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第八章 圆锥曲线方程 阶段质量检测

时间:2010-10-29


第八章 圆锥曲线方程

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设 a≠0,a∈R,则抛物线 y=ax2 的焦点坐标为 a A.( ,0) 2 a C.( ,0) 4 1 B.(0, ) 2a 1 D.(0, ) 4a ( )

解析:先把抛物线的方程化为标

准方程的形式, 1 由 y=ax2 得,x2= y, a 1 ∴其焦点坐标为(0, ). 4a 答案:D x2 y2 2.如果双曲线 - =1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13,那么点 P 到右准线的距离 13 12 是 13 A. 5 C.5 B.13 5 D. 13 ( )

解析:由双曲线方程得 a2=13,b2=12, c 5 ∴c2=25,∴e= = , a 13 |PF2| 5 由双曲线的第二定义知 =e= , d 13 13 而|PF2|= 13,∴d= . 5 答案:A 3.抛物线 y2=2px(p>0)的准线经过等轴双曲线 x2-y2=1 的左焦点,则 p= A. 2 2 B. 2 D.4 2 ( )

C.2 2

p 0), ∴ 解析: 双曲线 x2-y2=1 的左焦点为(- 2, 故抛物线的准线为 x=- 2, = 2, 2
1

p=2 2. 答案:C x2 y2 5 4.两个正数 a、b 的等差中项是 ,等比中项是 6,则双曲线 2- 2=1 的离心率 e 等于 a b 2 ( A. C. 5 2 13 3 B. D. 5 5 或 3 2 13 13 或 3 2 )

?a+b=5 ?a=3 ?a=2 ? ? ? 解析:由题意可得? ,解之得? 或? . ? ? ? ?ab=6 ?b=2 ?b=3

a2+b2 c 13 当 a=3,b=2 时,e= = = ; a a 3 a2+b2 13 c 当 a=2,b=3 时,e= = = . a 2 a 答案:D 5 5.设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 12.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的 6 两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为 x2 y2 A. - =1 16 9 x2 y2 C. - =1 9 16 x2 y2 B. - =1 10 5 x2 y2 D. - =1 5 10 ( )

解析:由已知得,在椭圆 C1 中,a=6,c=5,由此可得在双曲线 C2 中的 a=4,c=5, x2 y2 故双曲线 C2 中的 b=3,故双曲线 C2 的方程为 - =1. 16 9 答案:A 6.如图,有公共左顶点和公共左焦点 F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半 轴的长分别为 a1 和 a2,半焦距分别为 c1 和 c2,且椭圆Ⅱ 的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.则下列结论不正确的是( . A.a1+c1>a2+c2 C.a1c2<a2c1 B.a1-c1=a2-c2 D.a1c2>a2c1 )

解析:由题意知,a1=2a2,c1>2c2,∴a1c2<a2c1. ∴不正确的为 D. 答案:D x2 y2 1 7.设椭圆 2+ 2=1(m>0,n>0)的焦点在抛物线 y2=8x 的准线上,离心率为 ,则椭圆 m n 2 的方程为 ( )
2

x2 y2 A. + =1 12 16 x2 y2 C. + =1 48 64

x2 y2 B. + =1 16 12 x2 y2 D. + =1 64 48

解析:抛物线的准线方程为 x=-2,故椭圆的左焦点坐标为(-2,0),显然椭圆的焦 1 点在 x 轴上,且 c=2,又因为离心率为 ,所以 a=4,故 b2=a2-c2=12. 2 x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 16 12 答案:B x2 y2 8.若直线 mx+ny=4 与圆 O:x2+y2=4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 + 9 4 =1 的交点个数为 A.至多一个 C.1 解析:∵直线与圆没有公共点, ∴ 4 >2,即 m2+n2<4. m +n2
2

( B.2 D.0

)

∴P(m,n)在椭圆的内部 ∴过 P 点的直线与椭圆必有两个公共点. 答案:B 9.若直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交于 A、B 两个不同的点,且 AB 的中点的横坐标 为 2,则 k= A.2 或-1 C.2 B.-1 D.1± 5 ( )

? ?y=kx-2 解析:由? 2 ,消去 y 得 k2x2-4(k+2)x+4=0, ?y =8x ?

