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上海市17区县2013届高三数学一模分类汇编 专题三 空间几何 文

时间:2013-03-23


专题三 空间几何
汇编 2013 年 3 月 (松江区 2013 届高三一模 文科) 15. 过点 (1, 0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 15.D B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0 )

(嘉定区

2013 届高三一模 文科)16.以下说法错误的是???????????( A.直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是 [0 , ? )

? ?? ? 2? ? C.平面内两个非零向量的夹角的取值范围是 [0 , ? )
B.直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是 ?0 , D.空间两条直线所成角的取值范围是 ?0 , 16.C (浦东新区 2013 届高三一模 文科) 若一个圆锥的轴截面是边长为 4 cm 的等边三角形, 10. 则这个圆锥的侧面积为 8?

? ?

??
2? ?

cm2 .

??? ???? ? ???? ???? (黄浦区 2013 届高三一模 文科)15.在四边形 ABCD 中, AB ? DC ,且 AC · BD =0,则

四边形 ABCD 是 A.菱形 15.A



) C.直角梯形 D.等腰梯形

B.矩形

(虹口区 2013 届高三一模)16、已知 l1 、 l 2 、 l3 是空间三条不同的直线,下列命题中正确 的是( )

A. 如果 l1 ? l2 , l2 // l3 .则 l1 ? l3 . C. 如果 l1 ? l2 ,l2 ? l3 .则 l1 ? l3 .
16、A;

B. 如果 l1 // l2 , l2 // l3 .则 l1 、 l2 、 l3 共面. D. 如果 l1 、l2 、l3 共点.则 l1 、l2 、l3 共面.

(青浦区 2013 届高三一模)6.若圆柱的侧面展开图是一个正方形,则它的母线长和底面 半径的比值是

2?



(奉贤区 2013 届高三一模)13、 (理)在平面直角坐标系 xOy 中,对于任意两点 P ( x1 ,y1 ) 1 与 P2 ( x2 ,y2 ) 的“非常距离” 给出如下定义:若 | x1 ? x2 |≥| y1 ? y2 | ,则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为 | x1 ? x2 | , 若 | x1 ? x2 |?| y1 ? y2 | ,则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为 | y1 ? y2 | .

1

已知 C 是直线 y ?

3 ,则点 C 与点 D 的“非常距 x ? 3 上的一个动点,点 D 的坐标是(0,1) 4

离”的最小值是_________.13. 理

8 7

(杨浦区 2013 届高三一模 文科)7. 若圆椎的母线 l ? 10 cm ,母线与旋转轴的夹角

? ? 300 ,则该圆椎的侧面积为
cm2 . 7. 50?
(普陀区 2013 届高三一模 文科) 【文科】 4. 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 异面直线 B1C 与 C1 D 所成的 角的大小为 .
A B
C

A1
B1

D1

C1

D

4.【文科】 60

?

(第 4 题图)

(嘉定区 2013 届高三一模 文科)8.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 R 的半圆,则这 个圆锥的底面积是________. 8.

?R 2
4

(浦东新区 2013 届高三一模 文科)12.如图所示,已知一个空间几何体 的三视图, 则该几何体的体积为

2? ?

2 3 3

.

主视图

2? 2? , cos ), (金山区 2013 届高三一模) 若直线 l: 9. y=kx 经过点 P(sin 3 3 5? 则直线 l 的倾斜角为 α = . 9. 6
(青浦区 2013 届高三一模)13.正六边形 A1 B1C1 D1 E1 F1 的边长为 1,它 的 6 条对角线又围成了一个正六边形

左视图

俯视图

A2 B2 C2 D2 E2 F2 ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是

9 3 4



2

杨 浦 区 2013 届 高 三 一 模 文 科 ) 5 . 若直 线 l : y ? 2 x ? 1 ? 0 , 则 该 直 线 l 的 倾 斜 角 是 . 5. arctan 2 ;

( (青浦区 2013 届高三一模)5.已知:正三棱柱的底面正三角形边长为 2,侧棱长为 3, 则它的体积 V ?

3 3

. 中,AB ? 2 3 ,AC ? 2 且 ?B ? 30? , ?AC 则 B

B (虹口区 2013 届高三一模) 在 ?AC 10、
的面积等于 .

