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2016届高考数学复习 第五章 第二节 平面向量的数量积及其应用 理(全国通用)


第二节

平面向量的数量积及其应用

A 组 专项基础测试 三年模拟精选 一、选择题 1.(2015?广东三门模拟)若非零向量 a,b 满足|a+b|=|b|,则( A.|2a|>|2a+b| C.|2b|<|a+2b|
2

)

B.|2a|<|2a+b| D.|2b|>|a+2b|

r />2 2

解析 因为|a+b|=|b|,则|a+b| =|b| ,即 a +2a?b=0,所以 a?b<0,因为|a+ 2b| -|2b| =a +4a?b<0,故选 D. 答案 D → → → 2.(2015?河南洛阳模拟)已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA= → → ( 2cos α , 2sin α ),则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是( )
2 2 2

? π? A.?0, ? 4? ?
C.?

? π 5π ? B.? , ? ?12 12 ? ?π 5π ? D.? , ? ? 4 12 ?

?5π ,π ? ? ? 12 2 ?

解析 由题知点 A 在以 C(2,2)为圆心, 2为半径的圆上, π π 设 OD,OE 为圆的切线,在△COD 中,OC=2 2,CD= 2,∠CDO= ,所以∠COD= , 2 6 π 又因为∠COB= ,所以当 A 在 D 处时, 4 π π π → → 则OA与OB夹角最小为 - = , 4 6 12 π π 5π → → 当 A 在 E 处时,则OA与OB夹角最大为 + = , 4 6 12 → → ?π 5π ? ∴OA与OB夹角的取值范围是? , ?, ?12 12 ? ∴故答案为 B. 答案 B → → AB AC → → → 3.(2014?广东实验中学测试)在△ABC 中,已知向量AB与AC满足( + )?BC=0 且 → → |AB| |AC|

1

→ AC 1 ? = ,则△ABC 为( → → 2 |AB| |AC|

AB



) B.直角三角形 D.等边三角形

A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 解析 设∠BAC 的角平分线为 AD,则

AC → + =λ AD.由已知得 AD⊥BC,∴△ABC 为等 → → |AB| |AC|

AB





1 腰三角形.又 cos A= ,∴A=60°,∴△ABC 为等边三角形,故选 D. 2 答案 D 4.(2014?辽宁八校联考)△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,向量 p=(1,- 3),

q=(cos B,sin B),p∥q 且 bcos C+ccos B=2asin A,则 C=(
A.30° B.60° C.120° D.150°

)

解析 因为向量 p=(1,- 3),q=(cos B,sin B),p∥q,所以 sin B+ 3cos B=0, 即 tan B=- 3,所以 B=120°.又 bcos C+ccos B=a=2asin A,所以 1 sin A= ,即 A=30°.所以 C=30°.故选 A. 2 答案 A 二、填空题 5.(2013?江西南昌二模)关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题: ①若 a?b=a?c,则 b=c; ②若 a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=-3; ③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 60°. 其中真命题的序号为____________(写出所有真命题的序号). 解析 命题①明显错误.由两向量平行的充要条件得 1?6+2k=0,∴k=-3,故命题② 正确. 由|a|=|b|=|a-b|, 再结合平行四边形法则可得 a 与 a+b 的夹角为 30°, 命题③错误. 答案 ② 一年创新演练 6.若向量 a=(cos θ ,sin θ ),b=( 3,-1),则|2a-b|的最大值为________. 解析 因为向量 a=(cos θ , sin θ ), b =( 3 , -1), 所以|a|=1, |b|=2, a?b= 3? cos θ - sin θ , 所 以 |2a - b| = 4a + b - 4a?b = 8 - 4( 3 cos θ - sin θ ) = 8 -
2
2 2 2

π? ? 2 8cos?θ + ?,所以|2a-b| 的最大值为 16,因此|2a-b|的最大值为 4. 6? ? 答案 4 7. 已知 a=(λ , 2λ ), b=(3λ , 2), 如果 a 与 b 的夹角为锐角, 则 λ 的取值范围是________. 解析 若 a 与 b 的夹角为锐角,则
? ?3λ +4λ >0, 4 1 1 ? 解得 λ <- 或 0<λ < 或 λ > ,所以 λ 2 3 3 3 ?2λ -6λ ≠0, ?
2

4? ? 的取值范围是?-∞,- ? ∪ 3? ?

