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圆的标准方程教案

时间:2012-05-20


题目

2.3.1 圆的标准方程

年级

高一年级

上课地点

田家炳

课型

新授课

教 具

黑板, 彩色粉笔,直尺,圆规

教学方法

启发式教学,

讲解法

1、知识与技能目标: 1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程; 2.会根据圆心坐标、 半径熟练地写出圆的标准方程以及从圆的标准方程熟 练地求出圆心和半径;由不同的已知条件求得圆的标准方程。 3.掌握点与圆位置关系的判定 2、过程与方法目标 教 学 目 标 1.进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力;加深对数形结合思 想的理解和加强对待定系数法的运用; 2.利用圆的标准方程解决简单的实际问题,加强学生理论联系实际的能 力 3、情感态度与价值观目标

1.培养学生主动探究知识、合作交流的意识; 2.在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.

重 点 圆的标准方程的求法及应用

难 点

根据不同的已知条件求圆的标准方程 选择恰当的直角坐标系解决与圆有关的实际问题 具 体 内 容 教 师 活 动 学 生 教 学 活 动 意 图

项 目

复 习

教 师 提

复习直 线的方 程形式,

复习上节课内容,思考一下几个问题
问。

什么是直线方程?确定直线方程的要素有哪些?
帮助同

直线方程有哪几种表达式,都是什么样的 ?
学去联 想圆的 方程

引 入 新 课 教学 过程

上节课我们已经学过直线方程的概念,直线斜率及直线 方程的常见表达式,我们知道了关于 x,y 的二元一次方程都 表示一条直线,那么曲线方程会有怎样的表达式呢?这节课 让我们一起来学习最常见的曲线----圆的方程的第一节圆的 标准方程。 一、新课引入 同学们在初中的时候就已经初步了解了圆的有关知识, 那么哪一位同学来回答圆的概念? 是的, 平面内到一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆。 定点是圆心,定长是圆的半径。圆心和半径分别确定了圆的 位置和大小. 现在我们求以 C(a,b)为圆心, r 为半径的圆的方程
X,似

教 师 在 黑 板 上 引 导 启 发 同 学 们 一 起 建 立 圆 的 标 准 方程,加 深 学 生 学 习 印 象。

讲 授 新 课

首先我们建立一个直角 坐标系,设点 M(x,y)是圆 上任意一点,那点 M 在圆上 的条件是|MC|=r,那么由我 们已经学过的两点间的距离公式,所说条件可以转化 为方程表示:

将上式两边平方得: (x-a)2+(y-b)2=r2. (1) 显然, 圆上任意一点 M 的坐标 (x, 适合方程 y) (1) ; 如果平面上一点 M 的坐标(x,y)适合方程(1), 可得|MC|=r,则点 M 在圆上。 所以方程(1)是以 C(a,b)为圆心、r 为半径的圆的方

程.我们把它叫做圆的标准方程.
提 醒 学 同学独立 思考,给 出答案。

那同学们观察一下圆的标准方程形式有什么特 点?思考一下当圆心在原点时,x 轴上,y 轴上时,圆 的方程是什么? 这是二元二次方程,展开后没有 xy 项,括号内变 数 x,y 的系数都是 1.点(a,b)、r 分别表示圆心的 坐标和圆的半径. 2 2 2 且当圆心在原点即 C(0,0)时,方程为 x +y =r 圆心在 x 轴上时: ( x ? a ) 2 + y 2 = r 2
圆心在 y 轴上时: x + ( y ? b) = r
2 2 2

生 注 意 圆 心 在 不 同 位 置 时 圆 的 标 准 方 程 的 不 同 形 式。

( r ≠ 0) ( r ≠ 0)

讲 授 新 课

圆心和半径分别确定了圆的位置和大小, 圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆, 从而确定了圆, 定了圆 所以, 所以,只要 a,b,r 三个量确定了且 r>0,圆的方程就给定 , , > , 这就是说要确定圆的方程, 必须具备三个独立的条件. 了. 这就是说要确定圆的方程, 必须具备三个独立的条件. 注 意,确定 a、b、r,可以根据条件,利用待定系数法来解决. 、 、 ,可以根据条件,利用待定系数法来解决. 口头练习

