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2009-2015年江苏省数学竞赛初赛试题(原题+详解)


2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) http://www.mathedu.cn 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= .

2. 已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55, 去掉一项 ak 后, 余下 10 项的算术平均值为 4. 若 a1=-5, 则 k= . 3.设一个椭圆

的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e= 3x+1 1 4.已知 x = - ,则实数 x= 9 -1 3-31 x . .
A

5.如图,在四面体 ABCD 中,P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点,且 BP=2PC,CQ =2QD.R 为棱 AD 的中点,则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为 6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)?0 的 x 的取值范围是 .
B

R D Q P C



7 .右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm3 的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高 分别长 20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存 水 cm3. .

→ → 8.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则 BC · AO =

9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,?),a2009= 2,则此数列的前 2009 项的和为 . .

10.设 a 是整数,0?b<1.若 a2=2b(a+b),则 b=

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) http://www.mathedu.cn x2 y2 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x-2y+4=0 与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,F 是椭圆的左焦点.求以 O, 9 4 F,A,B 为顶点的四边形的面积.

12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC =14,AD=7,AB=28,CE=12.求 BC.
A D

C

E

B

13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围.

14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数,请予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数?请证明你的结 论.

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
(2009 年 5 月 3 日 8∶00-10∶00)
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) http://www.mathedu.cn 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= .填 0.

解:由于|sinα|?1,|cosβ|?1,现 sinαcosβ=1,故 sinα=1,cosβ=1 或 sinα=-1,cosβ=-1, π π π ∴ α=2kπ+ ,β=2lπ 或 α=2kπ- ,β=2lπ+π?α+β=2(k+l)π+ (k,l∈Z). 2 2 2 ∴ cos(α+β)=0. 2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1=-5,则 k= .填 11. 解:设公差为 d,则得 1 55=-5×11+ ×11×10d?55d=110?d=2. 2 ak=55-4×10=15=-5+2(k-1)?k=11. 3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e= 解:由(2b)2=2c×2a?a2-c2=ac?e2+e-1=0?e= 3x+1 1 4.已知 x = - ,则实数 x= 9 -1 3-31 x -1+ 5 . 2 -1+ 5 .填 . 2

.填 1.

1 3x 解:即 x = x ?32x-4×3x+3=0?3x=1(舍去),3x=3?x=1. 3 -1 3(3 -1) 5.如图,在四面体 ABCD 中,P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点,且 BP=2PC,CQ=2QD.R 为棱 AD 的 中点,则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为 1 .填 . 4
A

解: A、 B 到平面 PQR 的距离分别为三棱锥 APQR 与 BPQR 的以三角形 PQR 为底的高.故其比值等于这两个三棱锥的体积比. 1 1 1 1 1 1 1 VAPQR= VAPQD= × VAPCD= × × VABCD= VABCD; 2 2 3 2 3 3 18 1 2 1 4 又,SBPQ=SBCD-SBDQ-SCPQ=(1- - × )SBCD= SBCD, 3 3 3 9 4 1 4 4 VRBPQ= VRBCD= × VABCD= VABCD. 9 2 9 18 ∴ A、B 到平面 PQR 的距离的比=1∶4. 又,可以求出平面 PQR 与 AB 的交点来求此比值: 在面 BCD 内,延长 PQ、BD 交于点 M,则 M 为面 PQR 与棱 BD 的交点. BM DQ CP DQ 1 CP 1 BM 由 Menelaus 定理知, · · =1,而 = , = ,故 =4. MD QC PB QC 2 PB 2 MD 在面 ABD 内,作射线 MR 交 AB 于点 N,则 N 为面 PQR 与 AB 的交点.
B B

R D Q P C

A N R D M Q P C

BM DR AN BM DR AN 1 由 Menelaus 定理知, · · =1,而 =4, =1,故 = . MD RA NB MD RA NB 4 ∴ A、B 到平面 PQR 的距离的比=1∶4. 6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)?0 的 x 的取值范围是 解:定义域(0,4].在定义域内 f(x)单调增,且 f(3)=0.故 f(x)?0 的 x 的取值范围为[3,4]. 7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、 体积为 3000cm3 的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的 长、宽、高分别长 20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的存水,则净水水 箱中最少可以存水 cm3.填 78000. .填[3,4].

解:设净水器的长、高分别为 x,ycm,则 xy=300, V=30(20+x)(60+y)=30(1200+60x+20y+xy) ?30(1200+2 60x×20y+300)=30(1500+1200)

=30×2700. ∴ 至少可以存水 78000cm3. → → 8.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则 BC · AO = → → → 解:设| AO |=| BO |=| OC |=R.则 → → → → → → → → → BC · AO =( BO + OC )· AO = BO · AO + OC · AO =R2cos(π-2C)+R2cos2B 1 1 1 25 =R2(2sin2C-2sin2B)= (2RsinB)2- (2RsinC)2= (122-132)=- . 2 2 2 2 9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,?),a2009= 2,则此数列的前 2009 项的和为 .填 2008+ 2. 2 ,故 a2008=2- 2,a2007=2- =- 2,a2006=2+ 2,a2005= 2. an+1 2- 2 2
R B O

25 .填- . 2
A R R C

解:若 an+1≠0,则 an=2-

an+1-2 2 2 一般的,若 an≠0,1,2,则 an=2- ,则 an-1= ,a - = ,a - =a + ,故 an-4=an. an+1 an+1-1 n 2 2-an+1 n 3 n 1 于是,
2009 k=1

Σ a =502(a +a +a +a )+a
n 1 2 3 4

2009=502(a2005+a2006+a2007+a2008)+a2009=2008+

2.

10.设 a 是整数,0?b<1.若 a2=2b(a+b),则 b= 解:若 a 为负整数,则 a2>0,2b(a+b)<0,不可能,故 a?0.

.填 0,

3-1 , 3-1. 2

于是 a2=2b(a+b)<2(a+1)?a2-2a-2<0?0?a<1+ 3?a=0,1,2. a=0 时,b=0;

a=1 时,2b2+2b-1=0?b=

3-1 ; 2

a=2 时,b2+2b-2=0?b= 3-1. 说明:本题也可以这样说:求实数 x,使[x]2=2{x}x. 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) http://www.mathedu.cn x2 y2 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x-2y+4=0 与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,F 是椭圆的左焦点.求以 9 4 O,F,A,B 为顶点的四边形的面积.
?4x2+9y2=36, 解:取方程组? 代入得,25y2-64y+28=0. ?x=2y-4.
y B A C F O x

14 此方程的解为 y=2,y= . 25 72 14 即得 B(0,2),A(- , ),又左焦点 F1(- 5,0). 25 25 连 OA 把四边形 AFOB 分成两个三角形. 1 72 1 14 1 得,S= ×2× + × 5× = (72+7 5). 2 25 2 25 25 也可以这样计算面积:

