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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)4.5


讲案 4.5 三角函数的性质 课前自主研习 温故而知新 可以为师矣 知 识 导 读 三角函数的性质(填表) 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 最值 导读校对:按从左向右的顺序答案 如下: R R ? ? ? ? ? π ?x?x∈R,且x≠kπ+ ,k∈Z ? 2 ? ? ? ? ? [-1,1] [-1,1] R 2π 2π

π 奇函数 偶函数 奇函数 在 ? π ? π ?- +2kπ, +2kπ?,(k∈Z)上递增,在 2 ? 2 ?

?π ? 3π ? +2kπ, +2kπ? ,(k∈Z)上递减 2 ?2 ?



[-π+2kπ, 2kπ], (k∈Z)上递增, 在[2kπ, 2kπ + π] , (k∈Z) 上 递 减 在 ? π ? π ?- +kπ, +kπ?,(k∈Z)上递增 最大 2 ? 2 ? 值 1,最小值-1 最大值 1,最小值-1 没有最大值和最小值 基 础 热 身 1. 函 数 y = sin?cosx? 的 定 义 域 是 ) A.[0,1] B.x∈R π π C.[kπ-2,kπ+2](k∈Z) π π D.[2kπ-2,2kπ+2](k∈Z) 解析:∵-1≤cosx≤1, 只有 0≤cosx≤1 时 sin(cosx)≥0, π π ∴2kπ-2≤x≤2kπ+2,k∈Z. 答案:D

(

2.下列函数中,以 π 为最小正周期 的函数是( ) A.y=sin22x B.y =sin2x(x≤0) C.y=tanx(-2π<x<2π) D.y= cos2x-2 1-cos4x π 解析:A 中 y= ,T=2,B 2 不是周期函数,C 不是周期函数,D 中 y 1+cos2x = -2,T=π. 2 答案:D x 3.函数 y=xcos2是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数 又是偶函数 x 解析:∵x∈R 且 f(-x)=-xcos2= -f(x) ∴是奇函数. 答案:A

π 4.已知函数 f(x)=sin(ωx+3)(ω>0) 的最小正周期为 π,则该函数的图象 ( ) π A.关于点(3,0)对称 π B.关于直线 x=4对称 π C.关于点(4,0)对称 π D.关于直线 x=3对称 解析:由 T=π,得 ω=2,则 f(x)= π kπ π sin(2x+ 3 ),则其对称中心为( 2 - 6 , kπ π 0)(k∈Z), 其对称轴为 x= 2 +12(k∈Z). 答案:A 5.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函 数又是周期函数, f(x)的最小正周期是 若 ? ?5π? π? π,且当 x∈?0,2?时,f(x)=sinx,则 f? 3 ? ? ? ? ? 的值为( )

1 1 3 A.-2 B. 2 C.- 2 3 D. 2 解析:∵f(x)既是偶函数,又是周期 函数,且最小正周期为 π. ?5π? ? π? ? π? ?π? ∴f? 3 ?=f?2π-3?=f?-3?=f?3?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? π? 又当 x∈?0,2?时,f(x)=sinx, ? ? ?π? π 3 ? ?=sin = ∴f 3 3 2. ? ? 答案:D 思维互动启迪 博学而笃志 切问而近思 疑难精讲 1.求三角函数的最小正周期是高考 中的一个热点,解决这类问题的办法是 化标准型.即通常将函数式化为只有一 个函数名,且角度唯一,最高次数化为 一次的形式,然后借助于常见三角函数 的周期公式来求解.

2.判断函数的奇偶性,应先判断定 义域是否关于原点对称,这是判断函数 奇偶性的重要条件之一,必须首先考 虑.一般情况下,须先对函数式进行等 价变形(化简),再判断奇偶性. 3.注意复合形式的三角函数的单调 区间的求法. 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的单调区间的确定, 基本思想是把 ωx+φ 看作一个整体.在单调性应用方 面,比较大小是一类常见的题目,依据 是同一区间内函数的单调性. 互动探究 题型 1 求三角函数的定义域 sinx-cosx 例 1 函数 y=lg 的定义域 sinx+cosx 是( ) ? ? ? ? ? 3π π A.?x?2kπ- 4 <x<2kπ+4,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π 5π ?x?2kπ+ <x<2kπ+ ,k∈Z ? B. 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π π C.?x?kπ-4<x<kπ+4,k∈Z ? ? ? ? ? ?

? ? ? π 3π ?x?kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z D. 4 4 ? ? ?

? ? ? ? ?

【解析】

sinx-cosx 由 >0,得 sinx+cosx

? π? 2sin?x-4? ? ? ? π?>0, 2cos?x-4? ? ? ? π? π ?x- ?>0,∴kπ<x- <kπ+ 即 tan 4? 4 ?

π 2(k∈Z), π 3π ∴kπ+4<x<kπ+ 4 (k∈Z). 【答案】 D 题型 2 求三角函数的值域 例 2 求下列函数的值域: cosx 2sinxcos2x (1)y= ; (2)y= ; 2cosx+1 1+sinx 3-sinx 1+sinx (3)y=log2 ; (4)y= . 3+sinx 3+cosx

cosx 【解析】 (1)由 y= 可得 2cosx+1 ? 1? (1 - 2y)cosx = y ?y≠2? , ∴cosx = ? ? y . 1-2y ∵|cosx|≤1,∴cos2x≤1. y2 2 即 2≤1,即 3y -4y+1≥0, ?1-2y? 1 ∴y≤3或 y≥1. ? 1? cosx 故 y= 的值域为 ?-∞,3? ? ? 2cosx+1 ∪[1,+∞). 2sinx?1-sin2x? (2)∵y= ,又∵-1< 1+sinx sinx≤1, ? 1? 2 ∴y=2sinx(1-sinx)=-2 ?sinx-2? ? ? 1 +2, 1 ∴-4<y≤2.

