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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)4.4

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讲案 4.4 三角函数的图象 课前自主研习 温故而知新 可以为师矣 知 识 导 读 1.正弦函数 y=sinx 的图象特征 关于____对称,五点作图法简图五 个点通常是平衡点__________________ 三个,最值点__________________.任 何 一 个 ______ 都 是正弦曲线的对称中 心.过______且平行于__________的直 线都是它的对

称轴. 2.余弦曲线可以由 y=sinx 的图象 向______平移______个单位得到. 3.图象作法 (1)精确作法: 用______________法. (2)作简图: 用________________法. 4.图象变换:平移、伸缩变换 平移、伸缩两个程序

路径① :先将正弦曲线平移______个单 位, 再将图象上各点横坐标______(ω>1 时 ) 或 ______(0 < ω < 1 时 ) 到 原 来 的 ______(纵坐标不变), 再将图象上各点纵 坐标伸长(A>1 时)或缩短(0<A<1 时) 到原来的______倍. 路径②:先伸缩后平移,注意平移 φ 量为______(ωx→ωx+φ=ω(x+ω). 如:由 y=sin2x 的图象变为 y= π π sin(2x+ 3 )的图象,不是向左平移 3 个单 π 位,而是向左平移6个单位. 两路径中的平移均贯彻 φ> 0______, φ<0______, 即____________. 若按 y 轴平移,按“______”的法 则. 5.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0), x∈[0,+∞)在物理中的应用: 1 ω A 叫 做 ______ , f = T = 2π 叫 做

2π ______,T= ω 叫做______,ωx+φ 叫做 ______,φ 叫做______. 提示:五点法作 y=Asin(ωx+φ)的 简图时,五点取法是:设 X=ωx+φ,X π 3 取 0、2、π、2π、2π 来求相应的 x 值及 对应的 y 值,再描点作图. 6.三角函数图象的对称性 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的图象具有轴对称和中心对称.具体如 下: (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于 直线 x=xk(其中 ωxk+φ=______)成轴对 称图形. (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于 点(xi,0)(其中 ωxi+φ=______)成中心对 称图形. 导读校对:1.原点 (0,0)、(π,0)、 π 3 (2π,0) (2,1)、(2π,-1) 平衡点 最 π 值点 y 轴 2.左 2 3.(1)单位 (2)五

点作图

4.|φ|

缩短

伸长

1 ω倍

A

φ |ω| 左移 右移 左加右减 上加下减 5. 振 幅 频 率 周 期 相 位 初 相 π 6.(1)kπ+2,k∈Z (2)kπ,k∈Z 基 础 热 身 1.(2010· 西 卷 ) 对 于 函 数 f(x) = 陕 2sinxcosx,下列选项中正确的是( ) ?π π? A.f(x)在?4,2?上是递增的 ? ? B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的最小正周期为 2π D.f(x)的最大值为 2 解析:∵f(x)=2sinxcosx=sin2x, ∴f(x)为奇函数, ∴f(x)的图象关于原 点对称. 答案:B 2.(2010· 辽宁卷)若 ω>0,函数 y ? π? 4π ?ωx+ ?+2 的图象向右平移 个单 =sin 3? 3 ? 位后与原图象重合,则 ω 的最小值是

(

) 4 B. 3 3 C. 2

2 A. 3 D.3

4 解析:由函数向右平移3π 个单位后 4 与原图象重合,得3π 是此函数周期整数 倍. 2π 4 3 又∵ω>0,∴ ω · 3 π,∴ω= 2 k= 3 k(k∈Z),∴ωmin=2. 答案:C 3.(2010· 重庆卷)若函数 y=sin(ωx ? π? + φ) ?ω>0,|φ|<2? 的 部 分 图 象 如 图 所 ? ? 示,则( ) ? A.ω=1,φ= 6 ? B.ω=1,φ=- 6 ? C.ω=2,φ= 6

? D.ω=2,φ=- 6

T 7π π π 解析: ∵由图象知4 =12-3=4, ∴T =π,ω=2, 7π 且 2×12+φ=kπ+π(k∈Z),φ=kπ π -6(k∈Z). π π 又∵|φ|<2,∴φ=-6. 答案:D 4.函数 f(x)=tanωx(ω>0)的图象的 π 相邻两支截直线 y=1 所得线段长为4, π 则 f(12)的值是( ) 3 A . 0 B. 3 C.1 D. 3 解析:∵y=tanωx 的图象相邻两支

π 被直线 y=1 所截得的线段长为4,∴T= π 4,∴ω=4. π π π f(12)=tan(4×12)=tan3= 3. 答案:D π 5. 已知函数 f(x)=sin(ωx+4)(x∈R, ω>0)的最小正周期为 π,为了得到函数 g(x)=cosωx 的图象,只要将 y=f(x)的图 象( ) π A.向左平移8个单位长度 π B.向右平移8个单位长度 π C.向左平移4个单位长度 π D.向右平移4个单位长度 2π 解析: 因为 T=π, ω= T =2, 则 f(x) π =sin(2x+4),g(x)=cos2x.将 y=f(x)的图