1 1 14 1 直线与 x 轴交于点 C(-4,0).所求面积= ×4×2- ×(4- 5)× = (72+7 5). 2 2 25 25 也可以这样计算面积: 1 14 72 72 14 1 144 14 所求面积= (0×2-0×0+0× -(- )×2+(- )×0-(- 5)× +(- 5)×0-0×0)= ( + 2 25 25 25 25 2 25 25 5)= 1 (72+7 5). 25
C

12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD=∠BCE, AC=14,AD=7,AB=28,CE=12.求 BC. AD AC 解: = ?△ACD∽△ABC?∠ABC=∠ACD=∠BCE. AC AB ∴ CE=BE=12.AE=AB-BE=16. AC2+AE2-CE2 142+162-122 142+28· 4 11 ∴ cosA= = = = . 2AC· AE 2· 14· 16 2· 14· 16 16 11 ∴ BC2=AC2+AB2-2AC· ABcosA=142+282-2· 14· 28· =72· 9?BC=21. 16 13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围. 解法一:显然 k>0.( x+ y)2?k2(2x+y)?(2k2-1)x-2 xy+(k2-1)y?0 对于 x,y>0 恒成立. 令 t= x >0,则得 f(t)=(2k2-1)t2-2t+(k2-1)?0 对一切 t>0 恒成立. y
A D E B

当 2k2-1?0 时,不等式不能恒成立,故 2k2-1>0. 2k4-3k2 k2(2k2-3) 1 1 2 2 此时当 t= 2 时,f(t)取得最小值 2 - 2 +k -1= 2 = . 2k -1 2k -1 2k -1 2k -1 2k2-1 当 2k2-1>0 且 2k2-3?0,即 k? 6 时,不等式恒成立,且当 x=4y>0 时等号成立. 2

∴ k∈[

6 ,+∞). 2 ( x+ y)2 x+2 xy+y = .令 t= 2x+y 2x+y t2+2t+1 1 4t+1 x >0,则 k2? 2 = (1+ 2 ). y 2 2t +1 2t + 1

解法二:显然 k>0,故 k2?

u-1 8u 令 u=4t+1>1,则 t= .只要求 s(u)= 2 的最大值. 4 u -2u+9 8 s(u)= ? 9 u+ -2 2 u 4t+1 1 1 3 =2,于是, (1+ 2 )? (1+2)= . 2 2 2t +1 2 9 u· - 2 u 8

3 6 ∴k2? ,即 k? 时,不等式恒成立(当 x=4y>0 时等号成立). 2 2 4t+1 8t2+4-4t(4t+1) -8t2-4t+4 1 1 又:令 s(t)= 2 ,则 s?(t)= = 2 2 2 2 ,t>0 时有驻点 t= .且在 0<t< 时,s?(t) 2 2 2t +1 (2t +1) (2t +1) 1 1 1 1 3 >0,在 t> 时,s?(t)<0,即 s(t)在 t= 时取得最大值 2,此时有 k2? (1+s( ))= . 2 2 2 2 2 1 解法三:由 Cauchy 不等式,( x+ y)2?( +1)(2x+y). 2 即( x+ y)? 当 k< 6 2x+y对一切正实数 x,y 成立. 2

6 1 3 6 6 6 3 时,取 x= ,y=1,有 x+ y= ,而 k 2x+y=k < × = .即不等式不能恒成立. 2 4 2 2 2 2 2 6 6 时,由于对一切正实数 x,y,都有 x+ y? 2x+y?k 2x+y,故不等式恒成立. 2 2

而当 k? ∴ k∈[

6 ,+∞). 2

14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数,请予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数?请证明你的结 论. 解:对于任意 n∈N*,n2≡0,1(mod 4). 设 a,b 是两个不同的自然数,①若 a≡0(mod 4)或 b≡0(mod 4),或 a≡b≡2(mod 4),均有 ab≡0(mod 4), 此时, ab+10≡2(mod 4), 故 ab+10 不是完全平方数; ② 若 a≡b≡1(mod 4), 或 a≡b≡3(mod 4), 则 ab≡1(mod 4),此时 ab+10≡3(mod 4),故 ab+10 不是完全平方数. 由此知,ab+10 是完全平方数的必要不充分条件是 a≡ / b(mod 4)且 a 与 b 均不能被 4 整除. ⑴ 由上可知,满足要求的三个自然数是可以存在的,例如取 a=2,b=3,c=13,则 2×3+10=42,2× 13+10=62,3×13+10=72. 即 2,3,13 是满足题意的一组自然数. ⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数. 这是因为,任取 4 个不同自然数,若其中有 4 的倍数,则它与其余任一个数的积加 10 后不是完全平方数, 如果这 4 个数都不是 4 的倍数,则它们必有两个数 mod 4 同余,这两个数的积加 10 后不是完全平方数. 故证.

2010 年全国高中数学联赛江苏赛区·初赛
一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分)
x x 1.方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的实数解为

. .

2.函数 y ? sin x ? cos x ( x ? R ) 的单调减区间是 3.在△ ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 AB = 4.函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 1? 在区间 ? 0, 2? 上的最大值是
2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

. ,最小值是 .

5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点, 其中 A ? ? 4,0? 、 B ? ? 6,8? 、 C ? ? 2, 4? ,则 R 的取值范围为 6.设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ?1? 都是关于 x 的奇函数,则函数 .

y ? f ? x ? 在区间 ?0,100? 上至少有

个零点.

7.从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为 .
(第 7 题)

8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中 镀 2 金 2 银的概率是 .

9.在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC ? ? , 且 cos ? ?

10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 10



10.设复数列 ?xn ? 满足 xn ? a ? 1, 0 ,且 xn ?1 ? 则 a 的值是

a xn .若对任意 n ?N* 都有 xn?3 ? xn , xn ? 1



二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分)

???? ? 3 ??? ? 4 ??? ? x2 ? y 2 ? 1 上的三点.若 OM ? OA ? OB , 11.直角坐标系 xOy 中,设 A 、 B 、 M 是椭圆 C : 5 5 4
证明: AB 的中点在椭圆

x2 ? 2 y 2 ? 1 上. 2

12.已知整数列 ?an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次 成等比数列. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 .

13.如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ? AD ,垂足 H . 过点 H 作平行于 CE 的直线,与直线 AC 、 DC 分别交于点 F 、 G . 证明: (1) 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形.