10、 2 3 或 3 ;

(普陀区 2013 届高三一模 文科)13. 三棱锥 S ? ABC 中, E 、 F 、 G 、 H 分别为

SA 、 AC 、 BC 、 SB 的中点,则截面 EFGH
将三棱锥 S ? ABC 分成两部分的体积之比为 .

S
E

H
13. 1 : 1 ( 松 江 区 2013 届 高 三 一 模

A

F

d ( P, Q? )


1

文 科 ) 13 . 在 平 面 直 B 坐 标 系 中 , 定C义 角 G (第 13 题图) x 2 x ? 1 y 为 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 两点之间的“折线距离”.则原点 ? ? 2y

O(0,0) 与 直 线 x ? y ? 5 ? 0 上 一 点 P( x, y) 的 “ 折 线 距 离 ” 的 最 小 值 是
.13.

5
A M E P F D

(杨浦区 2013 届高三一模 文科)12.如图,已知边长为 8 米的正 方形钢板有一个角锈蚀, 其中 AE ? 4 米, CD ? 6 米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM ,使点 P 在边 DE 上. 则矩形 BNPM 面积的最大值为____ 平方米 . 12. 48;

B

N

C

(崇明县 2013 届高三一模)3、过点 P(1,? 1) ,且与直线 l : x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线方程 是 . 3、 x +y =0

(长宁区 2013 届高三一模)17、已知 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,下列
3

命题中的假命题的是(

) B. 若m // n, m ? ? , 则n ? ? D. 若m ? ? , m ? ? , 则? ? ?

A. 若m ? ? , m ? ? , 则? // ? C. 若m // ? , ? ? ? ? n, 则m // n 17、 C

(闵行区 2013 届高三一模 文科)12. (文)已知△ABC 的面积为 1 ,在△ABC 所在的平面内 有 两 点 P、Q , 满 足 PA ? PC ? 0, QA ? QB ? QC ? BC , 则 △ APQ 的 面 积 为 .12.文

??? ??? ? ?
1 ; 3

? ??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

(宝山区 2013 届期末) 12.已知半径为 R 的球的球面上有三个点, 其中任意两点间的球面距 离都等于

?R ,且经过这三个点的小圆周长为 4? ,则 R= 3
2013
2

.2 3

( 青 浦 区

? 届 高 三 一 模 ) 11 . 已 知 a s i ?n? a c o? s 1 ? 0 与

b 2 sin? ? b cos ? ? 1 ? 0 ( a ? b ).直线 MN 过点 M (a, a 2 ) 与点 N (b, b 2 ) ,则坐标原点到直
线 MN 的距离是 1 .

(长宁区 2013 届高三一模)11、 (理)我们知道,在平面中,如果一个凸多边形有内切圆, 那么凸多边形的面积 S、周长 c 与内切圆半径 r 之间的关系为 S ?

1 cr 。类比这个结论,在 2

空间中,如果已知一个凸多面体有内切球,且内切球半径为 R,那么凸多面体的体积 V、表 面积 S'与内切球半径 R 之间的关系是 。 (文)已知长方体的三条棱长分别为 1 , 1 , 2 ,并且该长方体的八个顶点都在一个球的球 面上,则此球的表面积为____________.11、 (理) V ?

1 S ?R , (文) 6? 3

(崇明县 2013 届高三一模)8、若圆锥的侧面展开图是半径为 1cm、圆心角为 180? 的 半圆,则这个圆锥的轴截面面 积等于 . 8、

3 4

(青浦区 2013 届高三一模) 19. (本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题, 1 小题满分 6 分, 第 第 2 小题满分 6 分. 如图已知四棱锥 P ? ABCD 中的底面是边长为 6 的正方形,侧棱 PA 的长为 8,且垂直于底 面,点 M、N 分别是 DC、AB 的中点.求 (1)异面直线 PM 与 CN 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (2)四棱锥 P ? ABCD 的表面积. (1)解法 一:连结 AM ,可证 CN ∥ AM , 直线 PM 与 AM 所成角等于直线 PM 与 CN 所成角. ??????????2 分

4

因为 PA 垂直于底面,所以 PA ? AM , 点 M 分别是 DC 的中点, DC ? 6 ? AM ? 3 5 在 Rt?PAM 中, PA ? 8 , AM ? 3 5 ,

tan?PMA ?

8 3 5

?

