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例说常用三角恒等变换技巧


例说常用三角恒等变换技巧
【摘要】 解答三角函数问题,几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化,将隐性问题明朗 化。 本文结合三角函数问题中常见的 “角的差异、 函数名的差异和运算种类的差异” 等特点, 从“角变换技巧” 、 “名变换技巧” 、 “常数变换技巧” 、 “边角互化技巧” 、 “升降幂变换技巧” 、 “公式变用技巧” 、 “辅助角变换技巧” 、 “换元变换技巧”

、 “万能置换技巧”九个方面解读三 角恒等变换的常用技巧。 【关键词】 三角 公式 恒等变换 技巧 解答三角函数问题,几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化,将隐性问题明朗化。三 角恒等变换的公式很多,主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、 半角公式”、“辅助角公式(化一公式)”、“万能置换公式”等,这些公式间一般都存在三种 差异,如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异,只有灵活有序地整合使用这些公式, 消除差异、化异为同,才能得心应手地解决问题,这是三角问题的特点,也是三角问题“难 得高分”的根本所在。本文从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。 1 “角变换”技巧 角变换的基本思想是, 观察发现问题中出现的角之间的数量关系, 把“未知角”分解成“已 知角”的“和、差、倍、半角”,然后运用相应的公式求解。 例 1 已知 cos? x ?

? ?

??

7? sin 2 x ? 2 sin 2 x 3 3? ? x ? , ,求 的值。 ? ? 4 4 1 ? tan x 4? 5

【分析】考虑到“已知角”是 x ?

?
4

,而“未知角”是 x 和 2 x ,注意到 x ? ? x ?

? ?

?? ?

?? , 4? 4

可直接运用相关公式求出 sin x 和 cos x 。 【简解】因为 ? ? x ? 又因为 cos? x ?

3 4

7 ? ? ,所以 ? ? x ? ? 2? , 4 4

? ?

??

3? ? 3 ?? 4 ? ? x ? ? 2? , sin ? x ? ? ? ? ? ? ? 0 ,所以 2 4 4? 5 4? 5 ?

?? ?? ?? ?? ? ?? ? 7 2 ? ? , sin x ? sin ?? x ? ? ? ? ? sin? x ? ? cos ? cos? x ? ? sin ? ? 4 ? 4? 4? 4 4? 4 10 ? ? ??
从而 cos x ? ?

2 sin x cos x ? 2 sin 2 x 28 2 ?? . , tan x ? 7 . 原式= 1 ? tan x 75 10

【反思】 (1)若先计算出 cos x ? ?

2 ,则在计算 sin x 时,要注意符号的选取; (2) 10

本题的另一种自然的思路是,从已知出发,用和角公式展开,结合“平方关系”通过解二元二 次 方 程 组 求 出 sin x 和 cos x . 但 很 繁 琐 , 易 出 现 计 算 错 误 ; (3)本题也可由

?? ? ? 2 x ? 2? ? x ? ? ,运用诱导公式和倍角公式求出 sin 2 x 。 ?4 ? 2
1

例 2 已知 tan( ? ? ? ) ? ? tan( ? ? ? ) ,其中 ? ? 1 ,求证:

sin 2? ? ? 1 ? sin 2? ? ? 1

【分析】所给条件中出现的“已知角”是 ? ? ? 与 ? ? ? ,涉及的“未知角”是 2? 与 2 ? , 将三个角比较分析发现 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,把“未知”角转 化为两个“已知”角的代数和,然后用相关公式求解。 【简证】

sin 2? sin??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? sin 2? sin??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) sin(? ? ? ) tan( ? ? ? ) ? tan( ? ? ? ) ? tan( ? ? ? ) ? tan( ? ? ? ) ? ?1 ? ? tan( ? ? ? ) ? tan( ? ? ? ) ? tan( ? ? ? ) ? tan( ? ? ? ) ? ?1

?

