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4.1.2圆的一般方程(与导学案一致)


4.1.2 圆的一般方程

复习
2+(y-b)2=r2 ( x a ) 圆的标准方程:

特征:直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径:

(x-1)2+(y+2)2=2

(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
<

br /> 动动手
把圆的 标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展开,得

x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2

由于a, b, r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2

结论:任何一个圆方程可以写成下面形式

x2 +y 2+Dx+Ey+F=0

思考
1.是不是任何一个形如 x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 方程表示 的曲线是圆呢?

2.下列方程表示什么图形?
(1)x2+y2-2x+4y+1=0; (2)x2+y2-2x-4y+5 =0; (3)x2+y2-2x+4y+6=0.

动动脑
把方程:x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 配方可得:
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F (x + ) + ( y + ) = 2 2 4

(1)

当D2+E2-4F>0时,表示以( 为圆心,以(
1 D 2 + E 2 - 4F 2

D E ,- ) 2 2

) 为半径的圆.

(2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2
D E y=-E/2,表示一个点( - 2 ,- 2

).

D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F (x + ) + ( y + ) = 2 2 4

(3) 当D2+E2-4F<0时,方程无实数解,所

以不表示任何图形.

所以形如x2 +y 2+Dx+Ey+F=0
(D2+E2-4F>0)可表示圆的方程

圆的一般方程:
x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系:

1 2 2 D + E - 4F (1)a=-D/2,b=-E/2,r= 2 (2)标准方程易于看出圆心与半径

一般方程突出形式上的特点: ①x2与y2系数相同并且不等于0;

②没有xy这样的二次项

圆的一般方程与二元二次方程的关系
圆的一般方程:

x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
与二元二次方程:

A x2 +Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0的关系: 1. A = C ≠ 0 2. B=0
3. D2+E2-4F>0

?

二元二次方程表

示圆的一般方程

练习
判断下列方程能否表示圆的方程,若能写 出圆心与半径 (1) x2+y2-2x+4y-4=0 是
圆心(1,-2)半径3

(2) 2x2+2y2-12x+4y=0
(3) x2+2y2-6x+4y-1=0

是 圆心(3,-1)半径 10
不是 不是? 是? 不是

(4) x2+y2+2ax-b2=0
(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0

练习
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3), 半径为4,则D,E,F分别等于 ( B) - 4,6,3 ( A)4,-6,3

D

(C ) - 4,6,-3

( D)4,-6,-3

2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是 D
1 ( A)a ? 2

1 ( B )a ? 2

(C )a =

1 2

1 ( D )a ? 2

举例 例2: 求过三点O(0,0),M1 (1,1) , M2(4,2)的方程,并求出这个圆

的半径和圆心坐标.

举例 例3. 已知线段AB的端点B的坐标是 (4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4

上运动,求线段AB的中点M的轨迹
方程.

1. 已知:一个圆的直径的两端点是A(x1,y1) 、B(x2,y2).
证明:圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 ? P

解法一: 求圆心、求半径 解法二: 直译法
P点满足PA⊥PB A ? C

B

y - y1 y - y2 即 ? = -1 x - x1 x - x2

举例
2. 已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距
离的比为1/2的点的轨迹,求此曲线的方程, 并画出曲线.
解:设( x, y )是所求曲线上的点,则由题意可得: ( x - 0) 2 + ( y - 0) 2 1 = 2 2 2 ( x - 3) + ( y - 0)
2

y

M(x,y)

.

两边平方化简得: x + y + 2x - 3 = 0
2

(-1,0) O

.

.
A(3,0)

x

62 - 4 ? (-9) ? 0 ? 该曲线为圆.

直接法

练习
3.圆x2+y2+8x-10y+F=0 与x轴相切,则这 A 个圆截y轴所得的弦长是
( A)6 ( B )5

(C )4

( D )3

4. 点A(3,5) 是圆 x2+y2-4x-8y-80=0 的一条
弦的中点,则这条弦所在的直线方程是

x+ y-8= 0

知识结构
知 a 、 b、 r (x-a)2+(y-b)2=r2 圆的方程 配 方 展 开

x2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F

D2+E2 -4F>0

小结
1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 2 ? ? x + y + Dx + Ey + F = 0 ? 2 2 ? D + E - 4F ? 0 ?

2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
配方 ?? ?? ?? ? ? 展开

标准方程(圆心,半径)

3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?

(用配方法求解)

作业
课本P123 练习2,3

P124 习题A组 1,6


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