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新课标Ⅱ第四辑2016届高三上学期第一次月考 数学(文)


第一次月考数学文试题【新课标Ⅱ版】

1. 已知全集 U ? {0,1, 2,3, 4} ,集合 A ? {1, 2,3} , B ? {2, 4} ,则 (CU A) ? B为 A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}

1 ? 2. 复数 1? i 1 1 ? i A. 2 2

/>B.

1 1 ? i 2 2

C.

1? i

D. 1 ? i

3.单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了解 该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本. 若样本中的青年职工为 7 人, 则样本容量为 A.7 B.15 C.25 D.35

x2 y2 ? ? 1 的焦点到其渐近线的距离等于 4. 双曲线 4 5
A.

5

B. 4 2

C.3

D .5

5. 设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则

S4 ? a2
D.

A. 2

B. 4

C.

15 2

17 2

? y ? x, ? 6. 已知实数 x, y 满足线性约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? ?1, ?
A.-3 B. ?

7. 执行如图所示的程序框图,若 a 的值为 5,输出的结果是 A.

3 2

C.4

D.3

7 8

B.

15 16

C.

31 32

D.

63 64

8. 如右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体 的体积是 A. 4 ? 4? C. 4 ? 2?

24 ? 2? 3 12 ? 2? D. 3
B.

9. 已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ? (0, ? ) ,则

sin 2? =
A. ? 1 B. ?

2 2

C.

2 2

D.1

10. 函数 f ( x) ? ln | x ? 1| 的图像大致是

11. 如图,在三棱锥 S ? ABC 中, SA ? 平面 ABC , AB ? 3 , BC ? 1 , SA ? 2 ,则该三棱锥外接球的表面积等于 A. 13? B. 14? C. 52? D. 56? 12. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) ,当 ? 3 ? x ? ?1 时,

S

f ( x) ? ?( x ? 2) 2 , 当 ? 1 ? x ? 3 时 , f (1) ? f (2) ? ... ? f (2012 )?
A.335 B.338 C.1678

f ( x) ? x

. 则

A B

C

D.2012

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 注意事项: 用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置。 13. 已知抛物线的顶点在原点,焦点恰好是圆 x ? y ? 2 x ? 0 的圆心,则抛物线的方程为
2 2

__________



14. 若曲线 y ? x2 ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则 a ? b ? 15. a, b 的夹角为 1200 , a ? 1, b ? 3 ,则 5a ? b ? 16. 设函数 D( x ) ? ?

? ?

?

?

?

?

. (把你认为正确的

?1, x为有理数 ?0, x为无理数

,则下列结论正确的有

序号都写上). ① D ( x ) 的值域为 {0,1} ③ D ( x ) 不是周期函数

② D ( x ) 的图象关于 y 轴对称 ④ D ( x ) 不是单调函数

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 b sin A ? 3a cos B . (I)求角 B 的大小;

(II)若 b ? 3 , sin C ? 2 sin A ,求 a , c 的值.

18.(本小题满分 12 分) 已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (II)记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值.

21.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 a 2 b2

F1 (?1,0) ,且点 P(0,1) 在 C1 上. (I) 求椭圆 C1 的方程;
(II) 设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 相切,求直线 l 的方程.

22.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3

(I)求函数的单调区间与极值; (II) 已知函数 f ( x) 有三个互不相同的零点 0, x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 .若对任意的

x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围.

参考答案
一.选择题 题号 答案 二.填空题 13. y ? 4 x ;
2

1 C

2 A

3 B

4 A

5 C

6 D

7 C

8 D

9 A

10 B

11 B

12 B

14.2

15.7

16.

①②④.

P 19. 解】(Ⅰ)由 A 组频数分布表可知, A 组中 [60,65) 这一小组的频数 为 20, 由 B 组频率分布直方图可知 , B 组中 [60, 65)这一小组的 频率为 C