8 5 8 5 , ? ?PMA ? arctan 15 15

??????????4 分 即 异 面 直 线 PM 与 CN 所 成 角 的 大 小 为

8 5 .??????????6 分 arctan 15
解法二:以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系可得 M (3,6,0) , P(0,0,8) , N (3,0,0) ,

C (6,6,0) ,?PM ? (3,6,?8) ,?CN ? (?3,?6,0)
2分 直线 PM 与 CN 所成角为 ? ,向量 PM与CN 的夹角为 ?

??????????

? cos? ?

PM ? CN PM CN

?

? 45 109 ? 45

??

3 545 109

??????????4 分

又 cos? ? cos? ?

3 545 3 545 , ? ? arccos , 109 109 3 545 .??????????6 分 109

即异面直线 PM 与 CN 所成角的大小为 arccos (说明:两种方法难度相当)

(2) 因为 PA 垂直于底面,所以 PA ? AB , PA ? AD 即 Rt?PAB ≌ Rt?PDC

?PA ? BC ? BC ? PB ,同理 CD ? PD ? Rt?PBC ≌ Rt?PAD ????8 分 ? AB ? BC ?
底面四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形,所以 S 底 ? 36 又

? S ?PAD S 侧 ? S ?PAB ? S ?PBC 1 1 ? 2 ? ( PA ? AB ) ? 2 ? ( PB ? BC ) ? 48 ? 60 ? 108 2 2

? S ?PCD

S 表 ? 108? 36 ? 144
所以四棱锥 P ? ABCD 的表面积是 144 ????????????????12 分

(崇明县 2013 届高三一模)20、 (本题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分)
5

(文科)如图,四面体 ABCD 中, O 、 E 分别是 BD 、 BC 的中点, AO ? 平面 BCD ,
CA ? CB ? CD ? BD ? 2 .

(1)求三棱锥 A ? BCD 的体积; (2)求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小.

A

D (理科)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? AD ? 1 , E 为 CD 中点. O (1)求证: B1 E ? AD1 ; (2)若 AB ? 2 ,求二面角 A ? B1 E ? A1 的大小. B E A1 B1 C D1

C1

A E 20、 (理科) B C (1)方法一、以 A 为坐标原点,以 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角 坐标系,设 AB ? a ,则 B1 E ? ? ?

D

????

? ? a ? ???? ,1, ?1? , AD1 ? (0,1,1) . ? 2 ?

所以 , B1E ? AD1 ? 0, B1 E ? AD 。 1 另解: AA1D1D 为正方形,所以 A D ? AD1 , 1

???? ???? ?

A1D ? AD1 ? ? ? AD1 ? 面A1B1CD 。 CD ? AD1 ?

又B1E ? 面A1B1CD ? AD1 ? B1E 。
(2)因为 AB1 ? ? 2,0,1?, ? ?1,1,0 ? , AE 所以取面 AB1E 的一个法向量为 n1 = ?1,-1,-2 ? ,同理可取面 A1B1E 一个法向量为 n2 = ? 0,1,1? , 设二面角 A-B1E-A1 为 ? , cos ? ? 则

????

??? ?

??

?? ?

n1 ? n2 3 ? = ,所以? = 即二面角 A-B1E-A1 的大小为 n1 ? n2 2 6

? . 6
(文科) (1)因为 CO= 3 ,AO=1 所以 V ?

1 3 ? 3 ?1 ? 3 3



(2)因为 O、E 为中点,所以 OE//CD,所以 ?AEO 的大小即为异面直线 AE 与 CD 所成角。

6

在直角三角形 AEO 中, ?AEO =

?
4

,所以异面直线 AE 与 CD 所成角的大小为

? 4

(虹口区 2013 届高三一模)19、 (本题满分 12 分)在正四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA 的

10 长为 2 5 , PA 与 CD 所成的角的大小等于 arccos . 5
(1)求正四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2) 若正四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点都在球 O 的表面上,求此球
A D

P

C

B

O 的半径.
19、(12 分) 解: (1)取 AB 的中点 M ,记正方形 ABCD 对角线的交点为 O? ,连 PM ,

PO? , AC ,则 AC 过 O? .

