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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)4.5


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课前自主研习
温故而知新 可以为师矣

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/>知 识 导 读 三角函数的性质(填表) 函数 定义域 值域 周期性 y=sinx y=cosx y=tanx
? ? ? π ?x?x∈R,且x≠kπ+ ,k∈Z ? 2 ? ? ?

R [-1,1] 2π

R [-1,1] 2π

R π

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奇偶性

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奇函数 偶函数 奇函数

单调性

? π π ? 在[-π+2kπ,2kπ], ?- +2kπ, +2kπ?, 在 2 2 ? ? ? π π ? (k∈Z)上递增, 在?-2+kπ,2+kπ?, (k∈Z)上递增, ? ?

在[2kπ,2kπ+π],

?π 3π ? (k∈Z)上递减 在?2+2kπ, 2 +2kπ?, ? ?

(k∈Z)上递增

(k∈Z)上递减

最值

最大值 1, 最小值-1

最大值 1, 最小值-1

没有最大值 和最小值

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基 础 热 身 1.函数 y= sin?cosx?的定义域是( ) A.[0,1] B.x∈R π π π π C.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) D.[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z) 2 2 2 2

解析:∵-1≤cosx≤1, 只有 0≤cosx≤1 时 sin(cosx)≥0, π π ∴2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 2 2 答案:D

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)

2.下列函数中,以 π 为最小正周期的函数是( A.y=sin22x B.y=sin2x(x≤0) C.y=tanx(-2π<x<2π) D.y=cos2x-2

1-cos4x π 解析:A 中 y= ,T= ,B 不是周期函数,C 不是 2 2 1+cos2x 周期函数,D 中 y= -2,T=π. 2 答案:D

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x 3.函数 y=xcos 是( ) 2 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

x 解析:∵x∈R 且 f(-x)=-xcos =-f(x) 2 ∴是奇函数. 答案:A

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π 4.已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期为 π,则该 3 函数的图象( ) π π A.关于点( ,0)对称 B.关于直线 x= 对称 3 4 π π C.关于点( ,0)对称 D.关于直线 x= 对称 4 3

π 解析:由 T=π,得 ω=2,则 f(x)=sin(2x+ ),则其对称中 3 kπ π kπ π 心为( - ,0)(k∈Z),其对称轴为 x= + (k∈Z). 2 6 2 12 答案:A

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5.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x) ? ?5π? π? ? ? 的最小正周期是 π,且当 x∈?0,2?时,f(x)=sinx,则 f? 3 ?的值 ? ? ? ? ? ? 为( ) 1 1 3 3 A.- B. C.- D. 2 2 2 2 解析:∵f(x)既是偶函数,又是周期函数,且最小正周期为 π. ?5π? ? π? ? π? ?π? ? ? ? ∴f? 3 ?=f?2π-3?=f?-3?=f?3?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π? ? 又当 x∈?0,2?时,f(x)=sinx, ? ? ? ?π? π 3 ? ? ∴f?3?=sin = . 3 2 ? ? 答案:D
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思维互动启迪
博学而笃志 切问而近思

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疑难精讲 1.求三角函数的最小正周期是高考中的一个热点, 解决这类 问题的办法是化标准型.即通常将函数式化为只有一个函数名, 且角度唯一, 最高次数化为一次的形式, 然后借助于常见三角函 数的周期公式来求解. 2. 判断函数的奇偶性, 应先判断定义域是否关于原点对称, 这是判断函数奇偶性的重要条件之一, 必须首先考虑. 一般情况 下,须先对函数式进行等价变形(化简),再判断奇偶性. 3.注意复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y= Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把 ωx +φ 看作一个整体.在单调性应用方面,比较大小是一类常见的 题目,依据是同一区间内函数的单调性.

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互动探究 题型 1 求三角函数的定义域 sinx-cosx 例 1 函数 y=lg 的定义域是( sinx+cosx ? ? ? ? ? ? 3π π A.?x?2kπ- 4 <x<2kπ+4,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π 5π B.?x?2kπ+4<x<2kπ+ 4 ,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π π ?x?kπ- <x<kπ+ ,k∈Z ? C. 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π 3π ?x?kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z ? D. 4 4 ? ? ? ? ?

)

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sinx-cosx 【解析】 由 >0,得 sinx+cosx 即

π 3π ∴kπ+ <x<kπ+ (k∈Z). 4 4 【答案】 D

? π? π π ? ? tan?x-4?>0,∴kπ<x- <kπ+ (k∈Z), 4 2 ? ?

? π? ? 2sin?x-4? ? ? ? >0, ? π? 2cos?x-4? ? ? ? ?

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题型 2 求三角函数的值域 例 2 求下列函数的值域: cosx 2sinxcos2x (1)y= ; (2)y= ; 2cosx+1 1+sinx 3-sinx 1+sinx (3)y=log2 ; (4)y= . 3+sinx 3+cosx

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cosx 【解析】 (1)由 y= 可得 2cosx+1 ? 1? y ? ? (1-2y)cosx=y?y≠2?,∴cosx= . 1-2y ? ? ∵|cosx|≤1,∴cos2x≤1. y2 即 ≤1,即 3y2-4y+1≥0, ?1-2y?2 1 ∴y≤ 或 y≥1. 3 ? 1? cosx ? 故 y= 的值域为?-∞,3?∪[1,+∞). ? 2cosx+1 ? ?

