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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)4.3


讲案 4.3 两角和与差的三角函数 课前自主研习 温故而知新 可以为师矣 知 识 导 读 1.两角和的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α + β) = ________________________. (2)cos(α + β) = ________________________. (3)tan(α + β) = ________________________. (4)

asinx + bcosx = __________________. 2.两角差的正弦、余弦、正切公式 (1)sinαcosβ - cosαsinβ = ____________________. (2)cosαcosβ + sinαsinβ = ____________________. tanα-tanβ (3) = 1+tanα tanβ ________________________. 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α=____________________.

(2)cos2α = ________________ = ________________=________________. (3)tan2α=____________________. 4.常用公式的变形 (1)cos2α = ____________ , sin2α = ______________. 1+tanα 1-tanα (2) =__________, = 1-tanα 1+tanα __________. ? ?π ?? (3)(1 + tanα) ?1+tan?4-α?? = ? ? ?? ________________. (4)1+cosα+sinα 化成积的形式为 ________________. (5)1-cosα+sinα 化成积的形式为 ________________. 导读校对:1.(1)sinαcosβ+cosαsinβ tanα+tanβ (2)cosαcosβ - sinαsinβ (3) 1-tanαtanβ (4) a2+b2 sin(x + φ) 2.(1)sin(α - β) (2)cos(α - β) (3)tan(α - β) 3.(1)2sinαcosα (2)cos2α-sin2α 2cos2α

2tanα - 1 1 - 2sin α (3) 1-tan2α ?π ? 1+cos2α 1-cos2α 4.(1) (2)tan ?4+α? 2 2 ? ? ?π ? α? α? α tan ?4-α? (3)2 (4)2cos 2 ?sin2+cos2? ? ? ? ? α? α? α (5)2sin2?sin2+cos2?. ? ? 基 础 热 身 1.sin163° sin223° +sin253° sin313° = ( ) 1 1 A.-2 B.2 3 3 C.- 2 D. 2 解 析 : sin163° sin223° + sin253° sin313° =sin17° (-sin43° )+cos17° sin47° =sin17° (-cos47° )+cos17° sin47° 1 =sin(47° -17° )=sin30° 2. = 答案:B
2

2.已知
? π? tan?α+4?等于( ? ?

?π ? 3 ? ,π? ,sinα= ,则 α∈ 2 5 ? ?

)

1 A.7

1 B.7 C.-7 D.-7 ?π ? 3 解析:∵sinα=5,α∈?2,π?, ? ? 4 2 ∴cosα=- 1-sin α=-5,tanα= 3 -4,于是 3 1-4 ? π? tanα+1 1 ?α+ ?= tan 4? 1-tanα= 3=7. ? 1+4 答案:A 3.在△ABC 中,下列结论正确的个 数是( ) ①A>B ? cosA<cosB ; ②A>B ? sinA>sinB;③A>B?cos2A<cos2B A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

解析:对于①,y=cosx 在(0,π)上 为减函数, A>B?cosA<cosB, 则 ①正确; a 对于②,在△ABC 内,A>B?a>b.又sinA b =sinB,∴sinA>sinB.则②正确;对于③, 根据②,A>B?sinA>sinB?sin2A>sin2B ?1-2sin2A<1-2sin2B?cos2A<cos2B, 则③正确;综上所述,结论正确的个数 是 3 个. 答案:D 4 α 3 α 4.已知 sin2=5,cos2=-5,则角 α 的终边所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 α α 解法一:由已知 sinα=2sin2cos2= 24 7 2α -25<0,cosα=1-2sin 2=25>0,

∴α 为第四象限角. α 解法二:2位于第二象限,在如图所 α 示的区域内. α 所在象限对应2处位置 由 知,α 为第四象限角. 答案:D ? π? 1 5.若 α 是锐角,且 sin?α-6?=3, ? ? 则 cosα 的值是( ) 2 6+1 2 6-1 A. 6 B. 6 2 3+1 2 3-1 C. 4 D. 3 π π 解析:∵α 为锐角,∴-6<α-6< π 3. ? π? 1 π π ?α- ?= ,∴0<α- < , 又∵sin 6? 3 6 3 ? ? π? 2 2 ∴cos?α-6?= 3 . ? ?

?? π? π? 2 2 cosα=cos??α-6?+6?= 3 × ? ?? ?