?0,1?∪?1,+∞?. ? 3? ?3 ? ? ? ? ?
4? ? 1? ?1 ? ? 答案 ?-∞,- ?∪?0, ?∪? ,+∞? 3 3 3

?

? ?

? ?

?

B 组 专项提升测试 三年模拟精选 一、选择题 → → → → 8.(2015?山西四校联考)△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若AB+AC=2AO,且|OA| → → → =|AC|,则BA在向量BC方向上的投影为( A. 3 2 B. 3 2 C.3 ) D.- 3 2

π 解析 △ABC 的外接圆的圆心在线段 BC 的中点 O 处, 因此△ABC 是直角三角形, 且∠A= . 2 π π → → → → → 又因为|OA|=|CA|,∴∠C= ,∠B= ,∴AB= 3,AC=1,故BA在BC方向上的投影|BA 3 6 |cos π 3 = . 6 2

答案 A 二、填空题 → → → 9.(2015?泰州市高三期末)在梯形 ABCD 中,AB=2DC,|BC|=6,P → → → → → → 为梯形 ABCD 所在平面上一点, 且满足AP+BP+4DP=0, DA? CB=|DA → → |?|DP|,Q 为边 AD 上的一个动点,则|PQ|的最小值为________. → → → → 解析 取 AB 的中点 E,连接 PE,∵AB=2DC,AB=2EB, → → ∴DC=EB, ∴四边形 DEBC 为平行四边形,
3

→ → → → → → → → → → → → → ∴DE=CB,∵AP+BP=-2PE,AP+BP+4DP=0,∴PE=2DP.∵|BC|=6.∴|DP|=2,|PE |=4,设∠ADP=θ , → → → → ∵DA?CB=|DA|?|DP|, → → → → → → ∴DA?CB=|DA||CB|cos θ =|DA|?|DP|, 1 2 2 ∴cos θ = ,∴sin θ = , 3 3 → → → 当PQ⊥AD时,|PQ|最小, 2 2 4 2 → → ∴|PQ|=|DP|sin θ |=2? = , 3 3 4 2 故答案为: . 3 答案 4 2 3

10. (2014?辽宁抚顺检测)如图是半径为 2, 圆心角为 90°的直角扇形 OAB,

Q 为AB上一点, 点 P 在扇形内(含边界), 且OP=tOA+(1-t)OB(0≤t≤1),
→ → 则OP?OQ的最大值为________. → → → 解析 ∵OP=tOA+(1-t)OB, ∴B,P,A 三点共线, → → ∴BP=tBA,又 0≤t≤1, ∴P 在线段 BA 上运动. ︵ ∵Q 为AB 上一点,设∠POQ=θ , → → → → ∴OP?OQ=|OP||OQ|cos θ → → =2|OP|cos θ ≤2|OP|≤2?2=4, → → 即当 P,Q 重合且位于 A 或 B 处时,OP?OQ取得最大值 4. 答案 4 三、解答题 3 ? 11.(2014?湖南张家界 5 月模拟)已知向量 a=?cos x, 2 ?









4

sin

3 ? x x?,b=? cos ,-sin ? 2 ? 2 ?

x?

? π? ,且 x∈?0, ?. ? 2? 2? ?

求:(1)a?b 及|a+b|; 3 (2)若 f(x)=a?b-2λ |a+b|的最小值为- ,求实数 λ 的值. 2 解 3 x (1)a?b=cos x?cos - 2 2

3 x ?3 x? sin xsin =cos? x+ ?=cos 2x, 2 2 ?2 2? 3 ? 2 |a+b| =?cos x+cos 2 ?