【反思】 (1)以上除了用到了关键的角变换技巧以外,还用到了“弦化切”技巧.; (2) 本题也可由已知直接求出 tan ? 与 t an ? 的关系,但与目标相差甚远,一是函数名称不同, 二是角不同,所以较为困难; (3)善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系,是 有效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有:

? ? ?? ? ? ? ? ? , ? ? ?? ? ? ? ? ? ,

? ? ? 75? ? 45? ? 30? 2? ? ? ? 2?? ? ? ? ? ? , 2? ? ? ? 2?? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ( ? ? ) , 4 2 4
等. 2 “名变换”技巧 名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换, 需要进行名变换的问题常常有明 显的特征,如已知条件中弦、切交互呈现时,最常见的做法是“切弦互化”,但实际上,诱导 公式、倍角公式和万能置换公式,平方关系也能进行名变换。 例 3 已知向量 a ? (1 ? tan x,1) , b ? (1 ? sin 2x ? cos2x,0) ,求 f ( x) ? a ? b 的定义 域和值域; 【分析】易知 f ( x) ? (1 ? tan x)(1 ? sin 2 x ? cos2 x) ,这是一个“切弦共存”且“单、倍 角共在”的式子,因此既要通过“切化弦”减少函数名称,又要用倍角公式来统一角,使函数 式更简明。 【简解】 f ( x) ? (1 ? tan x)(1 ? sin 2 x ? cos2 x)

? sin x ? 2 ? ?1 ? ? 1 ? 2 sin x cos x ? 2 cos x ? 1 ? cos x ?

?

?

? 2?cos x ? sin x ??cos x ? sin x ?

2

? 2 cos 2 x
由 cos x ? 0 得, x ? k? ?

?
2

, k ? Z , 2 cos 2 x ? ?2

所以, f ( x) ? 2 cos2 x .的定义域是 ? x x ? k? ?

? ?

?

? , k ? Z ? ,值域是 ?? 2,2? . 2 ?

【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”,变形后再进行“切化弦”求解. 例 4 已知 ? , ? 都是锐角,且 tan ? ?

sin ? ? cos ? sin ? ,求 的值。 sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?

【分析】已知条件中,等式的右边是分式,符合和差解的正切公式特征,可考虑“弦化 切” ,另一方面,若是“切化弦” ,则很快出现待求式,与目标很近.

sin ? ? ? 1 tan? ? tan ?? 4 ? tan? 【简解 1】显然 cos ? ? 0 时, tan ? ? cos? ? ?? ? ? , sin ? ? 4? ? ? 1 1 ? tan? tan cos? 4 ? 因为 ? , ? 都是锐角,所以 ? ? ? ? , 4
所以,

sin ? ? sin ? ? cos?

sin ? 2 . ? ?? 2 ? 2 sin ?? ? ? 4? ?

【简解 2】由

sin ? cos ? sin ? sin ? ? cos? ? ? 得, , sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? cos ? sin ? ? cos?



sin ? cos ? ? ? A ,则 sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?

2 2 sin 2 ? ? cos2 ? ? A2 ?sin ? ? cos? ? ? ?sin ? ? cos? ? ,

?

?

所以, 2 A ? 1 , A ?
2

sin ? 2 2 ? ,即 . sin ? ? cos? 2 2

【反思】简解 1 说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时,很容易“弦化切” ; 简解 2 很巧妙,其基本思想是整体换元后利用平方关系消元. 3 “常数变换”技巧 在三角恒等变形过程中, 有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式, 以利于完善
2 2 ? 式子结构,运用相关公式求解,如 1 ? sin x ? cos x , 1 ? tan 45 , 3 ? tan

?
3

等.

例 5 (1)求证:

1 ? sin 6 x ? cos6 x 3 ? ; (2)化简: sin 2x ? 3 cos2x . 1 ? sin 4 x ? cos4 x 2

【分析】第(1)小题运用 1 ? sin 2 x ? cos2 x 和 1 ? sin 2 x ? cos2 x 把分子、分母 都变成齐次式后进行转化;第(2)小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟 悉的 y ? Asin ??x ? ? ? 的形式,有利于系统研究函数的图象与性质.
3

?

?

3

?

?

2

【简解】 (1)左边=

(sin 2 x ? cos2 x)3 ? sin 6 x ? cos6 x (sin 2 x ? cos2 x) 2 ? sin 4 x ? cos4 x

?

3 sin 2 x cos2 x(sin 2 x ? cos2 x) 3 ? . 2 sin 2 x cos2 x 2

(2)原式= sin 2 x ? tan

?
3

cos 2 x

? sin 2 x ?

sin

? ?
3 ? cos 2 x ? 3

sin 2 x cos

?
3

? cos2 x sin

?

cos

cos

?
3

3 ? 2 sin ? 2 x ? ? ? ? ? 3? ?

