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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)4.4


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课前自主研习
温故而知新 可以为师矣

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/>知 识 导 读 1.正弦函数 y=sinx 的图象特征 原点 关于____对称,五点作图法简图五个点通常是平衡点 π 3 ( ,1)、( π,-1) 任 (0,0)、(π,0)、(2π,0) ________________________三个, 最值点________________. 2 2 平衡点 最值点 何一个______都是正弦曲线的对称中心.过______且平行于 y轴 π __________的直线都是它的对称轴. 左 2 2.余弦曲线可以由 y=sinx 的图象向______平移______个 单位得到. 3.图象作法 单位 (1)精确作法:用______________法. 五点作图 (2)作简图:用________________法.

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4.图象变换:平移、伸缩变换 平移、伸缩两个程序

路径① : |φ| 先将正弦曲线平移______个单位,再将图象上各点横坐标 1 倍 缩短 伸长 ω ______(ω>1 时)或______(0<ω<1 时)到原来的______(纵坐标 不变), 再将图象上各点纵坐标伸长(A>1 时)或缩短(0<A<1 时) 到原来的______倍. A

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φ | | 路径②:先伸缩后平移,注意平移量为______(ωx→ωx+φ ω φ =ω(x+ ). ω π 如:由 y=sin2x 的图象变为 y=sin(2x+ )的图象,不是向左 3 π π 平移 个单位,而是向左平移 个单位. 3 6 右移 两 路 径 中 的 平 移 均 贯 彻 φ > 0______ , φ < 0______ , 即 左移 左加右减 ____________. 上加下减 若按 y 轴平移,按“__________”的法则.

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5.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)在物理中的 应用: 1 ω 2π 振幅 A 叫做______,f= = 叫做______,T= 叫做______,ωx 频率 周期 T 2π ω 相位 初相 +φ 叫做______,φ 叫做______. 提示:五点法作 y=Asin(ωx+φ)的简图时,五点取法是:设 π 3 X=ωx+φ,X 取 0、 、π、 π、2π 来求相应的 x 值及对应的 y 值, 2 2 再描点作图.

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6.三角函数图象的对称性 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象具有轴对称和中心 对称.具体如下: (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=xk(其中 ωxk+φ π kπ+ ,k∈Z =_______________)成轴对称图形. 2 (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xi,0)(其中 ωxi+φ=

kπ,k∈Z __________________)成中心对称图形.

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基 础 热 身 1.(2010· 陕西卷)对于函数 f(x)=2sinxcosx,下列选项中正确 的是( ) ?π π? A.f(x)在?4,2?上是递增的 ? ? ? ? B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的最小正周期为 2π D.f(x)的最大值为 2

解析:∵f(x)=2sinxcosx=sin2x, ∴f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称. 答案:B

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? π? ? y=sin?ωx+3?+2 ? ? ?

2.(2010· 辽宁卷)若 ω>0,函数

的图象向 )

4π 右平移 个单位后与原图象重合,则 ω 的最小值是( 3 2 4 3 A. B. C. D.3 3 3 2

4 4 解析:由函数向右平移 π 个单位后与原图象重合,得 π 是 3 3 此函数周期整数倍. 2π 4 3 3 又∵ω>0,∴ · π,∴ω= k(k∈Z),∴ωmin= . k= ω 3 2 2 答案:C

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? π? ? y=sin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?的部分 ? ? ?

3. (2010· 重庆卷)若函数 图象如图所示,则( ? A.ω=1,φ= 6 ? C.ω=2,φ= 6 )

B.ω=1,φ=- D.ω=2,φ=-

? ?
6 6

T 7π π π 解析:∵由图象知 = - = ,∴T=π,ω=2, 4 12 3 4 7π π 且 2× +φ=kπ+π(k∈Z),φ=kπ- (k∈Z). 12 6 π π 又∵|φ|< ,∴φ=- . 2 6 答案:D

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4. 函数 f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y=1 所 π π 得线段长为 ,则 f( )的值是( ) 4 12 3 A.0 B. C.1 D. 3 3

解析:∵y=tanωx 的图象相邻两支被直线 y=1 所截得的线 π π 段长为 ,∴T= ,∴ω=4. 4 4 π π π f( )=tan(4× )=tan = 3. 12 12 3 答案:D

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π 5. 已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈R, ω>0)的最小正周期为 π, 4 为了得到函数 g(x)=cosωx 的图象,只要将 y=f(x)的图象( ) π π A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 8 8 π π C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 4 4 2π π 解析: 因为 T=π, ω= =2, 则 f(x)=sin(2x+ ), g(x)=cos2x. T 4 π π π 将 y=f(x)的图象向左平移 个单位长度时,y=sin[2(x+ )+ ]= 8 8 4 π sin(2x+ )=cos2x. 2 答案:A
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思维互动启迪
博学而笃志 切问而近思

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疑难精讲 1.作函数的图象时,首先要确定函数的定义域. 2.对于具有周期性的函数,应先求出周期,作出图象时只 要作出一个周期的图象,就可根据周期性作出整个函数的图 象.其次可利用一些简单性质. 3. 基本作图法是“五点法”和“变换法”, 其中“五点法” 的关键是五个特殊点; 图象变换要特别注意是“变量”的变化而 不是“角”的变化. 图象变换的两种途径的差异, 先相位变换后周期变换与先周 期变换后相位变换,图象平移的幅度不同.

