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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)4.2

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讲案 4.2 同角三角函数基本关系式 与诱导公式 课前自主研习 温故而知新 可以为师矣 知 识 导 读 1.同角三角函数的基本关系式 ______________________________ ______________(1) ______________________________ ______________(2) __________________________

____ ______________(3) 其中(1)是平方关系;(2)是商的关 系;(3)是倒数关系. 利用上述基本关系式,可以根据一 个角的正弦、余弦、正切中的一个值求 其余两个值,还可以进行化简与证明. 提示:教材对于同角三角函数只有 这三个基本关系式,而除此之外,还有 如下五个关系式: ①1 + tan2α = ________________________. ②1 + cot2α =

________________________. ③cotα = ________________________. ④cosα· ________________________ =1. ⑤sinα· ________________________ __=1. 若能掌握补充的这五个关系式,对 做题肯定是有帮助的.这五个关系式用 定义容易给予证明,在此略. 2.诱导公式 诱导公式是指角 α 的三角函数与诸 如-α,180° α,90° α,270° α,360° ± ± ± -α,360°k+α(k∈Z)等同角三角函数之 · 间的关系,其内容相似,极易混淆,其 记忆规律是:________. 利用诱导公式把任意角的三角函数 转化为锐角三角函数的基本步骤是:
任意角的三角函数 → 正角的三角函数 → 0° ~360° 的角的三角函数 → 锐角三角函数







__________________________________ ____. sinα 2 2 导读校对:1.sin α+cos α=1 cosα = tanα tanα· = 1 sec2α csc2α cotα cosα sinα secα cscα 2.奇变偶不变、符号 看象限 负变正、大化小、诱导公式变 锐角 基 础 热 身 1.(2011· 建 质 检 )cos210°的 值 为 福 ( ) 3 3 A. 2 B.- 2 1 1 C.2 D.-2 解析:cos210° =cos(360° -150° )= 3 cos(-150° )=cos150° =- 2 . 答案:B ? 5 ?π ? 2. 已知 sinα= 5 ,2<α<π?, tanα 则 ? ? =( )

1 A.2

1 B.-2

C.2 D.-2

5 π 解析:∵sinα= 5 ,2<α<π, ∴cosα=- 1-sin α=- 2 =- , 5 sinα 5 ? 1 5? ?- ?=- . ∴tanα=cosα= 5 × 2 2? ? 答案:B 3.若点 A(x,y)是 300° 角终边上异 y 于原点的一点,则x的值为( ) 3 3 A. 3 B.- 3 C. 3 D.- 3 解析:由任意角的三角函数的定义 可得 y ) x = tan300°= tan(360°- 60° = - tan60° =- 3. 答案:B
2

1 1-5

1 cosθ 4.若 sinθcosθ=2,则 tanθ+ sinθ 的 值是( ) 1 A.-2 B.2 C.± D.2 2 cosθ sinθ cosθ 解 析 : tanθ + sinθ = cosθ + sinθ = 1 sinθcosθ=2. 答案:B 3 5.已知 sin(π+α)=5,且 α 是第四 象限角,那么 cos(α-2π)的值是( ) 4 4 4 3 A.5 B.-5 C.± D.5 5 3 解析:由 sin(π+α)=5,得 sinα=- 3 5. 又 α 为第四象限角,∴cos(α-2π) =cos(2π-α)=cosα 32 4 2 = 1-sin α= 1-?-5? =5. 答案:A

思维互动启迪 博学而笃志 切问而近思 疑难精讲 1.已知角 α 的某一种三角函数值, 求 角 α 的其余 5 种三角函数值时,要注意 公式的合理选择,一般思路是按“倒、 平、商”的顺序很容易求解,特别是要 注意开方时的符号选取. 2.在进行三角函数化简和三角恒等 式的证明时,细心观察题目的特征,灵 活、恰当地选用公式,一般思路是将切 割化弦,但在某些特殊问题中就不要化 切割为弦,只需利用倒数关系即可,否 则解法较繁. 3.证明三角恒等式的常用方法:① 从一边开始证得它等于另一边,一般由 繁到简;②证明左、右两边都等于同一 个式子(或值). 4.学会利用方程思想解三角题,对 于 sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα 这 三个式子,已知其中一个式子的值,其 余两式的值可以求出.

互动探究 题型 1 应用公式化简三角式 例 1 化简 ? 1+sinα 1-sinα? ? ? · - ? 1-sinα 1+sinα? ? ? ? secα+1 secα-1? ? ? . - ? secα-1 secα+1? ? ? 【解析】 “脱”去根号是我们的 目标,这就希望根号下能成为完全平方 式,注意到同角三角函数的平方关系式, 利用公式的性质可以达到目标. 原 式 = ? ?1+sinα?2 ?1-sinα?2? ? ? · - 2 2 ? cos α cos α ? ? ? ? ?secα+1?2 ?secα-1?2? ? ? - ? tan2α tan2α ? ? ? ?1+sinα 1-sinα? ? ? = - |cosα| ? ? |cosα| ? ? ?|secα+1| |secα-1|? ? ? - |tanα| ? ? |tanα| ? ? 2sinα ?1+cosα 1-cosα? 2sinα ? = |cosα| ? - |sinα| ? = |cosα| ? |sinα| ? ?