【 反 思 】 “1” 的 变 换 应 用 是 很 多 的 , 如 万 能 置 换 公 式 的 推 导 , 实 际 上 是 利 用 了

1 ? sin 2 x ? cos2 x 把整式化成分式后进行的,又如例 4 中,也是利用了 1 ? tan 45? ,把分
式变成了整式. 4 “边角互化”技巧 解三角形时,边角交互呈现,用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边,运用代数 运算方法求解,或统一成角,运用三角变换求解. 例 6 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,且 2a sinA = (2b+c) sinB + (2c+b) sinC, (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B ? sin C ? 1 ,证明 ?ABC 是等腰三角形. 【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身,看似复杂,但等式是关于三边长和三个 角的正弦的齐次式,所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。 【简解】 (1) (角化边)由正弦定理

a b c ? ? 得, sin A sin B sin C

2a 2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c ,整理得, a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,
2? b2 ? c2 ? a2 1 ? ? ,因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? 所以 cos A ? . 3 2bc 2
(2)法一: (边化角)由已知和正弦定理得,

2 sin 2 A ? (2 sin B ? sin C) sin B ? (2 sin C ? sin B) sin C
2 2 即 2 sin A ? 2(sin B ? sin C) ? 2 sin B sin C ,从而 sin B sin C ?

1 , 4

又 sin B ? sin C ? 1 ,所以 sin B ? sin C ? 所以 B ? C , ?ABC 是等腰三角形. 法二:由(1)知 B ? C ?

1 . 2

?
3

,C ?

?
3

? B ,代入 sin B ? sin C ? 1 得,

sin B ?

? ? 3 1 ?? ? cos B ? sin B ? 1 ,所以 sin? ? B ? ? 1 , ? B ? , 3 2 2 2 ?3 ?
4

所以 B ?

?
6

,C ?

?
6

, ?ABC 是等腰三角形.

【反思】第(1)小题“化角为边”后,把已知条件转化为边的二次齐次式,符合余弦定 理的结构,第(2)小题的法一之所以“化边为角”,是因为不易把条件 sin B ? sin C ? 1 化为 边的关系,而把条件 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C 转化为边的关系却很容易;法 二的基本思路是消元后统一角,再利用“化一公式”简化方程. 5 “升降幂变换”技巧 当所给条件出现根式时,常用升幂公式去根号,当所给条件出现正、余弦的平方时,常

x x? ? 2 x 用 “ 降 幂 ” 技 巧 , 常 见 的 公 式 有 : 1 ? sin x ? ? sin ? cos ? , 1 ? cos x ? 2 cos , 2 2? ? 2
1 ? cos x ? 2 sin 2 x ,可以看出,从左至右是“幂升角变半”,而从右至左则是“幂降角变倍”. 2

2

例 7 化简: 1 ? sin 6 ? 1 ? sin 6 【分析】含有根号,需“升幂”去根号. 【简解】原式= sin 2 3 ? cos2 3 ? 2 sin 3 cos3 ? = sin 3 ? cos3 ? sin 3 ? cos3

sin 2 3 ? cos2 3 ? 2 sin 3 cos3

因为

3? ?? ? ? 3 ? ? ,所以 sin 3 ? cos3 ? 2 sin? 3 ? ? ? 0 , sin 3 ? cos 3 ? 0 , 4 4? ?

所以,原式 ? ?(sin 2 ? cos3) ? (sin 3 ? cos3) ? ?2 cos3 .

例8

?π ? ?π π? 求函数 f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? 的最大值与最小值. ?4 ? ?4 2?

【分析】函数式中第一项是正弦的平方,若“降幂”后“角变倍” ,与第二项的角一致.. 【简解】∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

? ?

?π ?? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ??

π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ? ?4 2?

?π π?

π

π



?

π?

∴ f ( x)max ? 3 ,f ( x)min ? 2 .
【反思】以上两例表明,“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤,只有有效地 整合各种技巧与方法才能顺利地解题。如例 7 中用到了常数“变换技巧”,例 8 中用到了“辅 助角”变换技巧.
5

6 “公式变用”技巧 几 乎 所 有 公 式 都 能 变 形 用 或 逆 向 用 , 如 sin ? ?

sin 2? sin 2? , cos ? ? , 2 cos ? 2 sin ?

