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2015-2016学年高中数学 第二讲 参数方程单元检测卷 新人教A版选修4-4


2015-2016 学年高中数学 第二讲 参数方程单元检测卷 新人教 A 版 选修 4-4
(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.直线:3x-4y-9=0 与圆:? A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直

线不过圆心 1.D π 2.经过点 M(1,5)且倾斜角为 的直线,以定点 M 到动点 P 的位移(t 为参数)的参数方 3 程( ) 1 ? ?x=1+2t, A.? 3 y=5- t ? ? 2 1 x=1- t, ? 2 ? C.? 3 ? ?y=5- 2 t 2.D 3. 直线? 1 ? ?x=1-2t, B.? 3 y=5+ t ? ? 2 1 x=1+ t, ? 2 ? D.? 3 ? ?y=5+ 2 t
?x=2cos θ , ? ? ?y=2sin θ

(θ 为参数)的位置关系是(

)

?x=-2- 2t, ?y=3+ 2t

(t 为参数)上到点 A(-2, 3)的距离等于 2的点的坐标是(

)

A.(-4,5)

B.(-3,4) D.(-3,4)或(-1,2)

C.(-4,5)或(0,1) 3.D

1

4.P 是椭圆?

?x=2 3cos α , (α 为参数)上一点,且在第一象限,OP(O 为原点)的倾 ?y=4sin α
)

π 斜角为 ,则点 P 的坐标为( 6 A.(2,3) B.? C.(2 3, 3) 4.B

?4 15 4 5? , ? 5 ? ? 5
D.(4,3)

1 ? ?x=t+ , t (t 为参数)所表示的曲线是( 5.参数方程? ? ?y=-2 A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线 5.B

)

6.与普通方程 x +y-1=0 等价的参数方程(t,φ ,θ 为参数)是( A.?
? ?x=sin
2

2

)

t,

?y=cos t ?

B.?

? ?x=tan φ , ?y=1-tan φ ?
2

C.? 6.B

?x=cos θ , ?x= 1-t, ? D.? 2 ? ?y=sin θ ?y=t

7.直线?

? ?x=tcos α , ?y=tsin α ?

(t 为参数)与圆?

? ?x=4+2cos φ , ?y=2sin φ ?

(φ 为参数)相切,则直线的倾斜角 α 为( A. C. π 5π 或 6 6 π 2π 或 3 3 π 3π B. 或 4 4 π 5π D.- 或- 6 6

)

7.A 8.已知动圆:x +y -2axcos θ -2bysin θ =0(a,b 是正常数,a≠b,θ 是参数), 则圆心的轨迹是( A.直线 ) B.圆
2 2

C.抛物线的一部分 D.椭圆 8.D

2

9.A(0,1)是椭圆 x +4y =4 上一定点,P 为椭圆上异于 A 的一动点,则|AP|的最大值 为( ) A.3 3 C. 4 3 3 B.4 3 8 3 D. 3

2

2

9.C 10.已知过曲线?
? ?x=3cos θ , ?y=4sin θ ?

(θ 为参数,0≤θ ≤π )上一点 P 与原点 O 的直线 PO,

π 倾斜角为 ,则点 P 的极坐标为( 4

)

?12 2 π ? , ? 4? ? 5 ?3 2 π ? ? 12 π ? C.?- , ? D.? , ? 5 4 ? ? 4? ? 2 ? π? A.?3, ? 4? ?
B.? 10.B 11.已知直线 l:?

?x= 3t, 2 (t 为参数)和抛物线 C:y =2x,l 与 C 分别交于点 P1,P2, ?y=2-t
)

则点 A(0,2)到 P1,P2 两点距离之和是( A.4+ 3 B.2(2+ 3) D.8+ 3

C.4(2+ 3)

3 ? ?x=- 2 t′, 11. 解析: 把直线参数方程化为? (t′为参数)代入 y =2x 求得 t′ +t′ 1 ?y=2+2t′ ?
2 1

2

=-4(2+ 3), t′1t′2=16>0, 知 t1, t2 均小于零, 则|AP1|+|AP2|=|t′1|+t′2|=|t′1 +t′2|=4(2+ 3). 答案:C

?x=2t , 12 .过抛物线? (t 为参数 )的焦点的弦长为 2 ,则弦长所在直线的倾斜角为 ?y= 3t
( ) A. C. π 3 π 6 π 2π B. 或 3 3 π 5π D. 或 6 6

2

3

3 ?3 ? 2 12.解析:将抛物线的参数方程化成普通方程为 y = x,它的焦点为? ,0?.设弦所在 2 ?8 ? 3 y = x, ? ? 2 ? 3? 直线的方程为 y=k?x- ?,由? 消去 y 得 64k x -48(k +2)x+9k =0,设弦的 ? 8? 3? ? x- ? ? ?y=k? ? 8?
2 2 2 2 2

两个端点的坐标为(x1, y1), (x2, y2), 则|x1-x2|= (x1+x2) -4x1x2= = 2 1+k ,解得 k=± 3.

2

2? 9 ?3·k + - ?4 k2 ? ? ? 16

2

2

2

答案:B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填在题中的横线上) 13.(2015·汕头市高三质量检测,文数)在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为
? ? ?x=t+3 ?x=2cos θ ? (参数 t∈R),圆的参数方程为? (参数 θ ∈[0,2π )),则圆心到直 ?y=3-t ?y=2sin θ +1 ? ?