π 象向左平移 8 个单位长度时,y=sin[2(x π π π +8)+4]=sin(2x+2)=cos2x. 答案:A 思维互动启迪 博学而笃志 切问而近思 疑难精讲 1.作函数的图象时, 首先要确定函数 的定义域. 2.对于具有周期性的函数,应先求 出周期,作出图象时只要作出一个周期 的图象,就可根据周期性作出整个函数 的图象.其次可利用一些简单性质. 3.基本作图法是“五点法”和“变 换法”,其中“五点法”的关键是五个 特殊点;图象变换要特别注意是 “变 量”的变化而不是“角”的变化. 图象变换的两种途径的差异,先相 位变换后周期变换与先周期变换后相位 变换,图象平移的幅度不同. 4.给出图象求解析式 y=Asin(ωx+

φ)+B 的难点在于 ω、φ 的确定,本质为 待定系数法,基本方法是: ①“五点 法”,运用“五点”中的一项确定.② 图象变换法,即已知图象是由哪个函数 的图象经过变换得到的,通常可由零点 或最值点确定 T, ω.有时从找“五点法” ? φ ? 中的第一零点?-ω,0?作为突破口, 要从 ? ? 图象的升降情况找准第一零点的位置. 互动探究 题型 1 变换与三角函数图象的性质 x x 例 1 已知函数 y= 3sin 2 +cos 2 (x∈R). (1)用“五点法”画出它的图象; (2)求它的振幅、周期及初相; (3)说明该函数的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到. ? x π? 【解析】 (1)y=2sin?2+6?, ? ? x π 令 X=2+6,列表如下:

π 3π π 2π X 0 2 2 π 2π 5π 8π 11π x - 3 3 3 3 3 2 0 -2 0 y 0 描点连图

(2)振幅 A=2,周期 T=4π,初相为 π 6. π (3)将 y=sinx 图象上各点向左平移6 ? π? 个单位长度,得到 y=sin?x+6?的图象, ? ? ? π? 再把 y=sin?x+6?的图象上各点的横坐标 ? ? 伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到 y= ? x π? ? x π? sin?2+6?的图象.最后把 y=sin?2+6?的 ? ? ? ? 图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 ? x π? (横坐标不变), 即得函数 y=2sin?2+6?的 ? ?

图象. 题型 2 已知图象求其解析式 例 2 如图所示,函数 y=Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0)的图象上相邻的最高点与 5π 11π 最低点的坐标分别为(12,3)和( 12 ,- 3),求该函数的解析式.

【思维点拨】 考查观察图形的能 力,三角函数的性质等. 【解析】 依题意知 A=3,设最小 T 11π 5π π 正周期为 T,则2= 12 -12=2. 2π ∴T=π,又 T= ω ,∴ω=2. ∴函数解析式为 y=3sin(2x+φ). π 从图象特征看,我们可以将( 6 ,0) π 看作第一个关键点,则有 ωx+φ=2×6 π +φ=0,解得 φ=-3,

π ∴y=3sin(2x-3). 题型 3 三角函数的图象变换 1 π 例 3 如何由 y=3sin(2x+3)的图象得 到 y=sinx 的图象? 1 π 【解析】 将 y=3sin(2x+3)的图象 上各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍, y 得 π =sin(2x+3)的图象;再把图象上各点的 横坐标伸长到原来的 2 倍,得 y=sin(x π π +3)的图象;再把 y=sin(x+3)的图象向 π 右平移3个单位长度,即得到 y=sinx 的 图象. 题型 4 三角函数图象的应用 例 4 若方程 3sinx+cosx=a 在[0,2π] 上有两个不同的实数根,求 a 的取值范 围.

【 解 析 】 ? π? 2sin?x+6?, ? ?

3 sinx + cosx =

? π? x∈[0,2π], 作出 y=2sin?x+6?在[0,2π] ? ?

内的图象如图所示:

由图象可知,当 1<a<2 或-2<a <1 时, ? π? 直线 y=a 与 y=2sin?x+6?有两个交 ? ? 点, 故 a 的 取 值 范 围 为 a∈( - 2,1)∪(1,2). 错解辨析 π x π 例 5 作出函数 y=sin 3 sin 2 -cos 3 x cos2在一个周期内的图象是( )

(1)B (2)C、D 选 B 错误在于对解析式 x π 变形得知 y=-cos(2+3)从而得到 y=- 1 2π 2π cos[2(x+ 3 )],理解初相为- 3 而得,或 总认为原函数是余弦型的曲线,没有理 解正余弦型图象的互相关系,选 C、D 的错误是猜选或变形变换错误所致. 【正解】 变换函数解析式得到 y x π =-cos(2+3). 解法一:用“五点法”作出其图象, 作比较选择 A 解法二:以从解析式中反映出来的 函数性质与图象作对比,运用排除法. 7π 10π 当 x= 3 时,y=0.x= 3 时 y≠0 8π x= 3 时,y≠0,故可排除 B、C

【错解】 【错因】

π 又当 x=0 时,y=-cos3<0 故排除 D.从而选 A. 【答案】 A


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