? PA ? PB , ? PM ? AB , 又 cos?PAM ?
AM ? 2 2 .??????4 分
AO? ? 4 , PO? ? 2

10 , PA ? 2 5 , 得 5

1 1 64 VP ? ABCD ? S底 ? PO? ? ? (4 2 ) 2 ? 2 ? 3 3 3

? 正 四 棱 锥 P ? ABCD 的 体 积 等 于
位) .??????8 分

64 (立方单 3

( 2 ) 连 AO , OO? , 设 球 的 半 径 为 R , 则 OA ? R ,

OO? ? R ? PO? ? R ? 2





Rt ?OO?A





R2 ? ( R ? 2)2 ? 42 ,得 R ? 5 。????12 分

(宝山区 2013 届期末)19. (本题满分 12 分)
? 如图,直三棱柱 ABC ? A B1C1 的体积为 8,且 AB ? AC ? 2 ,∠ BAC = 90 ,E 是 AA1 的 1

中点,O 是 C1B1 的中点.求异面直线 C1E 与 BO 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

7

O C1 A1 E

B1

O C1 A1 E

B1

B

B F C A

C

A

解:由 V ? S ? AA1 ? 8 得 AA ? 4 ,?????????3 分 1 取 BC 的中点 F,联结 AF,EF,则 C1F / / BO , 所以 ?EC1F 即是异面直线 C1E 与 BO 所成的角,记为 ? . ?????????5 分

C1F 2 ? 18 , C1E 2 ? 8 , EF 2 ? 6 ,?????????8 分
cos ? ? C1F 2 ? C1E 2 ? EF 2 5 ? ,?????????11 分 2C1F ? C1E 6
5 ??????????????????12 分 6

因而 ? ? arc cos

(长宁区 2013 届高三一模)20、 (本题满分 12 分)如图,△ ABC 中, ?ACB ? 90 ,
0

?ABC ? 300 , BC ? 3 ,在三角形内挖去一个半圆(圆心 O 在边 BC 上,半圆与 AC 、
AB 分别相切于点 C 、 M ,与 BC 交于点 N ) ,将△ ABC 绕直线 BC 旋转一周得到一个旋
转体。 (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积. A

M 20、解(1)连接 OM ,则 OM ? AB

? BC ? 3, ?ABC ? 300 ,? AC ? 1, AB ? 2 ,
设 OM ? r ,则

????3 分O C 第 20 题

N

B

8

OB ? 2r ,又 OB ? 3 ? r ,所以 2r ? 3 ? r , r ?
所以,

3 ,????6 分 3

S 球表 ? 4?r 2 ?

4 ?. 3

????8 分

(2) V ? V圆锥 ? V球 ?

1 4 5 3 ? ? AC2 ? BC ? ?r 3 ? ? . ????12 分 3 3 27

(黄浦区 2013 届高三一模 文科)19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满 分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , F 分别为线段 DD1 , BD 的 中点. (1)求三棱锥 E ? ADF 的体积; (2)求异面直线 EF 与 BC 所成的角.
D A F B C A1 E D1 B1 C1

19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, ∵ F 是 AC 的中点, ∴ S?CDF ?
D1 A1 E B1 C1

1 1 S?ADC ? ? 2 ? 1 , 2 2 1 3 1 3

??????3 分

又 CE ? 平面 ABCD ,即 CE ? 平面 CDF , 故 VE ?CDF ? S?CDF ? CE ? ?1?1 ?

1 , 3
A

D F B

C

1 所以三棱锥 E ? ADF 的体积为 .??????6 分 3
(2)连 BD1 ,由 E 、 F 分别为线段 DD1 、 BD 的中点,

可得 EF ∥ BD1 ,故 ?D1 BC 即为异面直线 EF 与 BC 所成的角. ∵ BC ? 平面 CDD1C1 , CD1 ? 平面 CDD1C1 ,∴ BC ? CD1 , ? 在 Rt △ BCD1 中, BC ? 2 , D1C ? 2 2 , ∴ tan ?D1BC ?

??????? 8 分

D1C ? 2 ,∴ ?D1BC ? arctan 2 . BC

所以异面直线 EF 与 BC 所成的角为 arctan 2 . ?????????? 12 分 (嘉定区 2013 届高三一模 文科)20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满 分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , AC ? BC , AC ? BC ? PA ? 2 . (1)求三棱锥 P ? ABC 的体积 V ; (2)求异面直线 AB 与 PC 所成角的大小. P
9

A

B

20. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) (1)因为 PA ? 底面 ABC ,所以三棱锥 P ? ABC 的高 h ? PA ,????(3 分)

1 1 1 4 Sh ? ? ? AC ? BC ? PA ? .????(6 分) 3 3 2 3 (2)取 PA 中点 E , PB 中点 F , BC 中点 G , 连结 EF , FG , EG ,则 EF ∥ AB , FG ∥ PC , 所以 ?EFG 就是异面直线 AB 与 PC 所成的角(或其补角) .????(2 分)
所以, V ? 连结 AG ,则 AG ?

