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昂立新高一数学第十讲 命题与充要条件


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第十讲 ? 命 题 与 推 出 关 系 一、知识点梳理

命题与充要条件

1、命题: 可以判断真假的语句叫做命题。命题通常用陈述句表述。正确的命题叫真命题,错误的 命题叫做假命题. 2、 命题的构成:在数学中常见的命题由条件与结论两部分组成. 如命题“如果 x ? 2 ,那么 x 2 ? 4 ” ,其中 x ?

2 是条件, x 2 ? 4 则是结论. 3、命题真假的判断方法: (1)判断一个命题是假命题:举反例。即举一个满足命题条件,而不满足命题结论的例子. 命题“如果 x ? y ? 2 ,那么 x ? 1且y ? 1 ”是假命题. 反例: x ? 1.3, y ? 0.7 满足命题条件 x ? y ? 2 ,但不满足命题结论 x ? 1且y ? 1 .

(2)确定一个命题是真命题:必须作出证明。即证明若满足命题条件就一定能推出命题的结 论. 如命题“末两位数是 12 的正整数能被 4 整除”是一个真命题.理由:因为末两位数是 12 的正整数可以写成 100k ? 12 的形式( k ? N ), 而1 0 0 k 1 2? 4 2 ( 5 ?3 )
*

k?

, 所以 100k ? 12 能

被 4 整除.即命题“末两位数是 12 的正整数能被 4 整除”是一个真命题. 3、推出关系: 一般地说,如果命题 ? 成立可以推出命题 ? 成立,那么就说由 ? 可以推出 ? ,并用记 号“ ? ? ? ” ,读作“ ? 推出 ? ”. 也就是说, ? ? ? 表示以 ? 为条件、 ? 为结论的命题是真命题. 如果 ? 成立不能推出 ? 成立, 记为 “? ? , 读作 “ ? 推不出 ? ” .换言之,? ? ? ?” ? ? 表示以 ? 为条件、 ? 为结论的命题是假命题. 4、等价关系: 如果 ? ? ? ,并且 ? ? ? ,那么记作 ? ? ? ,叫做 ? 与 ? 等价. 二、例题分析:

例题 1、 (1)命题:有一个角是 60 的等腰三角形是正三角形.该命题是
(2)命题:奇数加奇数为偶数.该命题是
2 (3) 命题:若 x ? 1 ,则 x ? 1 .该命题是

命题.

命题. 命题.

(4)命题:如果一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0, a、b、c ? R) 满足 ac ? 0 ,那么这
2

个方程有实数根.该命题是
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命题.

2

( 5 ) 命题:如果一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0, a、b、c ? R) 有实数根,那么

ac ? 0 .该命题是

命题.

(6)命题:已知 a, b, c ? N * ,如果 ab 是 c 的倍数,那么 a , b 中至少有一个是 c 的倍数.该 命题是 (7) 命题. 命题:如果 | a |? 2 ,那么 a ? 2 .该命题是 命题. 命题.

(8)命题:如果 A

B ? A ,那么 A B ? B .该命题是

例题 2、 (1) 已知 ? : ? ABC 是等边三角形; ? : ? ABC 是轴对称图形.命题 ? , ? 的推出 关系是 .

( 2 )已知 ? : 一次函数 y ? kx ? b( k ? 0) 的图像经过第一、二、三象限; ? : 一次函数

y ? kx ? b(k ? 0) 中 k ? 0, b ? 0 .命题 ? , ? 的推出关系是

. .

(3) 已知 ? : 实数 x 满足方程 x 2 ? x ; ? : x ? 1 .命题 ? , ? 的推出关系是

( 4 )已知 x、y ? N , ? : x ? y 是偶数, ? : x 和 y 都是偶数 . 命题 ? , ? 的推出关系 是 . .

(5)命题: ? : | x |?| y | , ? : x ? y . ? , ? 的推出关系是

2 2 (6)已知 a、b、c ? R 且 a ? 0 , p : b ? 4ac ? 0 , q :关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0 有

实数根. p, q 的推出关系是

.
?

(7)已知全集 U ,命题:? : A ? B , ? : (CU A) ? B ? U .? , ? 的推出关系是 (8)已知 p : a ? 0 , q : ab ? 0 . p, q 的推出关系是 .

.

?

