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用正、余弦定理解三角形

时间:2015-04-25


灵活应用正、余弦定理解三角形
利用正余弦定理解三角形在近几年的高考中出现的频率比较频繁,因此,掌握好正、余 弦定理在各种题型中的应用就显得尤其重要。下面就正、余弦定理的几种应用作一个归纳, 希望能帮助同学们更好地掌握。 一、直接利用定理求边和角。 例 1:在△ABC 中, a ? b ? 6 ? 6 3, A ? 300 , B ? 600 ,求边 c 的长。 解:∵ c ? 1800 ? ( A ? B) = 90 由正弦定理:
0

a b c ? ? 及等比定理得 sin A sin B sin C

c a?b 6?6 3 ? ? sin C sin A ? sin B sin 300 ? sin 600
∴c ?

6?6 3 1 ? 3 2 2

?

6(1 ? 3 ) ? 12 1 (1 ? 3 ) 2

二、配凑公式求边和角。 例 2:若 a ,b,c 分别表示△ABC 的顶点 A、B、C 所对的边长,且( a +b+c) ( a +b-c) =3 a b,求 cos(A+B) 。 解: 由( a +b+c) ( a +b-c)=3 a b,得 (a ? b) 2 ? c 2 ? 3ab 整理得: a ? b ? c ? ab , 故 cos(A+B)=-cosC =-
2 2 2

a2 ? b2 ? c2 ab 1 ?? ?? 2ab 2ab 2

三、利用定理求边和角的求值范围。 例 3:①在锐角△ABC 中, a =1,b=2 则 c 的取值范围是多少? ②设 a , a +1, a +2 为钝角三角形的三边,则 a 的取值范围是__________. 解:①由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cosC ? 5 ? 4 cosC
2 2 2

由 0<cosC<1 得 1 ? c ? 5 即
2

1? c ? 5

②由余弦定理得: cosC ?

a 2 ? (a ? 1) 2 ? (a ? 2) 2 ?0 2a(a ? 1)

? a 2 ? 2a ? 3 ? 0 ? ?1 ? a ? 3 ? 0 ? a ? 3
四、利用定理判断三角形的形状。 例 4:在△ABC,已知 (a ? b ) sin( A ? B) ? (a ? b ) sin( A ? B) ,判断△ABC 的形状。
2 2 2 2

解:∵ (a ? b ) sin( A ? B) ? (a ? b ) sin( A ? B)
2 2 2 2

∴ (a ? b ) sin(A cos B ? cos A sin B) ? (a ? b )(sin A cos B ? cos A sin B)
2 2 2 2

∴ b sin A cos B ? a cos A sin B
2 2

∴b ? a ?
2

a2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 ? a 2b ? 得 (a 2 ? b 2 )(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 0 2ac 2bc



a ? b 或 a2 ? b2 ? c2

所以△ABC 是等腰三角形或以 C 为直角的直角三角形。 点评:一般在判断三角形的形状时,将角化为边的关系或将边化为角的关系再判断。常见情 况下将角化边。 五、定理互换解决问题。 例 6:在△ABC 中,已知 AB=2,BC=1,AC= 3 ,分别在边 AB、BC、CA 上取点 D、E、F 使得 △DEF 为正三角形,记∠FEC 为 ? ,问 sin ? 取何值,△DEF 边长最短,并求此最短边长。 解:∵AB=2,BC=1,AC= 3 ∠C= 90 ,∠A= 30 ,∠B= 60 ∴ ∠BDE= ? 在△BDE 中,
0 0

∴ AB ? BC ? CA
2 2 0

2

∴△ABC 是直角三角形。

∴△DEF 为等边三角形。

DE 1 ? EF ? cos ? ? sin B sin ? FE 1 ? EF ? cos ? ? 又 EF=DE 可得 sin ? sin 60 0

∴ EF ?

3 2 sin ? ? 3 cos?

?

3 7 sin(? ? arctan 3 ) 2
A

∵ sin(? ? arctan

3 21 ) ? 1 时,EF 取最小值 2 7
0 0

D

F

也就是说, ? ? k ? 360 ? 90 ? arctan

3 2

?
B E C

∴ sin ? ?

2 7 21 时,EF 取最小值 。 7 7


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