2cosα |sinα| · ?4 ? ??α在第一、三象限?, =? ?-4 ??α在第二、四象限?. ?

)

题型 2 化切为弦与齐次式的应用 tanα 例 2 已知 =-1, 求下列各式 tanα-1 的值: sinα-3cosα (1) ; sinα+cosα (2)sin2α+sinαcosα+2. 1 【解析】 由已知得 tanα=2. 1 sinα-3cosα tanα-3 2-3 (1) = = = sinα+cosα tanα+1 1 2+1 5 -3.

(2)sin2α+sinαcosα+2 =sin2α+sinαcosα+2(cos2α+sin2α) 3sin2α+sinαcosα+2cos2α = sin2α+cos2α ?1?2 1 ? ? 3tan2α+tanα+2 3?2? +2+2 = = ?1? = tan2α+1 ? ?2+1 ?2? 13 5. 题型 3 利用 sinα± cosα 与 sinαcosα 的 关系解题 1 π π 例 3(1)sin2θ=4, 4<θ<2, cosθ 且 求 -sinθ 的值; (2)若 sinθ+cosθ=k, sin3θ+cos3θ 且 <0,求 k 的取值范围. 【解析】 (1)∵(cosθ-sinθ)2=1- 3 2sinθcosθ=1-sin2θ=4, π π 又4<θ<2,

∴cosθ<sinθ,即 cosθ-sinθ<0, ∴cosθ- sinθ=- ?cosθ-sinθ?2 = 3 -2. ? π? (2)由 sinθ+cosθ=k,得 2· ?θ+4? sin ? ? =k, ∴- 2≤k≤ 2.① 又由 sinθ+cosθ=k 两边平方,得 1 +2sinθ· cosθ=k2, k2-1 ∴sinθ· = 2 .∵sin3θ + cos3θ cosθ <0, ∴(sinθ + cosθ)(sin2θ + cos2θ - sinθ· cosθ)<0, ? k2-1? ? ∴k?1- <0,即 k(k2-3)>0. ? 2 ? ? ? 解得- 3<k<0 或 k> 3,② 由①②得- 2≤k<0. 题型 4 利用公式证明三角恒等式 tanα· sinα 例 4(1) 证 明 : = tanα-sinα

tanα+sinα tanα· sinα ; (2)已知 sin(α-π)=2cos(2π-α), sin?π-α?+5cos?2π-α? 3 求证: =-5. 3cos?π-α?-sin?-α? tanα· sinα 【证明】 (1)左边= tanα-tanαcosα sinα = , 1-cosα tanα+tanαcosα 1+cosα 右边= tanαsinα = sinα 1-cos2α sin2α = = = sinα?1-cosα? sinα?1-cosα? sinα , 1-cosα ∴左边=右边,∴原等式成立. (2)∵sin(α-π)=2cos(2π-α), ∴-sinα=2cosα, sinα=-2cosα. 即 sinα+5cosα 左 边 = = -3cosα+sinα -2cosα+5cosα -3cosα-2cosα

3cosα 3 = =-5=右边, -5cosα sin?π-α?+5cos?2π-α? 3 ∴ = - 5 .∴ 3cos?π-α?-sin?-α? 原等式成立. 题型 5 利用公式求角 3π 例 5 已知 sin(3π-α)= 2cos( 2 +β) 和 3cos(-α)=- 2cos(π+β),且 0<α <π,0<β<π,求 α 和 β 的值. 【解析】 由已知条件可转化为 ?sinα= 2sinβ ① ? ? ? 3cosα= 2cosβ ② ? 由 ①2 + ②2 , 得 sin2α + 3cos2α = 2(sin2β+cos2β)=2 即 sin2α+3(1-sin2α)=2 1 2 2 ∴sin α=2,sinα=± 2 . 2 ∵0<α<π,∴sinα= 2

π 3π ∴α=4或 4 . π 3π 把 α=4或 α= 4 分别代入②,得 3 3 cosβ= 2 或 cosβ=- 2 . π 5π 又 0<β<π,∴β=6或 β= 6 π π 3π 5π 因此 α=4,β=6或 α= 4 ,β= 6 . 错解辨析 5sinA+8 4 例 6 若 sinA=5,求 的值. 15cosA-7 【 错 解 】 ∵cosA = 1-sin2A = 16 3 1-25=5. 4 5×5+8 ∴原式= =6. 3 15×5-7 4 【错因】 由于 sinA=5,说明 A 在 第一或第二象限内,那么 cosA 就有正、

有负,可见上述解法忽视了平方关系中 的符号而出现了疏漏. 4 【正解】 ∵sinA=5>0,可知角 A 是第一、二象限的角, 当 A 在 第 一 象 限 时 , cosA = 3 2 1-sin A=5, ∴原式=6, 当 A 在 第 二 象 限 时 , cosA = 3 2 1-sin A=-5. 4 5×5+8 3 ∴原式= =-4. 3 15×?-5?-7


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