B

A

1 ? (0.05 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.06 ? 5 ? 0.03 ? 5) ? 0.1 . 所以这一小组频数为 100 ? 0.1 ? 10 . 20 20 由于是分层抽样,所以 ? 20 ? 4 , ?10 ? 2 . 100 100 即A 、 B 两组中成肤疱疹面积同为 [60,65) 的这一区间应分别挑出 4 只、2 只. (Ⅱ)(文科)由(Ⅰ)知, A, B 两组中 [60,65) 这一区间上挑出的老鼠分别有 4 只、2 只, 设编号分别为 1,2,3,4;5( B 组),6( B 组), 则从中抽取两只的所有基本事件如下 (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6); (2,3), (2,4), (2,5),(2,6); (3,4), (3,5),(3,6); (4,5),(4,6); (5,6) 共有 15 个. 显然事件 C ? { B 组中至少有 1 只被抽中}发生包含了以下 9 个基本事件, (1,5), (1,6); (2,5),(2,6); (3,5),(3,6); (4,5),(4,6); (5,6) 9 3 所以由古典概型知 P(C) ? ? 15 5
? 20. 证明:(1)∵ AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90

∴ AB ? 2 2 即 AP ? BP ? 2 2 又 PC ? AC ∴ Rt ? ACP 中, AP ? 2 2 AC ? 2 则 PC ? 2 ∴在 ? BPC 中 BC ? PC ? 2, BP ? 2 2 ∴ ?PCB ? 90 即 PC ? BC ∵ PC ? BC , PC ? AC , AC ? BC ? C ∴ PC ? 面 ABC ,∴ PC ? AB
?

解: (2)由(1) 在三棱锥 P ? ABC 中, PC ? 底面ABC ,底面 ? ABC 为直角三角形 且 PC ? AC ? BC ? 2

1 1 4 ?V三棱锥P-ABC ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 2 3 又 在三棱锥 C ? PAB 中,设高为 h ∵底面是边长为 2 2 的正三角形 1 3 2 3 ?V三棱锥C-PAB ? ? ? (2 2)2 ? h ? h 3 4 3 又 V三棱锥C-PAB ? V三棱锥P-ABC

?

2 3 4 2 3 2 3 ,∴ C 到面 APB 距离为 . h= ,解得 h ? 3 3 3 3

21.【解析】 (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1 (?1,0) ,所以 c ? 1 ,

1 x2 y 2 2 2 2 点 P(0,1) 代入椭圆 2 ? 2 ? 1 ,得 2 ? 1 ,即 b ? 1 ,所以 a ? b ? c ? 2 , b a b 2 x ? y 2 ? 1. 所以椭圆 C1 的方程为 2 (2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 ,消去 y 并整理得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 , ?2 ? y ? kx ? m ?
因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以 ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,
2 2 2 2

整理得 2k ? m ? 1 ? 0
2 2
2



? y ? 4x ,消去 y 并整理得 k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 . ? y ? kx ? m ? 因为直线 l 与抛物线 C2 相切,所以 ? ? (2km ? 4)2 ? 4k 2m2 ? 0 , 整理得 km ? 1 ② ? 2 2 ? ?k ? ?k ? ? 综合①②,解得 ? 2 . 2 或? ?m ? 2 ?m ? ? 2 ? ?
所以直线 l 的方程为 y ? 22. 【解析】 (I)解: f ' ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? m 2 ? 1,令 f ' ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m 因为 m ? 0, 所以 1? m ? 1? m 当 x 变化时, f ( x), f ' ( x) 的变化情况如下表:

2 2 x? 2 或 y ?? x? 2 . 2 2

(??,1 ? m) (1 ? m,1 ? m) (1 ? m,??) x 1? m 1? m 0 + 0 f ( x) f ( x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ f ( x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。 2 3 1 2 函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = m ? m ? 3 3 2 3 1 2 函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 2 1 2 (II)解:由题设, f ( x) ? x(? x ? x ? m ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3 1 2 2 所 以 方 程 ? x ? x ? m ? 1 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 x1 , x 2 , 故 x1 ? x2 ? 3 , 且 3 4 1 1 ? ? 1 ? (m 2 ? 1) ? 0 ,解得 m ? ? (舍),m ? 3 2 2 3 因为 x1 ? x 2 , 所以2 x 2 ? x1 ? x 2 ? 3, 故x 2 ? ? 1 2 1 若 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意 3 若 1 ? x1 ? x2 , 则对任意的 x ? [ x1 , x2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0, 1 则 f ( x) ?? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 又 f ( x1 ) ? 0 , 所以函数 f ( x) 在 x ? [ x1 , x2 ] 的最 3 小值为 0,于是对任意的 x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立的充要条件是
'

1 ? 0 ,解得 ? 3 1 综上,m 的取值范围是 ( , 2 f (1) ? m 2 ?

3 3 ?m? 3 3 3 ) 3 .

备注:解答题的评分标准由各阅卷组讨论决定.


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