3 1 2 -3

1 2 6-1 ×2= 6 . 答案:B 思维互动启迪 博学而笃志 切问而近思 疑难精讲 1.本节特点是公式多,应用灵活多 变,要求理清公式的来龙去脉,把握公 式的结构特征.这样才能准确地运用公 式,用时要注意公式的逆用、变形使用. 2.公式 Sα±β,Cα±β 具有一般性,即 α、 为任意角, β 公式 Tα+β 也具有一般性, π 但应明确: 公式 Tα+β 在 α≠kπ+2, β≠kπ π π +2,α± β≠kπ+2,k∈Z 时成立,否则 不成立.当 tanα,tanβ 或 tan(α± β)不存在 时,Tα+β 不可用,可改用诱导公式或其 他方法. 3.转化的思想是实施三角变换的主 导思想,变换主要包括:函数名称变换、

角的变换、 的变换、 1 积的变换和升降幂 变换等. 互动探究 题型 1 利用公式化简三角式 例 1 化 简 θ θ ?1+sinθ+cosθ??sin2-cos2? (0<θ<π). 2+2cosθ 【解析】 原式 θ θ θ θ 2θ ?2sin2cos2+2cos 2??sin2-cos2? = 2θ 4cos 2 θ θ 2θ 2θ cos2?sin 2-cos 2? -cos2cosθ = = θ θ |cos2| |cos2| θ π 因为 0<θ<π,所以 0<2<2,所以 θ cos2>0, 所以原式=-cosθ.

题型 2 利用公式求解给角求值问题 sin?60° +θ?+cos120° sinθ 例 2 化简 cosθ 的结果为________. 【解析】 本题的解题思路是利用 三角公式进行化简变形. sin?60° +θ?+cos120° sinθ 由 cosθ = sinθcos60° +cosθsin60° +cos120° sinθ cosθ cosθsin60° 3 = cosθ = 2 . 3 【答案】 2 题型 3 利用公式求解给值求值问题 π 3π 12 已知2<β<α< 4 ,cos(α-β)=13,

3 sin(α+β)=-5,求 sin2α 的值. π 3π 【解析】 ∵2<β<α< 4 ,∴0<α π 3π -β< 4 ,π<α+β< 2 ,∴sin(α-β)= 5 2 1-cos ?α-β?=13, cos(α + β) = - 1-sin2?α+β? = - 4 5, ∴sin2α=sin[(α-β)+(α+β)] = sin(α - β)cos(α + β) + cos(α - β)sin(α+β) 5 ? 4? 12 ? 3? 56 ?- ?+ ×?- ?=- . =13× 5 13 65 ? ? ? 5? 题型 4 三角公式的综合运用 π 3 π 3π 例 4 已知 cos(α+4)=5, 2≤α< 2 ), ( π 求 cos(2α+4)的值. 3π π 7π 【解法一】 ∵ 4 ≤α+4< 4 , cos(α

π 3 3π π 7π +4)=5>0,∴ 2 <α+4< 4 , π π 2 sin(α+ 4 )=- 1-cos ?α+4?= 4 -5. π 2 ∵sin(α+4)= 2 (sinα+cosα), π 2 cos(α+4)= 2 (cosα-sinα), 4 2 ∴sinα+cosα=- 5 ,cosα-sinα 3 2 = 5 . 因此 cos2α=(cos2α-sin2α) 24 =(cosα-sinα)(cosα+sinα)=-25. sin2α=2sinαcosα=(sinα+cosα)2 - 32 7 2 2 (sin α+cos α)=25-1=25. 从而得 π π π cos(2α+ 4 )=cos2αcos 4 -sin2αsin 4

2 31 2 = 2 (cos2α-sin2α)=- 50 . 【解法二】 同解法一得 π π 2 sin(α+ 4 )=- 1-cos ?α+4?= 4 -5. π ∴cos2α = sin(2α + 2 ) = 2sin(α + π π 4)cos(α+4) 4 3 24 =2×(-5)×5=-25. π sin2α=-cos(2α+2)=1-2cos2(α+ π 32 7 4)=1-2×(5) =25. 从而得 π π π cos(2α+4)=cos2αcos4-sin2αsin4 2 31 2 = 2 (cos2α-sin2α)=- 50 . 错解辨析

5 10 例 5 若 sinα= 5 , sinβ= 10 且 α、 β 为锐角,求 α+β 的值. 【错解】 ∵α 为锐角,∴cosα= 2 5 2 1-sin α= 5 又 β 为锐角,∴cosβ= 1-sin2β= 3 10 10 , 且 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= 2 2. 由于 0<α<90° ,0<β<90° ,∴0 <α+β<180° . 故 α+β=45° 135° 或 . 【错因】 上述解法欠严密,仅由 2 sin(α+β)= 2 , <α+β<180° 0° 而得到 α +β=45° 135° 或 是正确的, 但题设中 sinα 5 1 10 1 = 5 <2,sinβ= 10 <2,使得 0° <α+β <60° ,故上述结论是错误的. 【正解】 ∵α、β 为锐角, sinα=

5 10 2 5 5 ,sinβ= 10 ,∴cosα= 5 ,cosβ= 3 10 10 ,且 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 2 =2. 又∵0° <α+β<60° ,∴α+β=45° .


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