故 ?=16(k+2)2-16k2=64(1+k)>0,解得 k>-1. 4(k+2) =4,解之得 k=2 或 k=-1(舍). 又 x1+x2= k2 答案:C y2 x2 10.(2010·宁德摸拟)已知抛物线 x2=2py(p>0)的焦点 F 恰好是双曲线 2- 2=1 的一个焦 a b 点,且两条曲线交点的连线过点 F,则该双曲线的离心率为 A. 2 C.1+ 2 B.1± 2 D.无法确定 ( )

3

p 解析:由题意知 =c,根据圆锥曲线图象的对称性,两条曲线交点的连线垂直于 y 轴, 2 2b2 对双曲线来说,这两个交点连线的长度是 ,对抛物线来说,这两个交点连线的长度 a 2b2 是 2p, 4c, 即 得 =4c, b2=2ac, c2-a2=2ac, e2-2e-1=0, 得 得 得 解得 e=1± 2, a 因为 e >1,所以 e=1+ 2. 答案:C x2 y2 11.(2010·温州摸拟)在平面直角坐标系 xOy 中,过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 a b F 作圆 x2+y2=a2 的一条切线(切点为 T)交双曲线的右支于点 P,若 M 为 FP 的中点, 则|OM|-|MT|等于 A.b-a a+b C. 2 B.a-b D.a+b ( )

解析:如图,F′是双曲线的右焦点,由双曲线的定义得,|PF|-|PF′|=2a.又 M 为 PF 的中点,∴|MF|-|OM|=a, 即|OM|=|MF|-a. 又直线 PF 与圆相切, ∴|FT|= OF2-OT2=b, ∴|OM|-|MT|=|MF|-a-(|MF|-|FT|) =|FT|-a=b-a. 答案:A 12.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B(如图所示),交其准线 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 ( )

A.y2=9x C.y2=3x

B.y2=6x D.y2= 3x

4

解析:点 F 到抛物线准线的距离为 p,又由|BC|=2|BF|得点 B 到准线的距离为|BF|, 则 |BF| 1 = , 与准线夹角为 30°, ∴l |BC| 2

则直线 l 的倾斜角为 60°.由|AF|=3,如图作 AH⊥HC, EF⊥AH,垂足分别为 H、E,则 AE=3-p, 3-p 3 则 cos60°= ,故 p= . 3 2 ∴抛物线方程为 y2=3x. 答案:C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中横线上. x2 y2 13.(2009·杭州模拟)直线 x+2y-2=0 经过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶 a b 点,则该椭圆的离心率等于________. 解析:直线过点(2,0)和(0,1),即为椭圆的一个焦点和一个顶点,又 a>b>0,∴焦点在 x 轴上, 2 5 ∴c=2,b=1,a= 22+12= 5,∴e= . 5 2 5 答案: 5 x2 y2 14.(2009·湖南高考)过双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆 x2+y2=a2 的 a b 两条切线,切点分别为 A,B.若∠AOB=120°(O 是坐标原点),则双曲线 C 的离心率 为________. 解析:∵∠AOB=120°,∴∠AOF=60°. 在 Rt△OAF 中,|OA|=a,|OF|=c, c |OF| 1 ∴e= = = =2. a |OA| cos60° 答案:2 15.抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 的距离的最小值等于________. 解析:由抛物线的方程,可设抛物线上点的坐标为(x,-x2),根据点到直线的距离 公式得 |4x+3(-x2)-8| 3 2 4 2 4 d= = (x- )2+ ,所以当 x= 时,d 取得最小值 . 2 2 5 3 3 3 3 4 +3 4 答案: 3 x2 y2 16.已知双曲线 - =1 的右焦点为 F,点 A(9,2),试在双曲线上求一点 M,使|MA|+ 9 16

