b ? 2, c ? a 2 ? b 2 ? 6 , 4 2

? 焦点为 F1 (0,? 6 ), F2 (, 6 ) .
在抛物线 x 2 ? ?2 6 y 中, p ? 6 ,? 准线为 y ?

6 . 2

? 在椭圆中,

a2 6 . 从而 a ? 3, b ? 3. ? c 2

? 所求椭圆 C 的方程为

y2 x2 ? ? 1. 9 3
1 . k

' ' (2) 设弦 AB 的中点为 P( x0 , y0 ) , 则点 P 是直线 l 与直线 l 的交点, 且直线 l ? l . ? m ? ?

由 k AB ?

y y0 a2 ? ? 2 得: k ? 0 ? ?3 ,? ky0 ? ?3x0 .…………………………………………① x0 x0 b

1 ? x 0 ? 1得: ky0 ? ? x0 ? k .…………………………………………………………② k k 3 由①、②得: x0 ? ? , y 0 ? . 2 2
由 y0 ? ? 又? y0 ? kx0 ? 2 ,

?

3 k ? ? k ? ? 2 ,即 k 2 ? 1 . 2 2 k ? ?1 . ?
在 y ? kx ? 2 中, x ? 0 时,y ? 2 , 当 即直线 l 经过定点 M (0,2) .而定点 M (0,2) 在椭圆的内部,

故直线 l 与椭圆一定相交于两个不同的交点. ? k 的值为 ? 1 .

8


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