14.求所有正整数 x , y ,使得 x ? 3 y 与 y ? 3x 都是完全平方数.
2 2

参考答案
1、x<0 无解; 当 x ? 0 时,原方程变形为 32x+3x-6=0,解得 3x=2,x=log32. 2、与 f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同, [

k? ? k? ? ? , ? ], k ? Z. 2 4 2 2

3、 AB ? AC ? AB ? BC ? AB ? 16 ,得 AB ? 4 . 4、极小值-4,端点函数值 f(2)=0,f(0)=-2,最小值-4,最大值 0. 8 5 5、画图观察,R 最小时圆与直线段 AC 相切,R 最大时圆过点 B.[ ,10]. 5 6、f(2k-1)=0,k∈Z. 又可作一个函数 f ? x ? 满足问题中的条件,且 f ? x ? 的 一个零点恰为 x ? 2k ? 1 ,k∈Z. 所以至少有 50 个零点. 7、不能有公共端点,最多 4 条,图上知 4 条可以. 8、穷举法,注意可翻转,有 6 种情况,2 金 2 银有两种,概率为 1 . 3

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?2

??? ?

9、4 面为全等的等腰三角形,由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 . 10、由 xn ?1 ?

a 3 xn a xn a xn ? 2 a 2 xn?1 ? xn , xn ?3 ? ? ? 2 xn ? 1 xn ? 2 ? 1 ? a ? 1? xn?1 ? 1 ? a ? a ? 1? xn ? 1

2 2 恒成立,即 a ? a ? 1 xn ? xn ? 1 ? a ? ? 0 . 因为 xn ? a ? 1或 0 ,故 a ? a ? 1 ? 0 ,所以 a ? ?

?

?

1 3 ? i. 2 2

11、解:设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 由 OM ?

x12 x22 +y12=1, +y22=1. 4 4

???? ?

? 4 ??? ? 3 ??? 3 4 3 4 OA ? OB ,得 M(5x1+5x2,5y1+5y2). 5 5

因为 M 是椭圆 C 上一点,所以 3 4 ( x1+ x2)2 5 5 3 4 +( y1+ y2)2=1, 4 5 5 x12 3 x22 4 3 4 x1x2 即 ( +y12)( )2+( +y22)( )2+2( )( )( +y1y2)=1, 4 5 4 5 5 5 4 3 4 3 4 x1x2 得 ( )2+( )2+2( )( )( +y1y2)=1,故 5 5 5 5 4 x1x2 +y1y2=0. 4 x1+x2 y1+y2 又线段 AB 的中点的坐标为 ( , ), 2 2 x1+x2 2 ( ) 2 y1+y2 2 1 x12 1 x22 x1x2 +2( ) = ( +y12)+ ( +y22)+ +y1y2=1, 2 2 2 4 2 4 4 ??????20 分 ???????14 分

???????6 分

所以

x1+x2 y1+y2 x2 从而线段 AB 的中点( , )在椭圆 +2y2=1 上. 2 2 2

12、解:(1) 设数列前 6 项的公差为 d,则 a5=-1+2d,a6=-1+3d,d 为整数.

又 a5,a6,a7 成等比数列,所以(3d-1)2=4(2d-1), 即 9d2-14d+5=0,得 d =1. 当 n?6 时,an =n-4, 由此 a5=1,a6=2,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2, 所以,当 n?5 时,an =2n-5.
?n-4,n?4, ? 故 an =? n-5 ? ?2 , n?5.

???????6 分

???????10 分

(2) 由(1)知,数列 ?an ? 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,? 当 m=1 时等式成立,即 -3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当 m=3 时等式成立,即 -1+0+1=0; 当 m=2、4 时等式不成立;
3

???????15 分

当 m?5 时,amam+1am+2 =23m-12, am +am+1+am+2=2m-5(2 -1)=7×2m-5, 7×2m-5≠23m-12, 所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 . 故所求 m= 1,或 m=3. 13、证明:(1) 由 HG∥CE,得∠BHF=∠BEC, 又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC, ∴ (2) 点 A、B、F、H 共圆; ∴ ∠BAF=∠BHF, E ???????20 分

???????8 分 A

H F B G C

由(1)的结论, 得 ∠BHA=∠BFA, ∵ BE⊥AD, ∴ BF⊥AC, ???????14 分

D

又 AD 是圆的直径,∴CG⊥AC,

由 A、B、C、D 共圆及 A、B、F、H 共圆,∴∠BFG =∠DAB =∠BCG, ∴ B、G、C、F 共圆. ∴ ∠BGC=∠AFB=900, ⊥GC, ∴ 所以四边形 BFCG 是矩形. ∴ BG

???????20 分

14、解:若 x=y,则 x2+3x 是完全平方数. ∵ x2<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2, ∴ x2+3x= (x+1)2,∴ x=y =1. 若 x>y,则 x2<x2+3y<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2. ??????5 分 ∵ x2+3y 是完全平方数,

∴ x2+3y= (x+1)2,得 3y = 2x+1,由此可知 y 是奇数,设 y = 2k+1,则 x=3k+1,k 是正整数. 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4 是完全平方数,且 (2k+2)2=4k2+8k+4<4k2+13k+4<4k2+16k+16= (2k+4)2, ∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2, 得 k=5,从而求得 x=16,y=11. 若 x<y,同 x>y 情形可求得 x=11,y=16. 综上所述,(x,y)= (1,1), (11,16), (16,11). ???????20 分 ???????15 分

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? . .

2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数 m ? 3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 (结果用最简分数表示). 1 4. 已知 cos4? ? ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? ? . 5 5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ??

π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3

为邻边的平行四边形的面积为 . 6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 . 7. 设函数 f ( x) ? x2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * ,则 f [ f (2011)] ? 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 . 10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值是 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围. . . .

12.设 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1,求 b2 ? c 2 的最大值和最小值.

13.如图,P 是 ? ABC 内一点.

1 (1)若 P 是 ? ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 2 1 1 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC , 2 2
证明:P 是 ? ABC 的内心. B 14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数.

A

P

C

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? .答案:-8 基础题,送分题,高考难度 .答案: ?

2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数 m ? 基础题,送分题,高考难度

3 2

3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率 19 是 (结果用最简分数表示).答案: 145 基础题,送分题,高考难度,但需要认真审题,否则很容易有错 4. 已知 cos4? ?

1 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? ? 5

.答案:

4 5

计算量挺大的,要注重计算的方法,对于打酱油的同学有一定难度 π 5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3 为邻边的平行四边形的面积为 .答案: 10 3

可以用特殊法,把向量放在直角坐标系中,很容易可以得出答案 6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 1 n 项和等于 .答案: (8n ? 48) 7 高考难度级别,基础好的同学可以做出来 7. 设函数 f ( x) ? x2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 这是一道高考题 8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * ,则 f [ f (2011)] ? .答案:6 .答案:(0,2)

这也是一道高考题 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 .答案:4 3 还是一道高考题 10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 .答案:3,14,30 这是 2011 年苏州市一模的第十四题。 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围.

