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2014年高一数学必修4考试题(7)


2014 年高一数学必修 4 考试题(7)
一.选择题(本大题为单选题,共 10 题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知 sin? ? tan? < 0 ,那么角 ? 是 A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 2.下列函数中,在定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? ? x
3

/>(



( )

B. y ? sin x

C. y ? x

D. y ? ( )

1 2

x

3.要得到 y ? sin? 2 x ?

? ?

??

? 的图像,只需将 y ? sin 2 x 的图像 3?

( )

? 个单位 6 ? C.向左平移 个单位 3
A.向左平移

? 个单位 6 ? D.向右平移 个单位 3
B.向右平移 )

? ? 4、已知函数 f ( x) ? ?sin 6 x, x ? 4 ,则 f (5) 的值为( ? ? f ( x ? 1), x ? 4 ?

A. 1
2

B.

2 2

C.

3 2

D.1 )

??? ? ? ??? ? ? ??? ? 5.如图,设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点,若 OA = a , OB = b ,则 OP =(

b (用 a、 表示)
A.- a ? b
2? 3 1? 3

??

B.

2 ? 1? a? b 3 3

B Q P A b a O

C.

1? 1? a? b 2 3

D. a ?

1? 3

2? b 3

??? ??? ? ??? ???? ???? ? ? ? 6.若平面四边形 ABCD 满足 AB ? CD ? 0 , ( AB ? AD) ? AC ? 0 ,则该四边形一定是( )
A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形

7.设函数 f ( x) 和 g ? x ? 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A. f ( x) +| g ? x ? |是偶函数 C.| f ( x) | + g ? x ? 是偶函数 B. f ( x) -| g ? x ? |是奇函数 D.| f ( x) |- g ? x ? 是奇函数 )

8.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为(

1

A. y ? 2 sin(2 x ? C. y ? 2 sin( ?

3 ? ? ? ? ? ? 9.下列命题中:① a ? b ? c ? a ? b ? c

x 2

?

2? ) 3 )

B. y ? 2 sin(2 x ? D. y ? 2 sin(2 x ?

?
3
)

)

?
3

?

?

?

?

② a ? b ? c ? a ? b ? c ;③函数 y ? tan x 的图像的所有对称 中心是 (k? ,0), k ? Z ; ④函数 y ? 3sin 2 x 的所有对称轴方程为 x ? 正确命题个数是: ( A.0 B.1 ) C.2

? ?

? ?

k? ? ? , k ? Z 。其中 2 4

D.3

10、函数 y ? sin x 的定义域为 ?a , b ?,值域为 ?? 1 , ? ,则 b ? a 的最大值与最小值之和等 2

? ?

1? ?

于( A、 4?

) B、

8? 3

C、 2?

D、

4? 3

二.填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.已知集合 A ? {x | y ? log 2 ( x ? 1)}, B ? { y | y ? ( ) , x ? 0}, 则A ? B 等于
x

1 2



12、若 cos(2? ? ? ) ?

5 ? 且 ? ? (? ,0), 则sin(? ? ? ) ? _________ 3 2


13.已知 e是单位向量, | a ? e |?| a ? 2e |, 则a在e 方向上的投影为 14.函数 f ( x) ? sin x ? ln x 的零点个数是

15. y ? f ? x ? 为 R 上的偶函数, 且满足 f ? x ? 4 ? ? f ? 4 ? x ? , f ? 6 ? ? 3 , ? ? 2cos ? , sin 则 f 2012sin ? ? sin ? ? cos ? ?
2

?

?

16、在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函 y=f(x)的图像恰好经 ? 过 k 个格点,则称函数 y=f(x)为 k 阶格点函数.已知函数:①y=2sinx;②y=cos(x+ ); 6 x 2 ③ y ? e ? 1 ;④ y ? x .其中为一阶格点函数的序号为 (注:把你认为正确论断 的序号都填上) 三.解答题(共 5 大题,每小题 14 分,共 70 分) 17.已知向量 a ? ? 3, 4 ? , c ? ? k , 0 ? (1)若 a ? a ? c ,求 k 的值; (2)若 k ? 5 , a 与 a ? c 所成的角为 ? ,求 cos ?