5

3 |MF|的值最小,那么这个最小值是________. 5 3 5 解析:由已知, 与双曲线的离心率 互为倒数. 5 3 |MF| 3 3 因而 |MF|= =d(d 为点 M 到相应准线的距离),所以求|MA|+ |MF|的最小值,即 e 5 5 求|MA|+d 的最小值.作右准线 l,作 MN⊥l 于 N,AA′⊥l 于 A′. x2 y2 5 |MF| 5 由 - =1,可知 e= ,∴ = , 9 16 3 |MN| 3 3 ∴|MA|+ |MF|=|MA|+|MN|≥|AA′|, 5 因此,当 A,M,N 三点共线时,|MA|+|MN|最小,M 为 AA′与双曲线右支的交点, 3 M( 5,2), 2 a2 9 36 3 ∴|MA|+ |MF|的最小值为 9- =9- = . c 5 5 5 36 答案: 5 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 4 17.(本小题满分 10 分)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为 ,F1、 5 π F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上有一点 P,∠F1PF2= ,且△PF1F2 的面积为 3 3 3,求椭圆的方程. x2 y2 解:设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0),F1(-c,0)、F2(c,0). a b 因为点 P 在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a. 在△PF1F2 中,由余弦定理,得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos =(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|, 即 4c2=4a2-3|PF1|·|PF2|. 1 π 又因 S△PF1F2=3 3,所以 |PF1|·|PF2|sin =3 3,得|PF1|·|PF2|=12. 2 3 所以 4c2=4a2-36,得 b2=9,即 b=3. c 4 25 又 e= = ,故 a2= b2=25, a 5 9 x2 y2 所以所求椭圆的方程为 + =1. 25 9 18.(本小题满分 12 分)已知点(x,y)在曲线 C 上,将此点的纵坐标变为原来的 2 倍,对 π 3

6

应的横坐标不变,得到的点满足方程 x2+y2=8;定点 M(2,1),平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0),直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两个不同点. (1)求曲线 C 的方程; (2)求 m 的取值范围. 解:(1)在曲线 C 上任取一个动点 P(x,y), 则点(x,2y)在圆 x2+y2=8 上. 所以有 x2+(2y)2=8. x2 y2 整理得曲线 C 的方程为 + =1. 8 2 (2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m, 1 又 kOM= , 2 1 ∴直线 l 的方程为 y= x+m. 2

?y=2x+m, 由? x y ? 8 + 2 =1.
2 2

1

得 x2+2mx+2m2-4=0

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点, ∴?=(2m)2-4(2m2-4)>0, 解得-2<m<2 且 m≠0. ∴m 的取值范围是-2<m<0 或 0<m<2. 19.(本小题满分 12 分)已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动点, 1 1 作 PQ⊥l,垂足为 Q,且( PC + PC )·( PC - PQ )=0. 2 2 (1)问点 P 在什么曲线上?并求出该曲线的方程; (2)若 EF 为圆 N:x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求 PE · PF 的最大值. 解:(1)设 P(x,y),则 Q(8,y). 1 1 由( PC + PQ )·( PC - PQ )=0 得: 2 2 1 | PC |2- | PQ |2=0, 4 1 x2 y2 即(x-2)2+y2- (x-8)2=0,化简得 + =1. 4 16 12 x2 y2 所以点 P 在椭圆上,其方程为 + =1. 16 12 (2) PE · PF =( NE - NP )·( NF - NP ) =(- NF - NP )·( NF - NP )
7

=(- NP )2- NF 2= NP 2-1, x2 y2 P 是椭圆 + =1 上的任一点,设 P(x0,y0),则有 16 12
2 2 4y2 x0 y0 0 2 + =1,即 x0=16- . 16 12 3

1 1 又 N(0,1),所以 NP 2=x2+(y0-1)2=- y2-2y0+17=- (y0+3)2+20, 0 3 0 3 因为 y0∈[-2 3,2 3],所以当 y0=-3 时, NP 2 取最大值 20,故 PE · PF 的最大 值为 19. x2 y2 6 20.(本小题满分 12 分)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(0,2),离心率 e= . a b 3 (1)求椭圆的方程; (2)直线 l:y=kx-2(k≠0)与椭圆相交于不同的两点 M、N,且满足 MP = PN ,

AP · MN =0,求直线 l 的方程.
解:(1)设 c= a2-b2,依题意

?b=2, ? ? ?b=2, 得? c 即? 2 a2-b2 6 2 2 ? ?6a =9a -9b , ?e=a= a = 3 , ?
x2 y2 ∴a2=3b2=12,即椭圆方程为 + =1. 12 4 (2)∵ MP = PN , AP · MN =0,∴AP⊥MN,