四种命题形式 一、知识点梳理:

命题由条件和结论构成, 若把命题的条件用 ? 表示, 结论用 ? 表示, 就是 “如果 ? , 那么 ? ” . (1) 、原命题:如果 ? ,那么 ? (2)、逆命题:把命题: “如果 ? ,那么 ? ”的结论与条件互换,得到的新命题: “如果 ? , 那么 ? ” ,我们把这个新命题叫做原命题的逆命题。事实上,这两个命题互为逆命题.
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如:命题(A) “如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等”的逆命题是命题 (B)________________________________________________________________________ (3)、否命题:若一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定,则 把这两个命题叫做互否命题。如果其中一个是原命题,则另一个就叫做原命题的否命题. 我们通常把 ?、? 的否定分别记为 ?、 ? ,那么命题“如果 ? ,那么 ? ”的否命题就是: “如果 ? ,那么 ? ”. 如: 命题(A)的否命题是_________________________________________________________. (4)、逆否命题:我们把原命题“如果 ? ,那么 ? ”的结论否定作条件,把条件否定作结 论,就得到一个新命题:如果 ? ,那么 ? ”.我们把这个命题叫做原命题的逆否命题. 如命题(A)的逆否命题是:____________________________________________________. 注意:在四种命题中,难度最高的是否命题的写法。 常见的否定形式:
原结论 否定形 式 是 都是 = > < 或 至少 n 个

二、例题分析: 例题 1:设原命题是“当 c>0 时,若 a>b,则 ac>bc” ,写出它的逆命题、否命题与逆否命题

例题 2、写出命题“若 xy= 0 则 x = 0 或 y = 0”的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假

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例题 3、写出命题: “若 xy = 6 则 x = 3 且 y = 2”的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假

例题 4、写出“若 a , b 都是有理数,则 a ? b 是有理数” 的逆命题、否命题、逆否命题并判 断真假

? 等价命题 1) 如果 A、B 是两个命题,___________________________那么 A、B 叫等价命题。 注意:两个等价命题,它们的真假性是_____________(填“相同”或“不同”)的。 2)原命题与_________________,否命题与_________________是等价命题。 说明:如果判断一个命题的真假有困难时,可以尝试去判断它的________命题来代替原命 题 巩固练习: 1、 命题 “若 a ? b ? 0 , 则实数 a ? 0 或 b ? 0 ” 的否命题是 2、 下列命题中与命题 “能被 6 整除的整数一定能被 2 整除.” 等价的命题是 A. 能被 2 整除的整数一定能被 6 整除; B. 不能被 6 整除的整数一定不能被 2 整除; C. 不能被 2 整除的整数不一定能被 6 整除; D. 不能被 2 整除的整数一定不能被 6 整除. 3、命题“若 x>1 且 y<?3,则 x?y>4”的逆否命题是 4、命题“若 A ? B ,则 A ? B ”及其逆命题,否命题,逆否命题这四个命题中,真命题 的个数是 。 命题(填“真”或“假”) . ( . )

5、 命题“若 a ? 1 且 b ? 1 ,则 a ? b ? 2 ”的否命题是

6、 命题: “已知 x、y ? N , 如果 x ? y 是偶数, 那么 x 和 y 都是偶数” 的逆否命题是

__________________________________________________________
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? 充分条件和必要条件 一、基础知识梳理: 1、材料阅读,加深理解: 例题: “ 如果x ? 3,那么x ? 2 ”是一个真命题, 条件: ?:x ? 3 在这里 ? ? ? 结论: ?:x ? 2

我们把 ?叫做?的充分条件 , ?叫做?的必要条件

如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢?下面我们以上述例题为例来 说明。 先说充分性:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以 保证的。例如:说“ ?:x ? 3 ”是“ ?:x ? 2 ”的一个充分条件,就是说“ ?:x ? 3 ” , 它足以保证“ ?:x ? 2 ”. 再说必要性: 必要就是必须, 必不可少, 少了可不行。 例如: 说 “ ?:x ? 2 ” 是 “ ?: x ? 3 ” 的一个必要条件,就是说,要使 x>3,则 x>2 是必不可少的条件,因为如果 x 不大于 2,则 x 不可能大于 3。因此,必要条件简单说就是:有它不一定,没它可不行. 2、定义:一般地,用 ? 、 ? 分别表示两个命题,如果命题 ? 成立,可以推出命题 ? 也成 立,即 ? ? ? ,那么 ? 叫做 ? 的充分条件, ? 叫做 ? 的必要条件。