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?
? ?

3 ? ? ? , 1) y ? f x? ? 的振幅, ( 求 周期和初相; 2) y ? f x? ( 求 4 ? 的最大值并求出此时 x 值组成的集合。 (3)求 y ? f ? x ? 的单调减区间.
18.设函数 f ? x ? ? 3sin ? 2 x ? 2

?

19.已知点 A、B、C、D 的坐标分别为 A(3,0)、B(0,3)、C(cosα ,sinα ), D ? ?2cos ? , ?t ? α ∈(

? 3? , ). 2 2

(1)若| AC |=| BC |,求角α 的值; (2)若 AC · BC =-1,求

2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? 的值. 1 ? tan ?
2

(3)若 f ?? ? ? OC ? OD ? t ? 2 在定义域α ∈(

??? ???? ?

? 3? , )有最小值 ?1 ,求 t 的值。 2 2

20.汕头市南澳岛有 50 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元。 根据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超出 6 元, 则每超过 1 元, 租不出的自行车就增加 3 辆。 为了便于结算, 每辆自行车的日租金 x(元) 只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用 y (元) 表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得) 。 (1)求函数 y ? f (x) 的解析式及其定义域; (2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多? 21.已知 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? k x ,
2 2

⑴若 k ? 2 ,求方程 f ( x) ? 0 的解; ⑵若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 在 (0,2) 上有两个解 x1 , x 2 ,求 k 的取值范围, 并证明:

1 1 ? ?4 x1 x 2

3

高一数学

答案

二、填空题(30 分) 11.

?1,???

12. 15.

- 3

2 3

13. 16.

1 2
①③

14. 1 三、解答题(70 分)

17.解:依题意, a ? c ? ? 3 ? k , 4 ? , (1)? a ? a ? c

? ?

1分 3分

?

?

? ?

?

? ? ? ?a ? a ? c ? 0

?

?

?3? ?3 ? k ? ? 4 ? 4 ? 0

5分

?k ?

25 3

7分

18. 解: (1) f ? x ? ? 3sin ? 2 x ? 振幅:3 周期 T ?

(2)? x ? R ? 2 x ? 当 sin ? 2 x ?

3? ?R 4

2? ?? 2

? ?

3 ? ?? 4 ?
初相 ?

3? ? ? sin ? 2 x ? 4 ?

3? 4

3分

? ? ? ? ?1,1? ?

5分 6分 8分

? ? ? 1 时 y ? f ? x ? 取最大值为 3 ? 3? ? 5 此时 2 x ? ? ? 2k? ,即 x ? ? ? k? , k ? Z 4 2 8 5 ? ? x 值组成的集合 ? x x ? ? ? k? , k ? Z ? 8 ? ? 3 ? ? (3) f ? x ? ? 3sin ? 2 x ? ? ? 4 ? ?

? ?

3? 4

9分

4

3? 3? ? 2k? ? 2 4 2 11 分 5? 9? x ? [k? ? , k? ? ] 8 8 k?z ∴ 所求的减区间为 2k? ? ? 2x ?

?

14 分

(2)由 AC · BC =-1 得(cosα -3)cosα +sinα (sinα -3)=-1. ∴sinα +cosα =

2 . 3

6分



2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? 2sin ? (sin ? ? cos ? ) =2sinα cosα . ? sin ? 1 ? tan ? 1? cos ?
4 , 9
8分

7分

由①式两边平方得 1+2sinα cosα = ∴2sinα cosα = ?

5 . 9



2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? 5 ?? . 1 ? tan ? 9
2 2

9分
2 2

(3)依题意记 y ? f ?? ? ? ?2 cos ? ? t sin ? ? t ? 2 ? ?2(1 ? sin ? ) ? t sin ? ? t ? 2

? 2sin 2 ? ? t sin ? ? t 2
令 x ? sin ?

10 分

?? ?(

? 3? , ) 2 2

? sin ? ? ? ?1,1?
11 分

y ? 2 x 2 ? tx ? t 2

x ? ? ?1,1?