?y=kx-2, ? 且点 P 是线段 MN 的中点,由? x2 y2 ?12+ 4 =1 ?
消去 y 得 x2+3(kx-2)2=12, 即(1+3k2)x2-12kx=0,(*) 由 k≠0,得方程(*)中 ?=(-12k)2=144k2>0,显然方程(*)有两个不相等的实数根. 设 M(x1,y1)、N(x2,y2),线段 MN 的中点 P(x0,y0), x1+x2 12k 6k 则 x1+x2= ,∴x0= = . 2 1+3k2 1+3k2 6k2-2(1+3k2) -2 ∴y0=kx0-2= = , 2 1+3k 1+3k2

? 6k , -2 ?. 即 P? ? ?1+3k2 1+3k2?
∵k≠0,∴直线 AP 的斜率为

8

-2 -2 1+3k2 -2-2(1+3k2) k1= = . 6k 6k 2 1+3k -2-2(1+3k2) 由 MN⊥AP,得 ·k=-1, 6k ∴2+2+6k2=6,解得 k=± 故直线方程为 y=± 3 x-2. 3 3 , 3

21.(本小题满分 12 分)抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A、B 两点,且|AB|= (1)求抛物线的方程; (2)在 x 轴上是否存在一点 C,使△ABC 为正三角形?若存在,求出 C 点的坐标;若 不存在,请说明理由. 解:(1)设所求抛物线的方程为 y2=2px(p>0),
?y2=2px, ? 由? 消去 y,得 x2-2(1+p)x+1=0, ? ?x+y-1=0,

8 6 . 11

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=2(1+p),x1·x2=1. ∵|AB|= 8 6 , 11 8 6 , 11

∴ (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=

2 24 ∴121p2+242p-48=0.∴p= 或- (舍). 11 11 4 ∴抛物线的方程为 y2= x. 11 13 2 (2)设 AB 的中点为 D,则 D( ,- ). 11 11 假设 x 轴上存在满足条件的点 C(x0,0), ∵△ABC 为正三角形,∴CD⊥AB,∴kCD=1, 15 15 2 2 . ∴x0= .∴C( ,0),∴|CD|= 11 11 11 又∵|CD|= 3 12 2 |AB|= ,故矛盾, 2 11

∴x 轴上不存在点 C,使△ABC 为正三角形.

9

x2 y2 22.(本小题满分 12 分)(2010·启东模拟)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),直线 l 为圆 O: a b x2+y2=b2 的一条切线,且经过椭圆 C 的右焦点,记椭圆 C 的离心率为 e. π (1)若直线 l 的倾斜角为 ,求 e 的值; 6 (2)是否存在这样的 e,使得原点 O 关于直线 l 的对称点恰好在椭圆 C 上?若存在,请 求出 e 的值;若不存在,请说明理由. π 解: (1)设椭圆 C 的右焦点为(c,0), c= a2-b2, 则 所以直线 l 的方程为 y=(x-c)×tan , 6 |-c| 即 x- 3y-c=0.因为直线 l 与圆 O 相切,所以圆心 O 到直线 l 的距离 =b,即 b 2 1 = c. 2 5 c 2 所以 a2=b2+c2= c2,从而离心率 e= = 5. 4 a 5 (2)假设存在满足条件的 e.显然直线 l 的斜率不为 0, 不妨设直线 l 的方程为 x=my+c, 即 x-my-c=0. 因为直线 l 与圆 O 相切,所以圆心 O 到直线 l 的距离 设原点 O 关于直线 l 的对称点为点 O′(x0,y0),则 |-c| c2 =b,即 m2= 2-1.① b 1+m2

?x =-m ?x y ? 2 =m 2 +c
0 0 0

y0

?x =m +1 ,解得? 2mc ?y =-m +1
0 2 0 2

2c



2 x2 y0 0 因为点 O′在椭圆 C 上,所以 2+ 2=1, a b

4c2 4m2c2 + 2 2 =1. 即 2 2 a (m +1)2 b (m +1)2 将①代入②,化简得 b2=3c2,由①可得, c2 2 此时 m2= 2-1=- ,不成立. b 3 故不存在符合条件的 e.



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