说明: (1)由于“ ? ? ? ”与“ ? ? ? ”等价,故 ? 是 ? 的必要条件。 (2) “? ? ? ” , “ ? 是 ? 的充分条件” , “ ? 是 ? 的必要条件”是同一逻辑关系
的三种不同描述形式,前者是符号表示,后两者是文字表示。 (3)充分条件的含义用通俗的语言来说是指“有它就行” , 即“有之必然” ; 必要条件的含义用通俗的语言来说是指“缺它不行” ,即“无之必不然” 。 3、 总结归纳: 1)我们用 M 和 N 表示两件事情, 1 若M ○ 若M

? N ,则 M 叫 N 的_________________条件;
N,则 M 叫 N 的_________________条件;

2 若 N ? M ,则 M 叫 N 的_________________条件; ○ 若N M,则 M 叫 N 的_________________条件;

2)要判断 P 是 Q 的什么条件,要从两方面去考虑: (1)充分关系(2)必要关系 (1)先判断充分关系:看______能否推出______? (2)再判断必要关系:看______能否推出_______?
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二、例题分析: 例题 1、 指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件:

⑴ p:x=y;q:x2=y2.

⑵ p:x>3;q:x>1

例题 2、 已知命题 P: x>3, 请分别找出命题 p 的一个充分不必要条件;一个必要不充分条件。

巩固练习:

1、用“充分非必要条件”或“必要非充分条件”填空:
(1)四边形的对角线相等是四边形为矩形的________; (2) a ? 5 是 a 为正数的______________.

2、填空(写出一个满足题意的即可) (1) “ ab ? 0 ”的一个充分非必要条件是 ; (2) “ x ? 3 ”的一个必要非充分条件是 . ? 2? , ? P ? x ?? 3 x 3 、 设 集 合 M ?? x x , 那 么 “ x?M 或 x? P ” 是
“ x?M

P ”的(

4、已知命题 P : x ???a, a? ,命题 Q : x ? a ,则 P 是 Q 的(
A.充分非必要条件 C.既充分又必要条件 根”的( ) A.充分非必要条件 C.既充分又必要条件 ) A.充分非必要条件 C.既充分又必要条件
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) A.充分非必要条件 C.既充分又必要条件

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 ) B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

5 、“ ?2 ? a ? 2 ” 是 “ 实 系 数 一 元 二 次 方 程 x 2 ? ax ? 1 ? 0 没 有 实
B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

6、 “ x ? 3 或 y ? 2 ”是“ x ? y ? 5 ”的(

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命题与充要条件综合练习: 1、 命题“若 x 2 ? 4 ,则 x ? 2 ”的否命题是 .

2、命题“如果一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0, a、b、c ? R) 满足 ac ? 0 ,那么这个 方程有实数根”的逆命题是 是 命题 ,是 命题 . ________ ,

3、命题“如果 x ? 3 ,那么 x 2 ? 9 ”的逆否命题是 4、 命题 “如果 x ? 3且y ? 4 , 那么 x ? y ? 6或xy ? 6 ” 的否命题是 5、命题“已知 x ? R ,如果 | x |? 2 ,那么 x ? 2 ”的逆否命题是 或假).

______

命题(填:真

6、命题“已知 k ? 0 ,如果函数 y ? kx ? b 的图像不经过第四象限,那么 k ? 0且b ? 0 ” 的否命题是 .

7 、 命题“已知 m、n ? Z ,如果 m、n均为偶数 ,那么 m ? n 是偶数” . 的逆否命题是
__________________________________________________________ ,是 , 是 命题. 命题(填:

8、 命题 “如果 x ? 0且y ? 0 , 那么 xy ? 0 ” 的逆否命题是
真或假).

9、钱大姐常说“便宜没好货” ,她这句话的意思是: “不便宜”是“好货”的() (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 ) D. 既不充分

“a ? 3” “A ? B” 10、已知集合 A ? ? 是 的( 1, a? , B ? ? 1,2,3? ,则
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

11、若 a ? R,则 a=2 是(a-1) (a-2)=0 的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 C.既不充分又不必要条件

2 2 12、设 x, y ? R, 则“ x ? 2 且 y ? 2 ”是“ x ? y ? 4 ”的

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A. 充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件

13、设集合 M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N ? M”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 14、 “ m ?

1 2 ”是“一元二次方程 x ? x ? m ? 0 ”有实数解的 4
B.充分必要条件 D.非充分必要条件 )

A.充分非必要条件 C.必要非充分条件

15、已知 a , b 是实数,则“ a ? 0 且 b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ”的 ( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 16、填空(写出一个满足题意的即可) (1)写出 x ? B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2 的一个必要不充分条件



(2) “ ab ? 0 ”的一个充分非必要条件是 (3) “ x ? 3 ”的一个必要非充分条件是

; .

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