关于 x 的二次函数开口向上,对称轴为 x ?

t 4

y ? 2 x 2 ? tx ? t 2 在 x ? ? ?1,1? 上存在最小值,则对称轴 x ?
? t ? ? ?4, 4 ?
12 分

t ? ? ?1,1? 4

5

且当 x ?

t2 t 9 t 2 2 时, y ? 2 x ? tx ? t 取最小值为 ymin ? 2 ? ? t ? ? t 2 ? ? t 2 ? ?1 16 4 8 4
14 分

?t ? ?

2 2 3

20.解: (1)当 x ? 6时, y ? 50 x ? 115, 令50 x ? 115 ? 0, 解得x ? 2.3.

? x ? N * ,? x ? 3,? 3 ? x ? 6, x ? N * .
当x ? 6时, y ? [50 ? 3( x ? 6)] x ? 115 . 令[50 ? 3( x ? 6)] x ? 115 ? 0, 有3 x 2 ? 68 x ? 115 ? 0. 上述不等式的整数解为2 ? x ? 20 ( x ? N * ),

………………2 分

? 6 ? x ? 20( x ? N * ) ,..............................................5 分
故y??

?50 x ? 115 (3 ? x ? 6, x ? N * ), ? ?? 3 x 2 ? 68 x ? 115 (6 ? x ? 20, x ? N * ). ?
*

................6 分

定义域为 {x | 3 ? x ? 20, x ? N }.

.................................7 分
*

(2)对于 y ? 50 x ? 115 (3 ? x ? 6, x ? N ) , 显然当 x ? 6时, y max ? 185 (元) ,........................9 分

34 2 811 ) ? (6 ? x ? 20, x ? N * ). 3 3 34 811 对于y ? ?3x 2 ? 68 x ? 115 ? ?3( x ? ) 2 ? (6 ? x ? 20, x ? N * ). 当x ? 11时, y max ? 270 (元). ? 270 ? 185, 3 3 当x ? 11时, y max ? 270 (元). ? 270 ? 185, 对于y ? ?3x 2 ? 68 x ? 115 ? ?3( x ?
f ( x) ?| x 2 ? 1| ? x 2 ? 2 x ? 0
2

12



∴当每辆自行车的日租金定在 11 元时,才能使一日的净收入最多。.......14 分 21.解: (1)当k=2时,
2

----1分

① 当 x ? 1 ? 0 ,即 x ? 1 或 x ? ?1 时,方程化为 2 x ? 2 x ? 1 ? 0

?1? 3 ?1? 3 ? 1 ,舍去, ,因为 0 ? 2 2 ?1? 3 所以 x ? . ----3分 2 2 ②当 x ? 1 ? 0 ,即 ? 1 ? x ? 1 时,方程化为 2x ? 1 ? 0 1 解得 x ? ? -----4分 2 ?1? 3 1 由①②得当k=2时,方程 f ( x) ? 0 的解为 x ? 或 x ? ? .---5分 2 2 ⑵不妨设0< x1 < x 2 <2,
解得 x ? 6

?2 x 2 ? kx ? 1 | x |? 1 f ( x) ? ? | x |? 1 ?kx ? 1 因为 所以 f (x) 在(0,1]是单调函数,故 f ( x) ? 0 在(0,1]上至多一个解, 1 若1< x1 < x 2 <2,则 x1 x 2 ? ? <0,故不符题意,因此0< x1 ≤1< x 2 <2.--7分 2 1 由 f ( x1 ) ? 0 得 k ? ? , 所以 k ? ?1 ; x1 1 7 由 f ( x2 ) ? 0 得 k ? -----9分 ? 2 x 2 , 所以 ? ? k ? ?1 ; x2 2 7 故当 ? ? k ? ?1 时,方程 f ( x) ? 0 在(0,2)上有两个解. -----10分 2 1 2 因为0< x1 ≤1< x 2 <2,所以 k ? ? , 2 x 2 ? kx2 ? 1 ? 0 x1
消去k 得 即
2 2 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 0

-----11分

1 1 ? ? 2 x2 x1 x 2 1 1 ? ? 4. 因为x2<2,所以 x1 x 2

-----14分

7


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