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湖北省襄阳五中2014届高三5月适应性考试数学(文)试题(含答案)


襄阳五中高三年级五月适应性考试(一)

数 学 试 题(文科)
命题人:段仁保 时间:2014 年 5 月 3 日

一、选择题(共 10 道小题,每题 5 分,共 50 分) 1.设集合 M ? { y | y ? 2sin x, x ? [?5,5]} , N ? {x | y ? log 2 ( x ? 1)} ,则 M ?

N ? ( A. {x | 1 ? x ? 5} B. {x | ?1 ? x ? 0} C. {x | ?2 ? x ? 0} D.{x |1 ? x ? 2}
2 ,则 ?1 ? i A. | z |? 2 B.z 的实部为 1 C.z 的虚部为﹣1 3.下列命题中的真命题是 ( ) A.对于实数 a 、b、c,若 a ? b ,则 ac 2 ? bc 2 B. x2>1 是 x>1 的充分而不必要条件 C. ?? , ? ? R ,使得 sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 成立


[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

2.已知复数 z ?





D. z 的共轭复数为 1+i

D. ?? , ? ? R , tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 成立 1 ? tan ? ? tan ?

3 4.某几何体的三视图 如图 1 所示,且该几何体的体积是 , 2 则正视图中的 x 的值是 ( ) 9 3 A. 2 B. C. D. 3 2 2 5. 某程序框图如图 2 所示,现将输出 ( x, y ) 值依次记为:

( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) , ... ( xn , yn ), ... 若程序运行中输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? ( )
C.18 D.16 10ln x ? 1 6.下列四个图中,函数 y ? 的图象可能是 x ?1
y -1

A.32

B.24


y


y

y -1
-1

O
A

x

O
B

x

O

x

-1

O

x

C

D

7.设 A 1 , A2 , A 3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 A 1 A3 ? ? A 1 A2 (λ∈R),

A1 A4 ? ? A1 A2 (μ∈R),且

1

?

?

1

?

? 2 ,则称 A3 , A4 调和分割 A1 , A2 ,已知点 C(c,


0), D(d,0) (c,d∈R)调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是( A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C,D 可能同时在线段 AB 上 D.C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上

8.为大力提倡“厉行节约,反对浪费”,某市通过随机询问 100 名性别不同的居民是否能做 到“光盘”行动,得到如下的列联表: 附:

做不到“光盘” 男 女 45
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

能做到“光盘” 10 15
K2 ? n( ad ? bc )2 ( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

30

参照附表,得到的正确结论是 ( ) A.在犯错误的概率不超过 l%的前提下,认为“该市居民能否做到?光盘?与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 l%的前提下 ,认为“该市居民能否做到?光盘?与性别无关” C.有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到?光盘?与性别有关” D.有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到?光盘?与性别无关” ?sin ? x(0 ? x ? 1) 9.已知函数 f ( x) ? ? ,若 a、b、c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 a+b
?log 2014 x( x ? 1)

+c 的取值范围是 ( ) A. (1,2014) B. (1,2015) C. (2,2 015) D.[2,2015] 10.设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,如果存在正实数 k ,对于任意 x ? D ,都有 x ? k ? D , 且 f ( x ? k ) ? f ( x) 恒成立,则称函数 f ( x ) 为 D 上的“ k 型增函数”,已知函数 f ( x ) 是 定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ?| x ? a | ?2a ,若 f ( x ) 为 R 上的“2014 型 增函数”, 则实数 a 的取值范围是( ) A. a ? ?1007 B. a ? 1007 C. a ?

1007 3

D. a ? ?

1007 3

二、填空题(共 7 道小题,每题 5 分,共 35 分) 11.设 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 2 ,若 f (x)在 x=1 处的切线与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 垂直,则实数 a 的值 为 .
?2 x ? y ? 1 ? 0, ? 12. 设关于 x, y 的不等式组 ? x ? m ? 0, 表示的平面区域内存在点 P(x0, y0)满足 x0-2y0=2, ? y ? m ? 0. ?

则 m 的取值范围是

.