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4.给出图象求解析式 y=Asin(ωx+φ)+B 的难点在于 ω、φ 的确定,本质为待定系数法,基本方法是:①“五点法”,运用 “五点”中的一项确定.②图象变换法,即已知图象是由哪个函 数的图象经过变换得到的,通常可由零点或最值点确定 T,ω. ? φ ? ? 有时从找“五点法”中的第一零点?-ω,0?作为突破口,要从图 ? ? ? 象的升降情况找准第一零点的位置.

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互动探究 题型 1 变换与三角函数图象的性质 x x 例 1 已知函数 y= 3sin +cos (x∈R). 2 2 (1)用“五点法”画出它的图象; (2)求它的振幅、周期及初相; (3)说明该函数的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变换而 得到.

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? x π? (1)y=2sin?2+6?, ? ? ? ?

【解析】

x π 令 X= + ,列表如下: 2 6 π 3π X 0 π 2π 2 2 π 2π 5π 8π 11π x - 3 3 3 3 3 y 0 2 0 -2 0 y 0 2 0 -2 0 描点连图

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π (2)振幅 A=2,周期 T=4π,初相为 . 6 π (3)将 y=sinx 图象上各点向左平移 个单位长度,得到 y= 6 ? ? π? π? ? ? ? sin?x+6?的图象,再把 y=sin?x+6?的图象上各点的横坐标伸长 ? ? ? ? ? ? x π? 到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到 y=sin?2+6?的图象.最后把 y ? ? ? ? ? x π? =sin?2+6?的图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不 ? ? ? ? ? x π? 变),即得函数 y=2sin?2+6?的图象. ? ? ? ?

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题型 2 已知图象求其解析式 例 2 如图所示, 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象上相 5π 11π 邻的最高点与最低点的坐标分别为( ,3)和( ,-3),求该函 12 12 数的解析式.

【思维点拨】 考查观察图形的能力,三角函数的性质等.

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T 11π 【解析】 依题意知 A=3, 设最小正周期为 T,则 = - 2 12 5π π = . 12 2 2π ∴T=π,又 T= ,∴ω=2. ω ∴函数解析式为 y=3sin(2x+φ). π 从图象特征看,我们可以将( ,0)看作第一个关键点,则有 6 π π ωx+φ=2× +φ=0,解得 φ=- , 6 3 π ∴y=3sin(2x- ). 3

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题型 3 三角函数的图象变换 1 π 例 3 如何由 y= sin(2x+ )的图象得到 y=sinx 的图象? 3 3

1 π 【解析】 将 y= sin(2x+ )的图象上各点的纵坐标伸长到 3 3 π 原来的 3 倍, y=sin(2x+ )的图象; 得 再把图象上各点的横坐标 3 π π 伸长到原来的 2 倍,得 y=sin(x+ )的图象;再把 y=sin(x+ ) 3 3 π 的图象向右平移 个单位长度,即得到 y=sinx 的图象. 3

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题型 4 三角函数图象的应用 例 4 若方程 3sinx+cosx=a 在[0,2π]上有两个不同的实数 根,求 a 的取值范围. ? π? ? 【解析】 3sinx+cosx=2sin?x+6?, ? ? ? ? π? ? x∈[0,2π],作出 y=2sin?x+6?在[0,2π]内的图象如图所示: ? ? ?

由图象可知,当 1<a<2 或-2<a<1 时, ? π? ? 直线 y=a 与 y=2sin?x+6?有两个交点, ? ? ? 故 a 的取值范围为 a∈(-2,1)∪(1,2).
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错解辨析 π x π x 例 5 作出函数 y=sin sin -cos cos 在一个周期内的图象是 3 2 3 2 )

(

【错解】 (1)B

(2)C、D

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x π 【错因】 选 B 错误在于对解析式变形得知 y=-cos( + ) 2 3 1 2π 2π 从而得到 y=-cos[ (x+ )],理解初相为- 而得,或总认为 2 3 3 原函数是余弦型的曲线,没有理解正余弦型图象的互相关系,选 C、D 的错误是猜选或变形变换错误所致.

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x π 【正解】 变换函数解析式得到 y=-cos( + ). 2 3 解法一:用“五点法”作出其图象,作比较选择 A 解法二:以从解析式中反映出来的函数性质与图象作对比, 运用排除法. 7π 10π 当 x= 时,y=0.x= 时 y≠0 3 3 8π x= 时,y≠0,故可排除 B、C 3 π 又当 x=0 时,y=-cos <0 故排除 D.从而选 A. 3 【答案】 A

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