tan? ? tan? ? tan?? ? ? ??1 ? tan? tan? ? 等,实际上,“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等
也是一种公式变用或逆用技巧. 例 9 求值: (1) cos 20? cos 40? cos 60? cos 80? ; (2) tan70? ? tan10? ? 3 tan70? tan10? 。 【分析】第(1)小题中,除 60 ? 是特殊角外,其他角成倍角,于是考虑使用倍角公式; 第(2)小题中两角差为 60 ? ,而 3 是两角差的正切值,所以与两角差的正切公式有关。 【简解】 (1)原式=

sin 40? sin 80? sin 160 ? sin 160 ? 1 cos 60? ? ? 。 2 sin 20? 2 sin 40? 2 sin 80? 16 sin 20? 16

(2)原式= tan( 70? ? 10?)(1 ? tan70? tan10?) ? 3 tan70? tan10? = 3 。 【反思】 第 (1) 小题的一般性结论是: cos? cos 2? ? cos 2
n ?1

??

sin 2 n ? n? N* . 2 n sin ?

?

?

例 10 求证: tan x tan 2 x ? tan 2 x tan 3 x ? ? ? tan ?(n ? 1) x ?tan nx ?

tan nx ?n。 tan x

【分析】左边通项是两角正切的积,且两角差为定值,而在正切的和、差角公式中出现 了两角正切的积,可尝试. 【简证】因为 tan x ? tan?kx ? ?k ? 1?x? ? 所以 tan( k ? 1) x tan kx ?

tankx ? tan(k ? 1) x , k ? 2,3,4,?, n 1 ? tankx tan(k ? 1) x

tan kx ? tan( k ? 1) x ? 1, tan x tan 2 x ? tan x tan 3x ? tan 2 x tan 4 x ? tan 3x tan nx ? tan( n ? 1) x ? ? ??? ?n 左边= tan x tan x tan x tan x tan nx ?n = tan x
【反思】这里通过“角变换”和公式变形得出裂项公式,然后累加消项,这也是数列求 和的一种常见技巧. 7 “辅助角变换”技巧 通常把 a sin x ? b cos x ? ,其作 a 2 ? b2 sin(x ? ? ) 叫做辅助角公式(也叫化一公式)

用是把同角的正弦、 余弦的代数和化为 y ? Asin ??x ? ? ? 的形式,来研究其图象与性质. 尤

其是当

a 3 ?? ? ? ?1 , ? 3 , ? 时,要熟记其变换式,如 sin x ? cos x ? 2 (sin? x ? ? , b 4? 3 ?

?? ? 3 sin x ? cos x ? 2(sin? x ? ? 等. 6? ?
6

例 11 求函数 y ?

1 ? sin x 的值域. 3 ? cos x

【分析】初看此题,似无从下手,若把分式变成整式,就出现了 a sin x ? b cos x ,然 后利用三角函数的有界性建立关于 y 的不等式. 【简解】由 y ?

1 ? sin x 得 3 y ? y cos x ? 1 ? sin x ,所以 sin x ? y cos x ? 3 y ? 1 , 3 ? cos x

2 从而 1 ? y sin( x ? ? ) ? 3 y ? 1 ,

其中辅助角 ? 由 sin ? ? ?

y 1? y
2

, cos? ?

1 1? y2
3 . 4

决定.

所以,由 sin ?x ? ? ? ?

3y ?1 1? y2

? 1 解得 0 ? y ?

【反思】 (1)解答本题的方法很多,比较多用的方法是类比斜率计算公式,把问题转化 为直线斜率问题,也有用万能置换后,转化为分式函数求解的.(2)辅助角公式的形成,也 可以看成是“常数变换”的结果 . 事实上, a sin x ? b cos x = a? sin x ?

? ?

b ? cos x ? ,可设 a ?

b ? tan ? ,再进行“切化弦”变换,就得到了“化一公式”.. a
8 “换元变换”技巧 有些函数,式子里同时出现 sin x ? cos x (或 sin x ? cos x )与 sin x cos x ,这时,可 设 t ? sin x ? cos x(或 t ? sin x ? cos x ) , 则 sin x cos x ? 把三角函数转化为熟悉的函数来求解. 例 12 求函数 y ?

t 2 ?1 1? t 2 (或 sin x cos x ? ) , 2 2

sin x ? cos x ? ? ? ?? x ? ? 0, ? ? ? ? ? 的值域. 1 ? sin x ? cos x ? ? 2 ??
2

【分析】 同时出现 sin x ? cos x 与 sin x cos x 时, 可用 ?sin x ? cos x? ? 1 ? 2 sin x cos x . 【简解】设 sin x ? cos x ? t ,因为 0 ? x ?

?
2

,t ?