确定圆 的标准 方程的 必要条 件。

教学 过程

1 说出下列圆的圆心和半径: 2 2 (1)(x-3) +(y-2) =5; 2 2 (2)(2x+4) +(2y-4) =8; (3)(x+2)2+ y2=m2 (m≠0) 总结:已知圆的标准方程,要能够熟练地求出它 的圆心和半径. 2、(1)圆心是(3,-3),半径是 2 的圆是 _________________. (2)以(3,4)为圆心,且过点(0,0)的圆 的方程为( ) 总结:根据圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标 准方程. 容易看出, 。(x。,y。)在圆外 在圆外, 容易看出,如果点 M。(x。,y。)在圆外,则 点到圆心的距离大于圆的半径 r,即
( x0 ? a ) 2 + ( y0 ? b) 2 > r 2

教 师 注 意 提 醒 同 学 语 言 精 练 准确。

学生独立 总结。

确定点 与圆的 位置关 系的条

。(x。,y。)在圆内 在圆内, 如果点 M。(x。,y。)在圆内,则点到圆心的 距离小于圆的半径 距离小于圆的半径 r,即
( x 0 ? a ) 2 + ( y 0 ? b) 2 < r 2

件。

当然我们刚才做的练习题都是比较简单的,那当遇到比 较复杂的条件时,我们怎么来确定圆的标准方程呢?我们来 做下面的一道题。

例 1 根据下列条件,求圆的方程: (1) 圆心在点 C(-2,1),并过点(2,-2)的圆。 (2) 圆心在点 C(1,3), 并与直线 3 x ? 4 y ? 6 = 0 相切 的圆的方程 (3) 过点(0,1)和点(2,1),半径为 。 分析 :圆心和半径是圆的两要素,只要确定圆心 坐标和半径就可以写出圆的方程。 解:(1)∵点(2,-2)在圆上,∴所求圆的半 径为 r=|CA|= =5. 又因为圆的圆心为(-2,1),所以所求圆的方程 为(x+2)2+(y-1)2= 25 (2)已知圆心坐标 C(1,3),故只要求出圆的半径, 因为圆 C 和直线 就能写出圆的标准方程
王新敞
学案 新疆

教 师 亲 自 讲 解 例 题 的 解 题 过 程,看同 学 反 应 情 况 给 予 适 当 提醒、启 发。

学生独立 思考,自 觉发言。

教师书 写板书, 规范答 题过程

讲 授 新 课

3 x ? 4 y ? 6 = 0 相切,所以半径 r 就等于圆心 C(1,3)

到这条直线的距离 根据点到直线的距离公式,得
王新敞
学案 新疆

r=

| 3 ×1 ? 4 × 3 ? 6 | 3 + ( ? 4)
2 2

=

15 =3 5

王新敞
学案

新疆

教学 过程

因此,所求的圆的方程是
( x ? 1) 2 + ( y ? 3) 2 = 9.
王新敞
学案 新疆

(3)不能直接确定圆心坐标时, 要使用待定系数法。 设圆心坐标为(a,b),则圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=52. 已知圆过点点(0,1),(2,1),带入圆的方 程,得

通过简 单的例 教 师 注 意 多 种 方 法 解 题。 学生独立 思考,自 觉发言。 题的学 习, 熟悉 圆的标 准方程 的基本 建立方

解得



法。

因此,所求圆的方程为
( x ? 1) 2 + ( y + 1) 2 = 5. 或 ( x ? 1) 2 + ( y ? 3) 2 = 5.
教 师 应

小结本题:求圆的方程的方法 定义法 ⑴ 定义法:直接求出圆心坐标和半径 待定系数法: ⑵ 待定系数法:步骤是 ① 设 圆 的 标 准 方 程 为 : ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 由条件列方程( ② 由条件列方程(组)解之得 a, b, r 的值 ③ 写出圆的标准方程 例 2 经 过 点 A(6,0), B(1,5) 两 点 , 且 圆 心 在 直 线

该 注 意 提 醒 学 生 熟 练 掌 握 做 文 字 叙 述题。 学生自己 练习做题 步骤,然 后独立思 考。

l : 2 x ? 7 y + 8 = 0 上的圆的方程‘ 分析: 由题意得, 圆心在线段 AB 的垂直平分线上, 又在直线 l 上,所以圆心是直线 l 与 m 的交点。将 直线 l 与 m 的方程联立,解方程组,可以求出圆 心坐标,再由圆心及圆上一点的坐标可以求出圆 的半径。