2?

x?2

? +

2 ?sin 3x-sin x? =2+2cos 2x ? ? 2 2? ? =4cos x,
2

? π? ∵x∈?0, ?,∴cos x≥0, 2? ?
∴|a+b|=2cos x. (2)∵f(x)=cos 2x-4λ cos x=2cos x-4λ cos x-1, ∴f(x)=2(cos x-λ ) -1-2λ . π ∵x∈[0, ], 2 ∴cos x∈[0,1]. 3 ①当 λ <0 时,当且仅当 cos x=0 时,f(x)取最小值-1 与已知最小值- 矛盾. 2 3 1 2 ②当 0≤λ ≤1 时,当且仅当 cos x=λ 时,f(x)取最小值-1-2λ =- ,解得 λ = . 2 2 3 5 ③当 λ >1 时,当且仅当 cos x=1 时,f(x)取最小值 1-4λ =- ,解得 λ = 与 λ >1 2 8 矛盾. 1 综上所述,λ = 即为所求. 2 3π 12.(2014?东北三校联考)向量 a=(2,2),向量 b 与向量 a 的夹角为 ,且 a?b=-2. 4 (1)求向量 b;
2 2 2

? (2)若 t=(1,0),且 b⊥t,c=?cos A,2cos ?

2

?,其中 A、B、C 是△ABC 的内角,若△ABC 2?

C?

的内角 A、B、C 依次成等差数列,试求|b+c|的取值范围.
5



(1)设 b=(x,y),则 a?b=2x+2y=-2,且|b|=

a?b

3π |a|cos 4

=1= x +y .∴解得

2

2

?x=-1, ? ?x=0, ? ? 或? ?y=0 ?y=-1. ? ?

∴b=(-1,0)或 b=(0,-1). (2)∵b⊥t,且 t=(1,0), ∴b=(0,-1). π ∵A、B、C 依次成等差数列,∴B= . 3

? ∴b+c=?cos A,2cos ?
=(cos A,cos C).

2

C
2

-1? ?

?

∴|b+c| =cos A+cos C 1 =1+ (cos 2A+cos 2C) 2 1? ?4π ?? =1+ ?cos 2A+cos? -2A?? 2? ? 3 ?? 1? 1 3 ? =1+ ?cos 2A- cos 2A- sin 2A? 2? 2 2 ? π? 1 ? =1+ cos?2A+ ?. 3? 2 ? π ?π 5π ? ∵2A+ ∈? , ?, 3 ? 3 ?3 π? 1 ? ∴-1≤cos?2A+ ?< , 3? 2 ? 1 2 5 2 5 ∴ ≤|b+c| < ,∴ ≤|b+c|< . 2 4 2 2 一年创新演练

2

2

2

?π ? 13.已知向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),其中 x∈? ,π ?. ?2 ?
(1)若|a-b|=2,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a?b,求 f(x)的值域. 解 (1)因为 a-b=( 3sin x-cos x,0),所以|a-b| =( 3sin x-cos x) =4,所以
2 2

2π ? π? ?π ? 3sin x-cos x=±2 即 sin?x- ?=±1,因为 x∈? ,π ?,所以 x= . 6? 3 ? ?2 ? (2)因为 f(x)=a?b = 3sin xcos x+sin x
6
2



3 1-cos 2x sin 2x+ 2 2

π? 1 ? =sin?2x- ?+ , 6? 2 ? π ?5π 11π ? ?π ? ∵x∈? ,π ?,2x- ∈? , ?, 6 ? 6 ? 6 ?2 ? π 5π π 所以当 2x- = ,即 x= 时, 6 6 2 [f(x)]max=1, π 3π 5π 当 2x- = ,即 x= 时, 6 2 6 1 [f(x)]min=- , 2

? 1 ? 所以 f(x)的值域为?- ,1?. ? 2 ?

7


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