?? ? 2 (sin? x ? ? ,所以 t ? (1, 2 ] , 4? ?
t 2 ?1 , 2

又由 ?sin x ? cos x? ? 1 ? 2 sin x cos x 得, sin x cos x ?
2

t2 ?1 sin x ? cos x t ?1 所以, y ? , ? 2 ? 1 ? sin x ? cos x 1 ? t 2
由 t ? (1, 2 ] 得, 0 ? y ?

2 ?1 . 2

7

【反思】 (1)本题若不换元,则需要用到“添、凑、配”技巧,而怎样进行“添、凑、 配” ,则是因题而异,无明显特征.; (2)引进“新元”后,一定要说明“新元”的取值 范围; (3)平方关系的变式 ?sin x ? cos x? ? 1 ? 2 sin x cos x 应用广泛,如在解答命题
2

“已知 sin ? , cos ? 是方程 x ? kx ? k ? 1 ? 0 的两根,求 k 的值. ”时,关键步骤是
2

在运用韦达定理后,利用变式消元后求解。 例 13 求证:

x? y y?z z?x x? y y?z z?x 。 ? ? ? ? ? 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx

【分析】所证等式中每个分式与两角差的正切相似,而所证等式与三角形中的结论 tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C 相似,从而尝试换元,利用三角知识证代数问题。 【简解】设 tan? ? x, tan? ? y, tan? ? z ,因为 ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? , 所以 tan??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? tan?? ? ? ? ,

tan?? ? ? ? ? tan?? ? ? ? ? tan?? ? ? ? , 1 ? tan?? ? ? ? tan?? ? ? ?

变形整理得 tan?? ? ? ? ? tan?? ? ? ? ? tan?? ? ? ? ? tan?? ? ? ? tan?? ? ? ? tan?? ? ? ? 所以,

tan? ? tan? tan? ? tan? tan? ? tan? ? ? 1 ? tan? tan? 1 ? tan? tan? 1 ? tan? tan? tan? ? tan? tan? ? tan? tan? ? tan? ? ? 1 ? tan? tan? 1 ? tan? tan? 1 ? tan? tan?

?

即,

x? y y?z z?x x? y y?z z?x ? ? ? ? ? 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx

【反思】本题解法也体现了类比思维的作用,若用常规方法处理,则运算十分繁琐. 9 “万能置换”技巧 “万能置换”技巧,实际从属于“名变换”技巧,其特征是用半角的正切值表示原角的 正弦、余弦与正切. 例 14 讨论函数 y ?

2x 的最大值与最小值. 1? x2

【分析】 本题可通过求导或利用基本不等式求解. 但类比函数式的结构与万能置换公式

x 2 相同,于是问题得到转化. sin x ? x 1 ? tan2 2 2 tan
t 2x 【简解】设 x ? tan ?? ? ? t ? ? ? ,则 y ? ? 2 1? x2

t 2 ? sin t , t 1 ? tan2 2 2 tan

8

当且仅当 t ?

?
2

也就是 x ? tan

?
4

? 1 时, ymax ? 1 ,

当且仅当 t ? ?

?
2

也就是 x ? tan? ?

? ?? ? ? ?1 时, ymin ? ?1 . ? 4?

【反思】 (1)当问题条件中出现单角的正切与倍角三角函数问题时,可考虑使用万能置 换公式; (2)运用万能置换技巧既可以把代数问题转化成三角函数问题,也可以把三角问题

x 1 ? sin x 转化为代数问题,如例 11 中,可设 t ? tan ,则 y ? ? 2 3 ? cos x

tan 2

x x ? 2 tan ? 1 2 2 ,即 x 2 2 tan ?4 2

y?

t 2 ? 2t ? 1 ,然后可用判别式法求解. 2t 2 ? 4

最后还要指出, 这里介绍的所谓技巧只是解决问题时关键步骤的一种特定的做法, 每一 个问题的解决常常伴随着几种技巧的综合运用, 所以, 只有准确理解三角公式的内在关系及 其基本功能,善于发现问题中角、名、结构的差异,准确地选择转换策略,化异为同,才能 准确有效地运用三角恒等变换的常用技巧解决问题.

【参考文献】 1. 汪江松著《高中数学解题方法与技巧》 ,湖北教育出版社 2. 解恩泽著《数学思想方法》 ,山东教育出版社 3. 罗增儒著《数学解题学引论》 ,陕西师范大学出版社 4. 张 泉著《世纪金榜》 (高中全程得以方略) ,延边大学出版社

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