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连云港市灌云县四队中学高中数学教案:数学归纳法1 (苏教版选修2-2)


四队中学教案纸
备课 时间 教学 目标 教学 课题 教时 计划 1 教学 课时 1

1.了解归纳法的意义,培养学生观察、归纳、发现的能力. 2.了解数学归纳法的原理,能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤. 3.抽象思维和概括能力进一步得到提高. 重点:借助具体实例了解数学归纳的基本思想,掌握它的基本步骤,运用它证明一 些与正整数 n(n 取

无限多个值)有关的数学命题。 难点:1、学生不易理解数学归纳的思想实质,具体表现在不了解第二个步骤的作 用,不易根据归纳假设作出证明; 2、运用数学归纳法时,在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

重点难 点

教学过程 (一)创设情景 对于数列{an},已知 a1 ? 1 ,

a

n ?1

?

1 ? an

a

n

(n=1,2,…), 通过对 n=1,2,3,4 前 4 项的归纳,猜想

a 其通项公式为

n

?

1 n 。这个猜想是否正确需要证明。

一般来说,与正整数 n 有关的命题,当 n 比较小时可以逐个验证,但当 n 较大时,验证就很 麻烦。特别是 n 可取所有正整数时逐一验证是不可能的。因此,我们需要寻求一种方法:通过有 限个步骤的推理,证明 n 取所有正整数都成立。 (二)研探新知 1、了解多米诺骨牌游戏。 可以看出,只要满足以下两条件,所有多米诺骨牌就都能倒下: (1)第一块骨牌倒下; (2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下。 思考:你认为条件(2)的作用是什么? 可以看出,条件(2)事实上给出了一个递推关系: 当第 k 块倒下时,相邻的第 k+1 块也倒下。 这样,要使所有的骨牌全部倒下,只要保证(1) (2)成立。 2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。

a 思考:你认为证明数列的通过公式是
类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗? 分析: 多米诺骨牌游戏原理

n

?

1 n 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能

通项公式 (1)第一块骨牌倒下。

a

n

?

1 n

的证明方法

(1)当 n=1 时 a1=1,猜想成立

1

k ,则 (2)若第 k 块倒下时,则相邻的第 k+1 块也 (2)若当 n=k 时猜想成立,即 1 倒下。 a k ?1 ? k ? 1 。 当 n=k+1 时猜想也成立,即
k

a

?

1

根据(1)和 (2) ,可知不论有多少块骨牌,根据(1)和(2) ,可知对任意的正整数 n,猜 都能全部倒下。 想都成立。 3、数学归纳法的原理 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立; (2) (归纳递推)假设 n=k( k ?

n ,k ? n
0

?

)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立。

只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。 上述证明方法叫做数学归纳法 注意: (1)这两步步骤缺一不可。 (2)用数学归纳法证明命题时,难点和关键都在第二步,而在这一步主要在于合理运用归 纳假设,结合已知条件和其他数学知识,证明“当 n=k+1 时命题成立”。 (3)数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证 明,学习时要具体问题具体分析。 4、例题讲解 例 1 用数学归纳法证明: 如果{an}是一个等差数列, 那么 an=a1+(n-1)d 对一切 n∈N 都成立. 证明:(1)当 n=1 时,左边=a1,右边=a1+0·d=a1,等式成立. (2)假设当 n=k 时等式成立,就是 ak=a1+(k-1)d. 那么 ak+1=ak+d=[a1+(k-1)d]+d=a1+[(k+1)-1]d, 这就是说,当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)和(2)可以判定,等式对任何 n∈N 都成立. 例 2 用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)=n . 证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边=1,等式成立. (2)假设当 n=k 时,等式成立,就是 1+3+5+…+(2k-1)=k2, 那么 1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k +[2(k+1)-1]=k +2k+1=(k+1)2. ∴n=k+1 时也成立. 由(1)和(2),可知等式对任何 n∈N 都成立. (三)小结 : 数学归纳法的原理和步骤。 课外作业 教学反思
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