13 . 在 △ ABC 中 , 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c, 已 知 a 2 ? c 2 ? 2b , 且 sin A cos C ? 3cos A sin C ,则 b= . 14.已知 ?ABC 的一个内角为 120o,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面 积为__________ _____ 15. 已 知 函 数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x(a ? 0) , 若 存 在 x1 , x2 ? (1, e) , 且 x1 ? x2 , 使 得 2
.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是
16. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1,F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 a 2 b2 个不同的点 P ,使得 ?F . 1F 2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是

17. 如果对定义在 R 上的函数 f ( x ) ,对任意两个不相等的实数 x1 , x2 ,都有

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ,则称函数 f ( x) 为“ H 函数”.

? ?ln x x ? 0 给出下列函数① y ? x2 ;② y ? e x ? 1 ;③ y ? 2 x ? sin x ;④ f ( x) ? ? . x?0 ? ?0 以上函数 是“ H 函数”的所有序号为 .
三、解答题(本大题共 6 小题,满分 65 分) 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3 ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? . (1)求函数 f ( x) 的单调增区间; (2)将函数 f ( x) 的图象向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x ) 的 6 图象;若 y ? g ( x ) 在 [0, b](b ? 0) 上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值.

19.(本小题满分 12 分)如图, 已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形, ? AD∥ BC,CE∥ BG,且 ?BCD ? ?BCE ? ,平面 ABCD⊥ 平面 BCEG, 2 BC=CD=CE=2AD=2BG=2. 求证: (1)EC⊥ CD ; (2)求证:AG∥ 平面 BDE; (3)求:几何体 EG-ABCD 的体积 .

20. (本小题满分 13 分) 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1 ,

b4 ? S3 .
(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2) 设 cn ?

1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的取值范围. bn bn ?1

21. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2) ,其焦点 F 在 x 轴上。 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M (m, 0)(m ? 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点,ME=2DM,记 D 和 E 两点间的距离为 f (m) ,求 f (m) 关于 m 的表达式。

22. (本小题满分 14 分) 设 f ( x) 是定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函数为 f ' ( x) 。如果存在实数 a 和函数

h( x) ,其中 h( x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h( x) >0,使得 f ' ( x) ? h( x)( x 2 ? ax ? 1) , 则称函数 f ( x) 具有性质 P (a ) 。 b?2 (1) 设函数 f ( x) ? ln x ? ( x ? 1) ,其中 b 为实数。 x ?1 ①求证:函数 f ( x) 具有性质 P (b) ; ②求函数 f ( x) 的单调区间。 (2) 已知函数 g ( x) 具有性质 P ( 2) 。给定 x1 , x2 ? (1, ??), x1 ? x2 , 设 m 为实数,

? ? mx1 ? (1 ? m) x 2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx 2 ,且 ? ? 1, ? ? 1 , 若| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |,求 m 的取值范围。

襄阳五中 2011—2014 高三第一次适应性考试数学(文)

参考答案
一、选择题:DCCCA CDCC C 二、填空题: 1 1 1 2 ?2 ? 11.-1; 12. ? , ?? ? ; 13.4 14.15 3 15. (e, e ). 16. ( , ) 2 3 2 ?3 ? ②③ 三、解答题 18.解: (Ⅰ)由题意得: f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3
[来源:Zxxk.Com]

1 ( ,1) 17. 2

? sin 2? x ? 3 cos 2? x ? 2sin(2? x ? ) , 3

?

…………………………………………2 分

? 由周期为 ? ,得 ? ? 1 ,得 f ? x ? ? 2sin(2 x ? ) , ……………………………4 分 3 ? ? ? 函数的单调增区间为: 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 2 3 2 ? 5? 整理得 k? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 12 12 ? 5? 所以函数 f ( x) 的单调增区间是 [k? ? , k? ? ] , k ? Z .………………………6 分 12 12 ? (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向左平移 个单位,再向上平移单位,得到 y ? 2sin 2 x ? 1 的图 6 象,所以 g ( x) ? 2sin 2 x ? 1 ,…8 分
7? 11? 或 x ? k? ? (k ? Z) ,………………………………10 分 12 12 所以在 ?0, ? ? 上 恰好有两个零点,

令 g ( x ) ? 0 ,得 x ? k? ?