1 5 解:设公共点(cosθ,sinθ),代入抛物线方程,得 h ? sin ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 ? (sin ? ? )2 ? 2 4 ? 5 ? 因为 sin ? ?? ?1,1? ,所以 h ? ? ? ,1? 简单,很简单 ? 4 ?
12.设 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1,求 b2 ? c 2 的最大值和最小值. 解:由题意函数图象为开口向上的抛物线,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值只能在闭端点取得, 故有 f (2) ? f (3) ? 1 ,从而 b ? ?5 且 c ? ?3b ? 8 .

若 f ( x) ? 0 有实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,
4 ? ? b?? , ? ? f ( ?2) ? 0, ? 4 ? 2b ? c ? 0, 5 ? ? ? 在区间 ? ?2,2? 有 ? f (2) ? 0, 即 ? 4 ? 2b ? c ? 0, 消去 c,解出 ?b ? ?4, ? ? ?4 ? b ? 4, ? ?4 ? b ? 4, b ? ?2 ? ? 2, ? ? ? 2 ?

即 b ? ?4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 . 若 f ( x) ? 0 无实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,将 c ? ?3b ? 8 代入解得 ?8 ? b ? ?4 . 综上 ?5 ? b ? ?4 . 所以 b2 ? c2 ? b2 ? (?3b ? 8)2 ? 10b2 ? 48b ? 64 ,单调递减 故 (b2 ? c2 )min ? 32,(b2 ? c2 )max ? 74 . 注重分类讨论 13.

这其实是平面几何一个很重要的结论,在一般的平面几何的参考书上都有 14. q q2 证明:设 n0 ? ? ? ,其中 p,q 为互质的正整数,则 n0 ? ? ? 2 . p p 设 k 为任意的正整数,构造 n ? p2 k 2 ? 2qk ? n0 , 则 n ?? ?
p 2 k 2 ? 2qk ? n0 ? ? ? p 2 k 2 ? 2qk ? q2 q ? pk ? ? Q . p2 p

非常非常常规的一道数论题,不需要数论的预备知识 总结:这张试卷大约 90 分以上应该可以出线了。一般说来,出线并不算太难,只要平时基础好,不粗心, 填空题应该可以做满分(笔者错了一个),对于没有进行过竞赛辅导的同学来说,大题的 1、2 两题还是可以 做做的。 尤其提醒一点,大题目不管会不会做,一定要写写,写写总是有分的,而且分很多。比如最后一题,只要 把他设出来,就有 8 分。

2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(70 分) 1、当 x ?[?3,3] 时,函数

f ( x) ?| x3 ? 3x | 的最大值为____________. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2、在 ?ABC 中,已知 AC ? BC ? 12, AC ? BA ? ?4, 则 AC ? ____________.
3、从集合

?3,4,5,6,7,8? 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率为____________.
2

4、已知 a 是实数,方程 x ____________.

? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位),则 | a ? bi | 的值为

x2 y 2 5、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C : ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且倾斜角为锐角的直 12 4
线 l 与双曲线 C 交于 A, B 两点.若 ?FAB 的面积为 8 6、已知 a 是正实数, k 7、在四面体 ____________.

3 ,则直线的斜率为____________.

? alg a 的取值范围是____________.
,

A B C D中 , A B? A C? A D ? DB ? 5

BC ? 3 , CD ? 4

该四面体的体积为

8 、已知等差数列

?an ? 和等比数列 ?bn? 满足: a1 ? b1 ? 3, a2 ? b2 ? 7, a3 ? b3 ?15, a4 ? b4 ? 35,则

an ? bn ? ____________.( n ? N * )

, 71 , 75这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数,则这样的排列有 9、将 27,37,47,48,55
____________种. 10 、三角形的周长为 31 ,三边 a, b, c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组 (a, b, c) 的个数为 ____________. 二、解答题(本题 80 分,每题 20 分) 11、在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,证明: (1) b cos C

? c cos B ? a

(2)

cos A ? cos B ? a?b

2sin 2 c

C 2

12、已知 a, b 为实数, a ? 2 ,函数 (1)求实数 a, b ;

e a f ( x) ?| ln x ? | ?b( x ? 0) .若 f (1) ? e ? 1, f (2) ? ? ln 2 ? 1 . 2 x
f ( x) 的单调区间;

(2)求函数

(3)若实数 c, d 满足 c ? d , cd

? 1,求证: f (c) ? f (d )

13、 如图, 半径为1 的圆 O 上有一定点 M , A 为圆 O 上的动点.在射线 OM 上有一动点 B , AB ? 1, OB ? 1 . 线段 AB 交圆 O 于另一点 C , D 为线段的 OB 中点.求线段 CD 长的取值范围.

14、设是 a, b, c, d 正整数, a, b 是方程 x

2

? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明:存在边长是整数且面积为

ab 的直角三角形.

2012 年全国高中数学联赛江苏赛区试题解析
1. 解:设 g ( x) ? x3 ? 3x, x ?[?3,3]
2 g ?( x)? 3x ? 3? 3 x ( ? 1) x( ?

1)

? g (?1) ? 2 , g (1) ? ?2 , g (3) ? 18 , g (?3) ? ?18 ,根据 g ( x) 的单调性结合绝对值的性质知 f ( x) ? x3 ? 3x 的
最大值为 18 评析:本题主要考查导数与绝对值的有关知识,较基础 ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? 2.解: AC ? BC ? AC ? BA ? 16 , AC ? AC ? 16 ? AC ? 4 评析:本题主要考查向量的有关概念与运算,有一定的灵活性 3.解:考虑取出三数从小到大成数列 当 d =1 时,有 3,4,5;4,5,6;5,6,7;6,7,8 四组 当 d =2 时,有 3,5,7;4,6,8 两组,所以有 6 种情形,
3 从 6 个元素中随机选取 3 个不同的元素共有 C6 ? 20 种情形,故概率为 P ?

6 3 ? 20 10

评析:本题以集合与数列为载体,考查排列组合与概率的知识,本题数据较小,可用枚举法处理,体现文理科 学生的公平性 4. 已知 a ? R ,方程 x2 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实数根是 b ,则 a ? bi 的值为______ 解: b2 ? (4 ? i)b ? 4 ? ai ? 0 即 (b2 ? 4b ? 4) ? (b ? a)i ? 0

?b2 ? 4b ? 4 ? 0 ?a ? 2 ?? ?? ?b ? ?2 ?a ? b ? 0

a ? b i= 2 2

评析:本题全面考查复数的概念与运算和方程等知识 y

5. 解:由题可设斜率为 k ( k >0), 将 y ? kx 代入 C: x2 ? 3 y 2 ? 12 ? 0 得

12 , k 2 x 2 ? 12 (1 ? 3k ) x ? 12 , x ? 1 ? 3k 2 1 S ? ? 4 ? y1 ? y2 ? 4 y1 ? 8 3 ? y12 ? 12 2 12k 2 1 1 ? 12 , k 2 ? 1 ? 3k 2 ? k 2 ? ,? k ? 0,? k ? 2 1 ? 3k 4 2
2 2