2sinxcos2x 故函数 y= 的值域为 1+sinx ? 1? ?-4, ?. 2? ? 3-sinx (3)∵sinx∈[ - 1,1] , 又 = 3+sinx 6 -1, 3+sinx 1 3-sinx ∴2≤ ≤2,∴-1≤y≤1. 3+sinx 3-sinx 即 y=log2 的值域为[-1,1]. 3+sinx 1+sinx (4)由 y= 得 sinx-ycosx=3y 3+cosx -1. ∴ y2+1sin(x+φ)=3y-1. -y 1 这里 cosφ= 2,sinφ= 2. 1+y 1+y ∵|sin(x + φ)|≤1 , ∴|3y - 1|≤ y2+1, 1+sinx 3 解得 0≤y≤4, y= 故 的值域 3+cosx

? 3? 为?0,4?. ? ?

题型 3 考查三角函数的单调性 例 3 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=2sinxcosx-2cos2x+2; 1 x π (2)y=log2cos(3+4). 【解析】 (1)f(x)=sin2x-(1+cos2x) π +2=sin2x-cos2x+1= 2sin(2x- 4 )+ 1 π π 3π 由2+2kπ≤2x-4≤ 2 +2kπ 3π 7π 得 8 +kπ≤x≤ 8 +kπ 3π 7π ∴递减区间[ 8 +kπ, 8 +kπ],k∈Z π π π 由-2+2kπ≤2x-4≤2+2kπ π 3π 得-8+kπ≤x≤ 8 +kπ

π 3π ∴f(x)的递增区间为[-8+kπ, 8 + kπ],k∈Z. 1 (2)∵y=log2x 为减函数, ∴原函数的单调增区间由下列条件 决定 x π ? ?cos?3+4?>0 ? ?2kπ≤x+π≤2kπ+π 3 4 ? π x π ?2kπ≤3+4<2kπ+2 3π 解得单调递增区间是[6kπ- 4 ,6kπ 3π + 4 ),k∈Z 同理可得,单调递减区间为[6kπ- 9π 3π 4 ,6kπ- 4 ). 题型考查三角函数的奇偶性 例 4 判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=xsin(5π-x); (2)f(x)=lg(tanx+ 1+tan2x). 【 解 析 】 (1)f(x) = xsin(π - x) = xsinx f(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=f(x) ∴f(x)为偶函数. π (2) 函 数 的 定义域是 {x|x≠kπ+ 2 , k∈Z} 又 f(x)=lg[tan(-x)+ 1+tan2?-x?] = lg( - tanx + 1+tan2x ) = 1 lg 1+tan2x+tanx =-lg(tanx+ 1+tan2x)=-f(x), ∴函数 f(x)是奇函数. 题型 5 求三角函数的最值 例 5 已知 f(x)=2cos2x+ 3sin2x+ a.(a∈R,a 为常数) (1)若 x∈R,求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)若 f(x)在?-6,6?上最大值与最小 ? ?

值之和为 3,求 a 的值. 【解析】 f(x)=1+cos2x+ 3sin2x ? π? +a=2sin?2x+6?+a+1. ? ? 2π (1)最小正周期 T= 2 =π. ? π π? ? π π? (2)x∈ ?-6,6? ? 2x∈ ?-3,3? ? 2x ? ? ? ? ? π? π ? π π? 1 +6∈?-6,2?,∴-2≤sin?2x+6?≤1, ? ? ? ? ?f?x?max=2+a+1, ? 即? ∴2a + 3 ?f?x?min=-1+a+1. ? =3?a=0. 错解辨析 tanx 例 6 求函数 y= 的最小正周 1-tan2x 期. tanx 1 【错解】 由于 y= = 1-tan2x 2 tan2x. tanx 所以函数 y= 2 的最小正周期 1-tan x

π 为2. tanx 1 【错因】 由于 y= 2 与 y= 2 1-tan x tan2x 的定义域分别为: kπ π π {x|x≠ 2 +2且 x≠kπ+2且 x≠kπ+ π 2,k∈Z,x∈R}, kπ π {x|x≠ 2 +4,k∈Z,x∈R}. 所以这两个函数的定义域不相同, 故它们不是同一函数. 1 只有当 y=2tan2x 增加了限制条件 π x≠kπ+2(k∈Z)后才表示同一函数, 因此 要确定原函数的最正周期,就应结合函 1 π 数 y= 2tan2x(x≠kπ+2 (k∈Z))的图象进 行考虑. tanx 1 【正解】 ∵y = 2 = 2 1-tan x

π tan2x(x≠kπ+2,k∈Z). 1 π 作出 y=2tan2x(x≠kπ+2,k∈Z)的 图象.如图:

从图象上面可以看出函数 y= tanx 的最小正周期为 π. 1-tan2x


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