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2010年五校合作自主选拔通用基础测试数学试题参考答案和评分参考


2010 年五校合作自主选拔通用基础测试数学试题参考答案和评分参 考
一、选择题 ADBCC ABDBD 二、解答题

11.解:(Ⅰ)由



所以 即

因为 所



内角 ,



(Ⅱ) 又由余弦

定理得 即 又 所以 , ,

有 当且仅当 即 为等边三角形时,



的面积取得最大值

12.解:

(Ⅰ)设





可知的斜率

因此可以设直线

方程为

把 所以 因为 所以直线

代入,整理得

都不平行于

轴,

斜率之和为

可知直线 所以 作 则 由已知 可得 所以 平分

的倾角互补,而

平行于 轴,

为垂足 可得 , ,所以 为直角三角形

(Ⅱ)如图,根据的结果,可以设直线的方程分别为



分别代入,得

所以

由已知可知



所以 所以 或

解得



当取 所以直线 即 同理,当取 13.解:

时,求得 方程为

,又 ,

斜率



时,直线

方程为

(Ⅰ)设正四棱锥的底面正方形的边长为

,高为 .则正四棱锥的体积

正四棱锥的表面积

从而





则 令 当 当 解得 时, 当 时,

时取得最小值

正四棱锥的表面积的最小值为 4. (Ⅱ)一般地,设正 棱锥的底面正 边形的中心到各边的距离为 ,高为 ,则 正边形 的体积 正棱锥的表面积 由(Ⅰ)知,当时,正棱锥的表面积取得最小值。由于正棱锥的表面积与底面机之比为 可知使正棱锥的表面积取得最小值得一个充分必要条件是正棱锥的表面积是地面积的 4 倍。 解:(Ⅰ)参与交配的两个亲本(一个称为父本,一个称为母本)的基因型式的情况, 及相应情况发生的概率和相应情况下子一代的基因型式为 , , 的概率如下表:

父本、母本的基因 型式 父 父 父 父 父 父 父 父 父 母 母 母 母 母 母 母 母 母

相应情况 出现的概率

子一代基因 为 的概率

子一代基因 为 的概率

子一代基因 为 的概率

子一代的基因型式为

的概率为

. 由对称性知子一代的基因型式为 . 分 子一代的基因型式为 的概率为 的概率为

……………………3 分

……………………6

……………………9 分 若记 , 的比例为 , , 则 . , , , , , 子一代三种基因型式: ,

……………………10 分 的比例为 ,其中

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知子二代的基因型式为 , 由 ,可得 , , . . ,

故子二代三种基因型式 例相同. 分 15 解法一:

的比例为

,与子一代基因型式的比 ……………………14

(Ⅰ)令

,代入

化简得

由于等式对所有

成立,可知

解得

……………………………………………

4分

令 所以存在

,代入

,化简得

使得 (Ⅱ)令

……………………………………………

6分

注意到

,由(Ⅰ)知,

……………………………

10 分

化为

可知

从而

统一写为

从而有 解法二: (Ⅰ)同解法一,可求出

…………………………

14 分

…………………………………………… 取

4分



所以

……………………

6分

(Ⅱ)由





(1)

把(1)式两边都加上 2 得:

(2)

把(1)式两边都减去 2 得: 若存在 ,使 与 所以不存在 ,使 ,由(3)可知 矛盾

(3)

(2)式除以(3)式得

……………………………

10 分

因为

所以

所以

所以

所以

……………………………

14 分

解法三:

(Ⅰ)由解法一得





(1)

易看出(1)式中 所以存在 (Ⅱ)用数学归纳法 (1)当 时,显然成立

即得 ,即

(2)易得



(※) 假设当 时,命题成立

即 则当 时,



时,



时,

只需证

即证

即证

即证

即证

即 所以(2)成立 由(1),(2)可知,原命题成立

,而此式是假设成立的


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