2

O B

A F x

评析:本题是解析几何试题、考查双曲线的方程、几何性质、直线方程、三角形面积等知识 检测学生数学的基本素养和运算能力 6. 设为 a 正实数, k ? a lg a ,则 k 的取值范围是_________ 解:两边取对数得 lg k ? (lg a) ? 0 ? k ? 1 ,即 k 的取值范围是
2

A

[ 1?? , )

评析:本题考查指对数运算等知识,较为基础,考查学生的灵活性 7. 在四面体 ABCD 中,AB= AC=AD=DB=5,BC=3,CD =4,该四面体的体积为_____ 解:由平面几何知识知底面三角形为直角三角形,且 A 点在底面上的射影

D B C

1 1 5 3 ?5 3 为三角形的外心所以即为 BD 中点,故 V ? ? ? 3 ? 4 ? 3 2 2 评析:本题是立体几何试题,主要考查空间几何体的性质与几何体的体积的计算

8. 已 知 等 差 数 列 ?an ? 和 等 比 数 列 ?bn ? 满 足 : a1 ? b1 ? 3 , a2 ? b2 ? 7 , a3 ? b3 ? 15 , a4 ? b4 ? 35 , 则

an ? bn ? ________

?a1 ? b1 ? 3 ?a ? d ? b q ? 7 1 ? 1 解:设公差为 d,公比为 q,则 ? 2 ?a1 ? 2d ? b1q ? 15 ?a ? 3d ? b q3 ? 35 1 ? 1
(4)-(3)得 d ? b1q3 ? b1q 2 =20 , (3)-(2)得 d ? b1q 2 ? b1q ? 8

b1q3 ? 2b1q2 ? b1q ? 12

(5)

(1)+(4)得 2a1 ? 3d ? b1q 3 ? b1 ? 38 ,(2)+(3)得 2a1 ? 3d ? b1q2 ? b1q ? 22 两式相减得, b1q3 ? b1 ? b1q 2 ? b1q ? 16 (6)

(5) q 3 ? ? q ? 3, a1 ? 2, d ? 2, b1 ? 1 得 (6) q ? 1 4

an ? 2n, bn ? 3n?1 , an ? bn ? 2n ? 3n?1
评析:本题以等差、等比数列为载体,全面考查学生解方程组和代数推理等运算能力,本题运算要求较高 9. 解:将 7 个数分成 3 类: (1)3 k 的数为 27,48,75,有 3 个 (2)3 k -1 的数为 47,71,有 2 个 (3)3 k +1 的数为 37,55,有 2 个 要使排列的一列数中任意的四个数之和为 3 的倍数,则 7 个位置上第 1 位和第 5 位应排同一类数,第 2 和第 6
3 位排同一类数, 第 3 和第 7 位排同一类数, 且第 4 位必排第 (1) 类共有 3 种排法, 三类数排到三类位置共有 A3
2 2 3 3 种,每一类位置各有 A2 种排法,故共有 3 (A2 )A3 ? 144 种排法。

评析:本题是一个排列组合与数论结合的问题,重点考查学生利用数论中剩余类思想和分类讨论的能力,要求 较高,有较好的区分度 10、 解:

?a ? b ? c ? 3 1 , a , b, c ? Z? , c ? 11 又? a ? b ? , c? c? 15

c 的取值为 11,12,13,14,15 当 c =11 时, ( a, b) 的取值为(9,11)(10,10) 有 2 组 c =12 时, (a, b) 的取值为(7,12)(8,11)(9,10)有 3 组 c =13 时, (a, b) 的取值为(5,13)(6,12)(7,11)(8,10)(9,9)有 5 组 c =14 时, (a, b) 的取值为 (3,14)(4,13)(5,12)(6,11)(7,10)(8,9)有 6 组 c =15 时, (a, b) 的取值为(1,15)(2,14)(3,13)-----(8,8)有 8 组 故满足要求的三元 (a, b, c) 的个数为 24
评析:本题是以三角形为背景的整数问题,考查学生分类讨论和分析问题和解决问题的能力,对学生背景公平 但又有较高的区分度,是一个相等精彩的好题 11、 .在 ? ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,证明:

cos A ? cos B ? (1) b cos C ? c cos B ? a ; ⑵ a?b
证法一:(余弦定理法)

2sin 2 c

C 2

(1) b cos C ? c cos B ? b

a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? c 2 ? b 2 2a 2 ?c ? ?a 2ab 2ac 2a

a 2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a 2 ? cos A ? cos B 2ac 2bc ? (2) a?b a?b ab 2 ? ac 2 ? a 3 ? a 2b ? bc 2 ? b3 2ab ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 2abc(a ? b) 2abc

2sin 2

a 2 ? c 2 ? b2 C 1? 2ab ? a 2 ? b2 ? c 2 2ac 2 ? 1 ? cos C ? ,所以等式成立 ? c c c 2abc

证法二:(正弦定理法) (1)在 ? ABC 中由正弦定理得 b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C ,所以

b cos C ? c cos B ? 2 R sin B cos C ? 2 R sin C cos B ? 2 R sin( B ? C ) ? 2 R sin A ? a
A ? (2)由(1)知 b cos C ? c cos B ? a , 同理有 a c o sC? c c o s 所以 b cos C ? c cos B ? a cos C ? c cos A ? a ? b b

即 c(cos B ? cos A) ? (a ? b)(1 ? cos C) ? (a ? b) ? 2sin 2

C 2

所以

cos A? c o Bs ? a?b

C 2 s i 2n 2 c

评析:本题是三角中解三角形题,主要考查正弦、余弦定理的应用和有关三角变换等知识,较为基础以检测学 生的基本运算能力 12、已知 a , b 为实数, a ? 2 ,函数 f ( x) ? ln x ?

a e ? b( x ? 0) ,若 f (1) ? e ? 1 f (2) ? ? ln 2 ? 1 x 2

(1)求实数 a , b ; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若实数 c, d , 满足 c ? d , cd ? 1 ,求证: f (c) ? f (d )

? f (1) ? a ? b ? e ? 1 ? 解:(1) ? a e ? f (2) ? ln 2 ? ? b ? ? ln 2 ? 1 2 2 ?
? a ? 1 ? ln 2 ?

a a a e ? ? ln 2 ? ? b ? ? 1 ? a ? e, b ? 1 2 2 2 2 a ?1 x

(2) f ( x) ? ln x ? 设 g ( x) ? ln x ?

1 e ? ? 0 , g ( x) 在 (0, ??) 上递增 x x2 e ? g (e) ? 0 ,? 0 ? x ? e 时, g ( x) ? 0 f ( x) ? ln x ? ? 1 , f ( x) 在 (0, e) 上递减 x e 当 x ? e , g ( x) ? 0 , f ( x) ? ln x ? ? 1 在 (e, ??) 上递增, 即 f ( x) 的减区间为 (0, e) ,增区间为 (e, ??) x a ( x ? 0) x g ?( x) ?
(3) d ? , c ? 1 , f (c) ? ln c ?