教 师 注 意 多 种 方 法 解

学生叙述 思路,同 学间交流 发现不同 解法。

教师书 写板书, 规范答 题过程

讲 授 新 课

解法一: 法一 由题意得 AB 的中垂线方程为 x ? y ? 1 = 0 ?x ? y ? 1 = 0 ?x = 3 由? ,解之得: ? ,所以圆 ?2 x ? 7 y + 8 = 0 ?y = 2 心为 C (3,2) 又半径 ∴ r =| CA |= ∴ 所 求 的 圆 的 标 准 方 程 为 : ( x ? 3) 2 + ( y - 2) 2 = 13
解法二: 解法二

题。

题 目 较 为困难, 教 师 在 课 堂 上 讲 解 时

教学 过程

对 同 学 启示。

同学在课 堂练习, 一名同学

小结本题:注意多种方法解题。

在黑板演 示

课堂练习与提高
教 师 提

1. 圆心为 (0,4) ,且过点 (3,0) 的圆的方程为( A. x + ( y ? 4) = 25
2 2


问。

B. x 2 + ( y + 4) 2 = 25 C. ( x ? 4) + y = 25
2 2

实际应 用定义 法和待 定系数

D. ( x + 4) + y = 25
2 2

2. 已 知 圆 的 方 程 为 ( x ? 2) + ( y ? 3) = 4 , 则 点
2 2

法解决 求圆的

P (3,2) (
A.是圆心

) B.在圆上 D.在圆外
教 师 启 小 组 讨 论,课堂 练习,找 一名同学 叙述思路
2 2

方程问 题, 学以

巩 固 新 课

C.在圆内

致用。

3. 圆 C : ( x ? 2) + ( y + 1) = 3 的圆心坐标是( A. (2,1) C. (?2,1) B. ( 2,?1) D. ( ?2,?1) )



发引导。

教学 过程

4. 以原点为圆心,4 为半径的圆的方程为( A. x 2 + y 2 = 4 B. x 2 + y 2 = 16 C. x 2 + y 2 = 2 D. ( x ? 4) 2 + ( y ? 4) 2 = 16 5. 方程 y = 9 ? x 2 表示的曲线是( A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线
2 2



D.半个圆
学生独立 课堂练 习, 一名 同学演 示,讲 解, 巩固 所学知 识。

6. 圆 x + y = 1 的圆心为( A. (0,0) C. (0,1)
2



思考,模 仿例题的 求 解 过

B. (1,1) D.不存在
2

程。

7. 圆 ( x ? 1) + ( y + 2) = 2 的半径为( A.1
2

) D.4

B. 2
2
2

C.2
2

8. 圆 C : ( x ? 1) + ( y + 2) = 4 , P ( x0 , y0 ) 在圆 C 内 点 部,且 d = ( x0 ? 1) + ( y0 + 2) 则有( A. d > 2 C. d > 4 B. d < 2 D. d < 4 ) )

9. 圆 C : ( x ? 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 4 的面积等于(

A. π C. 4π

B. 2π D. 8π

10. 若点 P (1,1) 为圆 ( x ? 3) 2 + y 2 = 9 的弦 MN 的中点, 则弦 MN 所在的直线方程为( ) B. x ? 2 y + 1 = 0 D. 2 x ? y ? 1 = 0

巩 固 新 课

A. 2 x + y ? 3 = 0 C. x + 2 y ? 3 = 0

本课小结 教学 过程 小 结 1.圆的方程的推导步骤。 2.圆的方程的特点:点(a,b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径。 3.由不同的已知条件求解圆的标准方程。 4. 求圆的方程的两种方法:(1)待定系数法;(2)定义法。 5. 数型结合的数学思想

同学总 结, 巩固 加深印 象。

作 业

教 学 后 记

板 书 设 计

一、建立圆的标准方程 1、圆的方程的推导 2 2 2 (x-a) +(y-b) =r 2、圆的标准方程的特点: 圆心(a,b)定位,r 定型 3、点与圆的位置关系

2.3.1 圆的标准方程 二.圆的标准方程的应用 例1 例2

复习引入 (擦掉) 学生练习


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