AC2 ? CG 2 ? 5 ,??(3 分)

P E A G C F B

EG ? EA2 ? AG2 ? 6 , ????(4 分)
又 AB ? PC ? 2 2 ,所以 EF ? FG ?

2 .????(5 分)

EF 2 ? FG 2 ? EG 2 1 ? ? ,??(7 分) 在△ EFG 中, cos?EFG ? 2 EF ? FG 2

故 ?EFG ? 120 ? .所以异面直线 AB 与 PC 所成角的大小为 60 ? .????(8 分)

(浦东新区 2013 届高三一模 文科)19. (本小题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小 题满分 6 分)
? 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ? AA ? 2 , ?ABC ? 45 . 1

(1)求直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积; (2)若 D 是 AC 的中点,求异面直线 BD 与 AC 所成的角. 1 解: (1) V ?
B1

A1

c1

1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 ;?????????????6 分 2
A D C

(2)设 M 是 AA1 的中点,连结 DM , BM ,? DM // AC , 1

??BDM 是异面直线 BD 与 AC 所成的角.???8 分 1
在 ?BDM 中, BD ? BM ? 5,
2 2

B

MD ? 2 ,
2

? 5? ? ? 2? ?? 5? cos ?BDM ?
2? 2 ? 5

?

10 .?????????????10 分 10

10

即 ?BDM ? arccos

10 . ? 异 面 直 线 BD 与 AC 所 成 的 角 为 1 10

arccos

10 .????12 分 10

(浦东新区 2013 届高三一模 文科)20. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小 题满分 8 分) 已知复数 z1 ? 2sin ? ? 3i, z2 ? 1 ? (2cos ? )i, (1)若 z1 ? z2 ? R ,求角 ? ; 值范围. 解 : ( 1 )

? ? ?0, ? ? .
???? ???? ? ?

(2)复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OZ1 , OZ2 ,其中 O 为坐标原点,求 OZ1 ? OZ2 的取

???? ???? ? ?

z1 ? z2 ? (2 sin ? ? 3i)?1 ? (2 cos? )i?

= (2 sin ? ? 2 3 cos? ) ? (2 sin 2? ? 3)i ? R ??2 分

? sin 2? ?

3 ??????????4 分 2

又 ? 0 ? 2? ? 2? ,? 2? ?

?

2 ? ? 或 ? , ? ? ? 或 ???????6 分 3 3 6 3

(2) OZ1 ? (2 sin ?, 3 OZ2 ? 1,2 cos? ) ? ), (

? OZ1 ? OZ2 ? 2 sin ? ? 2 3 cos? ? 4 sin(? ? ) ? ????????10 分 3 ? ? 2? ?? ?? ? ? , 3 3 3 ? ? ?2 3 ? 4 sin(? ? ) ? 4 ?OZ1 ? OZ2 ? ? 2 3,4 ???14 分 3

?

?

(杨浦区 2013 届高三一模 文科)19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满 分 5 分,第 2 小题满分 7 分 .

? 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, ? 平面 ABC ,AC ? AB ,AP ? BC ? 4 , ABC ? 30? , PA P D 、E 分别是 BC 、 的中点, AP
(1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)若异面直线 AB 与 ED 所成角的大小为 ? ,求 tan ? 的值. E

A

B

C

D

11

19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . (1)由已知得, AC ? 2 , AB ? 2 3 , ???2 分

1 8 3 VP ?? ABC ? S ?ABC PA ? 3 3 所以 ,体积
(2)取 AC 中点 F ,连接 DF , EF ,则 AB // DF , 所以 ?EDF 就是异面直线 AB 与 ED 所成的角 ? . 由已知, AC ? EA ? AD ? 2 , AB ? 2 3 , PC ? 2 5 ,

???5 分

???7 分

? AB ? EF , ? DF ? EF .
在 Rt?EFD 中, DF ? 3 , EF ? 5 ,

???10 分

tan? ?
所以,

15 3 .

???12 分

(其他解法,可参照给分)

12


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