1 c

e ?1 c

1 1 c c c f (d ) ? f ( ) ? ln ? ce ? 1 ? ln c ? ce ? 1 ? ln c ? ? 1 ? ln c ? ? 1 ? ln c ? ? 1 ? f (c) ,所以命题成立 c c e e e
评析:本题是一个函数与不等式综合题,主要考查函数的有关性质,绝对值、导数、不等式等知识,属中档题, 作为预赛题有较好的选拔功效 13. 如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M, A 为圆 O 上动点, A 在射线 OM 上有一动点 B,AB=1,OB>1. 线段 AB 交圆 O 于另一点 C,D 为线段 OB 的中点,求线段 CD 长的取值范围 证明: 如图,设 ?AOB ? ? ,? OA ? AB ??OBA ? ? ?BAO ? ? ? 2? ,? OA ? OC ??OCA ? ? ? 2? , 于是 ?BOC ? ? ? 3? ,∵D 为 OB 的中点,? OD ? OA cos ? ? cos ?

O

D

M B

?CD2 ? OC 2 ? OD2 ? 2OCOD cos ?COD ? 1 ? cos2 ? ? 2cos? cos(? ? 3? ) ? 1 ? cos2 ? ? 2cos? cos3?

? 1 ? cos2 ? ? 2cos? (4cos3 ? ? 3cos? ) ? 8cos4 ? ? 5cos2 ? ? 1 ? 8(cos 2 ? ?

5 2 7 ) ? 16 32 ?

又 ?BOC ? ? ? 3? ? ?AOB ? ? , ?OCA ? ? ? 2? ? ?OBA ? ? 得 ? ? 3? ? ? , ? ? 2? ? ?

?
4

?? ?

?
3

14 2 , ) 8 2 评析:本题是一个以平几为背景的题目,它可用三角函数知识转化为二次函数问题来加以处理,考查学生灵活 运用数学知识的能力

1 1 7 1 ?cos2 ? ? ( , ) ,于是 CD2 ?[ , ) 4 2 32 2

? CD ? [

14.

设 a, b, c, d 是正整数, a , b 是方程 x2 ? (d ? c) x ? cd ? 0 的两根,证明:存在边长是正整数且面积为 ab 的 直角三角形。

?a ? b ? d ? c 证明: (命题组提供) 由题设可知, ? ,由于 a, b, c, d 是正整数, ?ab ? cd
则 a ? b, a ? c, b ? c 中任两个数之和大于第三个数,且为正整数,

(c ? a)2 ? (b ? c)2 ? a 2 ? b 2 ? 2c 2 ? 2c(a ? b) ? a 2 ? b 2 ? 2c 2 ? 2c(d ? c) ? a 2 ? b 2 ? 2cd ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? ( a ? b) 2
又 S ? (a ? c)(b ? c) ? (ab ? c(a ? b ? c)) ? (ab ? cd ) ? ab 故存在边长为 a ? c, b ? c,a ? b (均为正整数)的直角三角形( a ? b 为斜边)符合题设要求. 评析:本题为全套试题的压轴题,是一个开放性问题,能很好地考查学生的思维能力和创新能力,难度较高, 试题构思巧妙朴实优美。本题的关键是如何构造一个满足题设要求的三边长为正整数,面积为 ab 的三 角形 上述命题组给出的证明方法,结论是正确的但很不自然,让人感到迷茫,正如美籍匈牙利数学家波利亚所 言:“就像从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人感到意外,根本不具有什么启发性。聪明的学生和聪明 的读者不会满足于只验证推理的各个步骤都是正确的,他们也想知道各个不同步骤的动机和目标。如果最为引 人注目的步骤其动机和目的仍不可理解的话,那么他们在推理和创新方面学不到任何东西。”我们研究一个问 题不仅希望得到一个解答,也希望这个解答是优美的、富有启发性的,更渴望知道这个解答是如何想到的,因 此揭示出问题解决的心理过程和分析探索过程, 对培养学生的解题能力进而提高他们的思维能力和创新能力显

1 2

1 2

1 2

得尤为重要。下面给出笔者的探索尝试过程,供参考 设以正整数 x, y 为直角边的三角形满足要求,则 xy ? 2ab , x 2 ? y 2 为完全平方数

?a ? b ? d ? c 由题设根据韦达定理可知,正整数 a, b, c, d 满足 ? , 又 ?ab ? cd

x2 ? y 2 ? ( x ? y)2 ? 2xy ? ( x ? y)2 ? 4ab ? ( x ? y)2 ? 4cd ,
可尝试猜想
2 2 2 ,则 ( x ? y)2 ? 得 ( x ? y)2 ? 4cd ? (c ? d) (c ? d) ? 4cd ? (c ? d)

x ? y ? c ? d ,又 xy ? 2ab ? 2cd ,利用韦达定理和一元二次方程求根公式结合对称性
不妨设

x?

c ? d ? c 2 ? d 2 ? 6cd c ? d ? c 2 ? d 2 ? 6cd ,y? 2 2 d ? c ? c 2 ? d 2 ? 6cd 2

因为 a , b 是方程 x2 ? (d ? c) x ? cd ? 0 的两根,同样不妨设 a ?

b?

d ? c ? c 2 ? d 2 ? 6cd ,所以 c2 ? d 2 ? 6cd ? d ? 2a ? c 或 c2 ? d 2 ? 6cd ? 2b ? c ? d 2

c ? d ? ( d ? 2a ? c ) ? x? ?c?a ? ? 2 所以得 ? ? y ? c ? d ? ( d ? 2a ? c ) ? d ? a ? b ? c ? 2 ?


c ? d ?( 2 b ? c ? d ) ? x? ? d ?b ? a ?c ? ? 2 ,此时 ? ) ? y ? c ? d ?( 2 b ? c ? d ?b ?c ? 2 ?

x 2 ? y 2 ? (c ? a)2 ? (b ? c)2 ? a 2 ? b 2 ? 2c 2 ? 2c(a ? b) ? a 2 ? b 2 ? 2c 2 ? 2c(d ? c) ? a 2 ? b 2 ? 2cd ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? ( a ? b) 2
这样可得到满足要求的三角形两条直角边为 a ? c, b ? c ,斜边为 a ? b 。

2012-4-21

2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一.填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1.设方程 x ? 2mx ? m ? 1 ? 0 的根大于 ?2 ,且小于 4 ,则实数 m 的范围是
2 2



2.从 6 双不同号码的鞋中取出 4 只,至少配成一双的概率为

. . .