若 y ? g ( x ) 在 [0, b] 上有 10 个零点,则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可,即 b 的最小
11? 59? . ……………………………………12 分 ? 12 12 19.(Ⅰ)证明:由平面 ABCD⊥平面 BCEG, CE ? BC , CE ? 平面 BCEG, 平面 ABCD∩平面 BCEG=BC, ? EC⊥平面 ABCD ,…………3 分 又 CD ? 平面 BCDA, 故 EC⊥CD…………4 分 (Ⅱ)证明:在平面 BCDG 中,过 G 作 GN⊥CE 交 BE 于 M,连 1 DM,则由已知知;MG=MN,MN∥BC∥DA,且 MN ? AD ? BC 2 ? MG∥AD, MG=AD, 故四边形 ADMG 为平行四边形, ? AG∥DM……………6 分 ∵DM ? 平面 BDE,AG ? 平面 BDE, ? AG∥平面 BDE…………………………8 分 1 1 (III)解: VEG ? ABCD ? VD? BCEG ? VG ? ABD ? SBCEG ? DC ? S?ABD ? BG …………………… 10 分 3 3 1 2 ?1 1 1 7 …………………………………………12 分 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?1? 2 ?1 ? 3 2 3 2 3 20.解析: (1)因为 an 是 Sn 和 1 的等差中项,所以 Sn ? 2an ? 1 ,

值为 4? ?

[来源:学科网 ZXXK]

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ,所以 a1 ? 1 .

(1 分)

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ? 1) ? (2an?1 ? 1) ? 2an ? 2an?1 ,

an ? 2, an ?1 故数列 {an } 是以 a1 ? 1 为首项,2 为公比的等比数列,
所以 an ? 2an?1 ,即 所以 an ? 2n?1 , Sn ? 2n ? 1. 设 {bn } 的公差为 d , b1 ? a1 ? 1 , b4 ? 1 ? 3d ? 7 ,故 d ? 2 , 所以 bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 . (2) cn ? (6 分) (4 分)

1 1 1 1 1 (7 分) ? ? ( ? ), bn bn?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ) ? (1 ? )? 所以 Tn ? (1 ? ? ? ? ... ? , 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 * )? , 因为 n ? N ,所以 Tn ? (1 ? (10 分) 2 2n ? 1 2 n n ?1 1 Tn ? Tn ?1 ? ? ? ? 0, 2n ? 1 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 1 所以数列 {Tn } 是一个递增数列,所以 Tn ? T1 ? , 3 1 1 综上所述, ? Tn ? . 3 2
21.主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识,考查运算求解能力。

22.[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数 形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。 1 b?2 1 (1)(i) f '( x) ? ? ? ( x 2 ? bx ? 1) 2 x ( x ? 1) x( x ? 1) 2

1 ? 0 恒成立, x( x ? 1) 2 ∴函数 f ( x) 具有性质 P (b) ;
∵ x ? 1 时, h( x) ?

(方法二)当 b ? 2 时,对于 x ? 1 , ? ( x) ? x 2 ? bx ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 0 所以 f ' ( x) ? 0 ,故此时 f ( x) 在区间 (1,??) 上递增; 当 b ? 2 时, ? ( x) 图像开口向上,对称轴 x ?

b ? 1 ,方程 ? ( x) ? 0 的两根为: 2

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 2 b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 ? 1, ? ? (0,1) , ,而 2 2 2 2 b ? b2 ? 4
当 x ? (1,

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 ) 时, ? ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 ,故此时 f ( x) 在区间 (1, ) 2 2

b ? b2 ? 4 , ??) 上递增。 2 综上所述,当 b ? 2 时, f ( x) 在区间 (1,??) 上递增;
上递减;同理得: f ( x) 在区间 [
2 2 当 b ? 2 时, f ( x) 在 (1, b ? b ? 4 ) 上递减; f ( x) 在 [ b ? b ? 4 , ??) 上递增。
[来源:Z.xx.k.C

2

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