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2sinx?1-sin2x? (2)∵y= ,又∵-1<sinx≤1, 1+sinx ? 1?2 1 ? ∴y=2sinx(1-sinx)=-2?sinx-2? + , ? 2 ? ? 1 ∴-4<y≤ . 2 ? 1? 2sinxcos2x ? 故函数 y= 的值域为?-4,2?. ? 1+sinx ? ? 3-sinx 6 (3)∵sinx∈[-1,1],又 = -1, 3+sinx 3+sinx 1 3-sinx ∴ ≤ ≤2,∴-1≤y≤1. 2 3+sinx 3-sinx 即 y=log2 的值域为[-1,1]. 3+sinx
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1+sinx (4)由 y= 得 sinx-ycosx=3y-1. 3+cosx ∴ y2+1sin(x+φ)=3y-1. -y 1 这里 cosφ= 2,sinφ= 2. 1+y 1+y ∵|sin(x+φ)|≤1,∴|3y-1|≤ y2+1, ? 1+sinx 3? 3 ? 解得 0≤y≤ ,故 y= 的值域为?0,4?. ? 4 3+cosx ? ?

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题型 3 考查三角函数的单调性 例 3 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=2sinxcosx-2cos2x+2; 1 x π (2)y=log cos( + ). 2 3 4

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【解析】 (1)f(x)=sin2x-(1+cos2x)+2=sin2x-cos2x+1 π = 2sin(2x- )+1 4 π π 3π 由 +2kπ≤2x- ≤ +2kπ 2 4 2 3π 7π 得 +kπ≤x≤ +kπ 8 8 3π 7π ∴递减区间[ +kπ, +kπ],k∈Z 8 8 π π π 由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ 2 4 2 π 3π 得- +kπ≤x≤ +kπ 8 8 π 3π ∴f(x)的递增区间为[- +kπ, +kπ],k∈Z. 8 8
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1 (2)∵y=log x 为减函数, 2 ∴原函数的单调增区间由下列条件决定 x π ? ?cos?3+4?>0 ? ?2kπ≤x +π≤2kπ+π 3 4 ? x π π ?2kπ≤ + <2kπ+ 3 4 2 3π 3π 解得单调递增区间是[6kπ- ,6kπ+ ),k∈Z 4 4 9π 3π 同理可得,单调递减区间为[6kπ- ,6kπ- ). 4 4

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题型考查三角函数的奇偶性 例 4 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xsin(5π-x); (2)f(x)=lg(tanx+ 1+tan2x). 【解析】 (1)f(x)=xsin(π-x)=xsinx f(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=f(x) ∴f(x)为偶函数. π (2)函数的定义域是{x|x≠kπ+ ,k∈Z} 2 又 f(x)=lg[tan(-x)+ 1+tan2?-x?] 1 2 =lg(-tanx+ 1+tan x)=lg 1+tan2x+tanx =-lg(tanx+ 1+tan2x)=-f(x), ∴函数 f(x)是奇函数.
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题型 5 求三角函数的最值 例 5 已知 f(x)=2cos2x+ 3sin2x+a.(a∈R,a 为常数) (1)若 x∈R,求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)若 f(x)在?-6,6?上最大值与最小值之和为 3,求 a 的值. ? ? ? ?

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f(x)=1+cos2x+
? π? ? 3sin2x+a=2sin?2x+6? +a+ ? ? ?

【解析】 1.

2π (1)最小正周期 T= =π. 2 ? π π? ? π π? π ? π π? 1 ? ? ? ? ? ? (2)x∈ ?-6,6? ?2x∈ ?-3,3? ?2x+ ∈ ?-6,2? ,∴- 6 ? 2 ? ? ? ? ? ? π? ? ≤sin?2x+6?≤1, ? ? ? ?f?x?max=2+a+1, ? 即? ∴2a+3=3?a=0. ?f?x?min=-1+a+1. ?

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错解辨析 tanx 例 6 求函数 y= 2 的最小正周期. 1-tan x tanx 1 【错解】 由于 y= = tan2x. 1-tan2x 2 tanx π 所以函数 y= 的最小正周期为 . 2 1-tan2x

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tanx 1 【错因】 由于 y= 2 与 y= tan2x 的定义域分别为: 2 1-tan x kπ π π π {x|x≠ + 且 x≠kπ+ 且 x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R}, 2 2 2 2 kπ π {x|x≠ + ,k∈Z,x∈R}. 2 4 所以这两个函数的定义域不相同,故它们不是同一函数. 1 π 只有当 y= tan2x 增加了限制条件 x≠kπ+ (k∈Z)后才表示 2 2 1 同一函数,因此要确定原函数的最正周期,就应结合函数 y= 2 π tan2x(x≠kπ+ (k∈Z))的图象进行考虑. 2

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tanx 1 π 【正解】 ∵y= 2 = tan2x(x≠kπ+ ,k∈Z). 2 1-tan x 2 1 π 作出 y= tan2x(x≠kπ+ ,k∈Z)的图象.如图: 2 2

tanx 从图象上面可以看出函数 y= 2 的最小正周期为 π. 1-tan x

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