3.设实数 x , y 满足 x2 ? 4x ? y ? 3 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最大值与最小值之差是
*

4.若存在正实数 a , b 满足 (a ? bi)n ? (a ? bi)n ( i 是虚数单位, n ? N ),则 n 的最小值是 5.若三角形 ABC 的三边 AB , BC , AC 成等差数列,则 ? A 的取值范围是
*



6.若数列 ?an ? 满足 a4 ? 9 , (an?1 ? an ?1)(an?1 ? 3an ) ? 0 ( n ? N ),则满足条件的 a1 的所有可能值之积 是 .
2

7.已知 f ( x) ? x ? 94 x ? 2013 ,则

n ?30

? ? f (n) ?

60

f (n) ? ?



8.设 x , y ??0, 2? ? ,且满足 2sin x cos y ? sin x ? cos y ? ?

1 ,则 x ? y 的最大值为 2



9.已知正四面体 ABCD 的棱长为 9,点 P 是面 ABC 上的一个动点,满足 P 到面 DAB 、 DBC 、 DCA 的距 离成等差数列,则 P 到面 DCA 距离的最大值是 . 10.将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数,这个四位数为完全平方数,再过 31 年, 将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数,这个数仍为完全平方数,小王现在的年龄是 . 二.解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分. 11.设 k 为实数, 0 ? k ? 6 ,椭圆 E1 :

( x ? k )2 x2 2 ? y ? 1 与椭圆 E2 : ? y 2 ? 1 交于点 A 和 C , E1 的左顶点 9 9

为 B , E2 的右顶点为 D (如图),若四边形 ABCD 是正方形,求实数 k .

12.如图,梯形 ABCD 中, B 、 D 关于对角线 AC 对称的点分别是 B ' 、 D ' , A 、 C 关于对角线 BD 对称的 点分别是 A ' 、 C ' .证明:四边形 A ' B ' C ' D ' 是梯形.

13.设实数 a , b 满足 0 ? a ?

1 ? b ? 1 .证明: 2(b ? a) ? cos ? a ? cos ? b . 2

14.正 100 边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一.证明:必存在四个同色点,恰为某等腰梯形的顶点.

2014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 (4 月 20 日 8:00 至 10:00)

一.填空题(本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分) 1.若 x ? 2 ,则函数 f ( x ) ? x ?

1 的最小值是 x ?1



2.已知函数 f ( x) ? e x .若 f (a ? b) ? 2 ,则 f (3a) ? f (3b) 的值是



3.已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为前 n 项和,且满足 an 2 ? S2n?1 , n ? N ,则
*

数列 ?an ? 的通项 an

?



4.若函数 f ( x) ? ?

2 ? ?2 x ? 3x, x ? 0, 是奇函数,则实数 a 的值是 2 ? 2 x ? ax , x ? 0 ? ?



5.已知函数 f ( x) ? lg | x ? .

10 | .若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? 5 f ( x) ? 6 ? 0 的实根之和为 m ,则 f ( m) 的值是 3

6.设 ? 、 ? 都是锐角,且 cos ? ?

3 5 , sin(? ? ? ) ? ,则 cos ? 等于 5 5



7.四面体 ABCD 中, AB ? 3 ,CD ? 5 , 异面直线 AB 和 CD 之间的距离为 4, 夹角为 60 , 则四面体 ABCD 的体积为 .
o

8.若满足 ?ABC ?

?
3

, AC ? 3 , BC ? m 的 △ ABC 恰有一解,则实数 m 的取值范围是



9.设集合 S ? ?1, 2,?,8? , A , B 是 S 的两个非空子集,且 A 中的最大数小于 B 中的最小数,则这样的集合 对 ( A, B) 的个数是 .

10.如果正整数 m 可以表示为 x 2 ? 4 y 2 ( x , y ? Z ),那么称 m 为“好数”.问 1,2,3,?,2014 中“好 数”的个数为 .

二.解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)

11.已知 a , b , c 为正实数, a ? b ? c ,
x y z

1 1 1 ? ? ? 0 ,求 abc 的值. x y z

12.已知 F 1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,点 B 的坐标为 (0, b) ,直线 F1B 与双 a 2 b2 1 曲线 C 的两条渐近线分别交于 P , Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M .若 MF2 ? F1F2 , 2
求双曲线 C 的离心率.

13. 如图, 已知 ?ABC 是锐角三角形, 以 AB 为直径的圆交边 AC 于点 D , 交边 AB 上的高 CH 于点 E . 以 AC 为直径的半圆交 BD 的延长线于点 G .求证: AG ? AE .

14.(1)正六边形被 3 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 4 个三角形.将每个三角形区域涂上红、 蓝两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不同.怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三 角形个数的差最大? (2)凸 2016 边形被 2013 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 2014 个三角形.将每个三角形 区域涂上红、栏两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不同.在上述分割并涂色的所有情形中, 红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少?证明你的结论.

2015 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上.) 1.已知点 P(4,1)在函数 f(x)=loga(x-b) (b>0)的图象上,则 ab 的最大值是 .

(a+b)2 解:由题意知,loga(4-b)=1,即 a+b=4,且 a>0,a≠1,b>0,从而 ab? =4, 4 当 a=b=2 时,ab 的最大值是 4. π 43π 2.函数 f(x)= 3sin(2x- )在 x= 处的值是 4 24 .

π 43π π 40π 10π 4π 43π 4π 3 解:2x- = - = = =2π+ ,所以 f( )= 3sin =- . 4 12 4 12 3 3 24 3 2 3.若不等式|ax+1|?3 的解集为{x |-2?x?1},则实数 a 的值是 解:设函数 f(x)=|ax+1|,则 f(-2)= f(1)=3,故 a=2. 4.第一只口袋里有 3 个白球、7 个红球、15 个黄球,第二只口袋里有 10 个白球、6 个红球、9 个黑球,从两 个口袋里各取出一球,取出的球颜色相同的概率是 . .

3×10 30 7×6 42 72 解:有两类情况:同为白球的概率是 = ,同为红球的概率是 = ,所求的概率是 . 625 625 625 25×25 25×25 x2 y2 x2 y2 5.在平面直角坐标系 xOy 中,设焦距为 2c 的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与椭圆 2+ 2=1 有相同的离心率 e,则 e a b b c 的值是 .