线 l 的距离为________. 5 13. 2 2 14.过抛物线 y =4x 的焦点作倾斜角 α 的弦,若弦长不超过 8,则 α 的取值范围是 ________.
2

?π 3π ? 14.? , ? 4 ? ?4
π 15.直线 l 过点 M0(1,5),倾斜角是 ,且与直线 x-y-2 3=0 交于 M,则|MM0|的长 3 为________. 15.10+6 3 16.曲线?
?x=asec α , ? ? ?y=btan α

(α 为参数)与曲线?

?x=atan β , ? ? ?y=bsec β

(β 为参数)的离心率分别为

e1 和 e2,则 e1+e2 的最小值为________.
16.2 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤) 17.(本小题满分 12 分)把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:

4

(1)?

?x=5cos φ , ? ? ?y=4sin φ ?x=1-3t, ? ?y=4t ?

(φ 为参数);

(2)?

(t 为参数).
? ?x=5cos φ , ?y=4sin φ , ?

17.解析:(1)∵?

x ? ?5=cos φ , ∴? y ? ?4=sin φ ,
两边平方相加,得 + =cos φ +sin φ , 25 16 即 + =1. 25 16

x2

y2

2

2

x2

y2

∴曲线是长轴在 x 轴上且为 10,短轴为 8,中心在原点的椭圆. (2)∵?
? ?x=1-3t, ?y=4t, ?

∴由 t= 代入 x=1-3t,得 x=1-3· , 4 4

y

y

∴4x+3y-4=0.

? 4? ∴它表示过?0, ?和(1,0)的一条直线. ? 3?
18.(本小题满分 12 分)利用直线的参数方程,求直线 l:4x-y-4=0 与 l1:x-2y-2 =0 及 l2:4x+3y-12=0 所得两交点间的距离.

? ?x= 18.解析:在 l 上任取一点(0,-4),得 l 的参数方程为? ? ?y=

1 17 4 17

t,
将这一参数 t-4,

6 17 3 17 方程分别代入 l1 和 l2,即可求出两交点的参数值分别为 t1= 和 t2= . 7 2 根据直线参数方程的几何意义, 两交点间的距离为: |t1-t2|=? 9 17 即两交点间距离为 . 14 19. (本小题满分 14 分)过点 P?

?6 17 3 17? 9 17 - ?= 14 . 2 ? ? 7

? 10 ? 2 2 ,0?作倾斜角为 α 的直线与曲线 x +2y =1 交于点 ? 2 ?

M、N,求|PM|·|PN|的最小值及相应的 α 值.

5

? ?x= 10+tcos α 2 2 2 19.解析:设直线为? (t 为参数),代入曲线并整理得(1+sin α )t ? ?y=tsin α
3 2 3 +( 10cos α )t+ =0,则|PM|·|PN|=|t1t2|= . 2 2 1+sin α ∴当 sin α =1 时,即 α =
2

π 3 π ,|PM|·|PN|取最小值为 ,此时 α = . 2 4 2

20. (本小题满分 14 分)求直线?

?x=2+t, 2 2 (t 为参数)被双曲线 x -y =1 上截得的弦长. ?y= 3t

1 ? ?x=2+2t, 20.解析:把直线参数方程化为标准参数方程? (t 为参数), 3 ? ?y= 2 t 2 2 ? 1 ? ? 3 ? 2 2 带入 x -y =1,得:?2+ t? -? t? =1. ? 2 ? ?2 ? 整理,得 t -4t-6=0.设其两根为 t1、t2,则 t1+t2=4,t1t2=-6.从而弦长为|AB| =|t1-t2|= (t1+t2) -4t1t2= 4 -4×(-6)= 40=2 10. 21.(本小题满分 14 分)如下图所示,有一抛物线,A 为抛物线的顶点,PP′为抛物线 的任意一弦,设 PP′交抛物线的对称轴于 Q,过 P、P′分别作对称轴的垂线交对称轴于 M、
2 2 2

M′.求证:|AM|·|AM′|=|AQ|2.

? ?x=at , 21.证明:曲线方程为 y =4ax,其参数方程为? ?y=2at. ?
2

2

设 P、P′的坐标分别为(at1,2at1)、(at2,2at2),则弦 PP′所在直线的方程是

2

2

6

y-2at1=

2at1-2at2 2 2 2 (x-at1), 2 (x-at1)= at2 t1+t2 1-at2

即(t1+t2)y-2x=2at1t2. 由此得 PP′与抛物线的对称轴的交点 Q 的坐标是(-at1t2,0).也就是说|AQ| =a t1t2. ∴|AM|·|AM′|=at1at2=|AQ| . 22. (本小题满分 14 分)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为? 为参数).M 是 C1 上的动点,点 P 满足 OP=2OM,点 P 的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; π (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ = 与 C1 和异于极点的 3 交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.
? ?x=2cos α , ?y=2+2sin α ?
2 2 2 2 2 2 2



? ? 22.解析:(1)设 P(x,y),则由条件知 M? , ?.由于点 M 在 C1 上, ?2 2?
x y x ? ?2=2cos α , 所以? y ? ?2=2+2sin α
即?
?x=4cos α , ? ? ?y=4+4sin α



.
? ?x=4cos α , ?y=4+4sin α ?

从而 C2 的参数方程为?

(α 为参数).

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ =4sin θ ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =8sin θ . π π π 射线 θ = 与 C1 交点 A 的极径为 ρ 1=4sin , 射线 θ = 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ 3 3 3 =8sin π . 3
2

所以|AB|=|ρ 2-ρ 1|=2 3.

7


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