2 2 2 2 -1+ 5 c2 c -b c2 b -c 解:若 c>b,则 2= 2 ,得 a=b,矛盾,因此 c<b,且有 2= 2 ,解得 e= . a c a b 2

6.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 B1D 与平面 A1BC1 交于 E 点.记四棱锥 E-ABCD 的体积为 V1 V1,长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 V2,则 的 V2
A1 E D A (第 6 题图) B C D1 C1 B1

值是



解:记四棱锥 B1-ABCD 的体积为 V. 2 如图,DE= DB1, 3 2 1 V1 2 从而 V1= V.又 V= V2,所以 = . 3 3 V2 9
A A1

D1

O B1 E D B (第 6 题图)

C1

C

7.若实数集合 A={31x,65y}与 B={5xy,403}仅有一个公共元素,则集合 A∪B 中所有元素之积的值是 . 解:因为 31x×65y=5xy×403=2015xy.若 xy≠0,则集合 A 和集合 B 中有一组相等,则另一组也必然相等, 这不合题意.所以 xy=0,从而 A∪B 中所有元素之积的值为 0. 8.设向量 a=(cosα,sinα),b=(-sinα,cosα).向量 x1,x2,?,x7 中有 3 个为 a,其余为 b;向量 y1,y2,?, y7 中有 2 个为 a,其余为 b.则 ? xiyi 的可能取值中最小的为
i=1

7



解:因为 a·a=b·b=1,a·b=0,所以 ? xiyi 的最小值为 2.
i=1

7

9.在 3×3 的幻方中填数,使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.如图,三个方格中的数分别为 1,2,2015,则幻方中其余 6 个数之和为 解:如图,设幻方正中间的数为 x,则由题意知
2


1

a=-2012,从而对角线上三个数的和为 x-2011. 因此 b=x-2014,c=-4026,d=-2013,e=x+2014. 2011 由 b+e+x=x-2011,解得 x=- . 2 2011 18099 这 9 个数的和为 3×(- -2011)=- , 2 2 18099 22135 所以幻方中其余 6 个数之和为- -2018=- . 2 2
2015 (第 9 题图) e d a c x 2015 1 2 b

(第 9 题图)

10.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是满足 x?0,y?0,x+y+[x]+[y]?19 的点(x,y)形成的区域(其中[x] 是不超过 x 的最大整数).则区域 D 中整点的个数为 解:区域 D 中整点的个数为 1+2+3+?+10=55. .

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.在等比数列{an}中,a2=2,q 是公比.记 Sn 为{an}的前 n 项和,Tn 为数列{a2 n}的前 n 项和.若 S2n=2Tn, 求 q 的值. 解:若 q=1,则 an=a2=2,a2 n=4,则 S2n=4n,Tn=4n,S2n≠2Tn. 若 q=-1,则 an=2×(-1)n,a2 n=4,则 S2n=0,Tn=4n,S2n≠2Tn. ???????????? 5 分 2 4 2n ×(1-q2n) 2×(1-q ) q q - 2n-4 若 q≠±1,则 an=2qn 2,a2 ,从而 S2n= ,Tn= . n=4q 1-q 1-q2

???????????? 15 分 由 S2n=2Tn,则 -1± 17 4 =1,q2+q-4=0,解得 q= . 2 q(1+q) ???????????? 20 分

-1+ 17 -1- 17 综上,q 的值为 和 . 2 2

12.如图,△ABC 中,AB>AC,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,且 BD=CE.∠BAC 的外角平分线与△ADE 的外接圆交于 A、P 两点. 求证:A、P、B、C 四点共圆.
C

E

D A P B

证明:如图,连结 PD,PE,PC. 因为四边形 APDE 是圆内接四边形, 所以∠PAD=∠PED,∠PAF=∠PDE. 又因为 AP 是∠BAC 的外角平分线, 所以∠PAD=∠PAF, 从而∠PED=∠PDE, 故 PD=PE. 又∠ADP=∠AEP, 所以∠BDP=∠CEP.

C

(第 12 题图)

E

D A F P (第 12 题图) B

???????????? 10 分

又因为 BD=CE,所以△BDP≌△CEP,从而∠PBD=∠PCE,即∠PBA=∠PCA, 所以 A、P、B、C 四点共圆. ???????????? 10 分

13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O1、圆 O2 都与直线 l:y=kx 及 x 轴正半轴相切.若两圆的半径之积 为 2,两圆的一个交点为 P(2,2),求直线 l 的方程. 解:由题意,圆心 O1,O2 都在 x 轴与直线 l 的角平分线上. y 若直线 l 的斜率 k=tanα, α 2t 设 t=tan ,则 k= . 2 1-t2 圆心 O1,O2 在直线 y=tx 上, 可设 O1(m,mt),O2(n,nt). 交点 P(2,2)在第一象限,m,n,t>0. 所以⊙O1:(x-m)2+(y-mt)2=(mt)2, ⊙O1:(x-n)2+(y-nt)2=(nt)2,
?(2-m)2+(2-mt)2=(mt)2, ?m2-(4+4t)m+8=0, 所以? 即? 2 ?????? 8 分 2 2 2 ?(2-n) +(2-nt) =(nt) , ?n -(4+4t)n+8=0, O (第 13 题图) P O2 O1 x l

???????????? 4 分

所以 m,n 是方程 X2-(4+4t)X+8=0 的两根,mn=8. 1 1 由半径的积(mt)(nt)=2,得 t2= ,故 t= .???????????? 16 分 4 2 2t 1 4 4 所以 k= = ,直线 l:y= x. ???????????? 20 分 2= 1 3 3 1-t 1- 4 14.将正十一边形的 k 个顶点染红色,其余顶点染蓝色. (1)当 k=2 时,求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数; (2)k 取何值时,三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少?并说明理由. 解:(1)设正十一边形的顶点 A1,A2,A3,…,A11,则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形. 11-1 以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算: 以 Ai(i=1, 2, 3, …, 11)为顶角顶点的等腰三角形有 2 =5 个,这些三角形均不是等边三角形,即当 j≠i 时,以 Aj 为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角 形. 故所有的等腰三角形共有 5×11=55 个. ???????? 5 分

当 k=2 时,设其中 Am,An 染成红色,其余染成蓝色. 以 Am 为顶角顶点的等腰三角形有 5 个,以 Am 为底角顶点的等腰三角形有 10 个;同时以 Am,An 为顶 点的等腰三角形有 3 个,这些等腰三角形的顶点不同色,且共有(5+10)×2-3=27 个. 注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色,故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有 55-27 =28 个. ?????????? 10 分

(2)若 11 个顶点中 k 个染红色,其余 11-k 个染蓝色.则这些顶点间连线段(边或对角线)中,两端点染 k(k-1) (11-k)(10-k) 红色的有 条,两端点染蓝色的有 条,两端点染一红一蓝的有 k(11-k)条.并且每条连 2 2 线段必属于且仅属于 3 个等腰三角形. 把等腰三角形分 4 类: 设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有 x1 个, 三个顶点均为蓝色的等腰三角 形有 x2 个,两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有 x3 个,两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等 腰三角形有 x4 个,则按顶点颜色计算连线段, k(k-1) 3x1+x3=3× , 2 (11-k)(10-k) 3x2+x4=3× , 2 2x3+2x4=3×k(11-k), ① ② ③

3 由①+②得 3(x1+x2)+x3+x4= [k(k-1)+(11-k)(10-k)], 2 1 1 用③代入得 x1+x2= [ k(k-1)+(11-k)(10-k)-k(11-k)]= (3k2-33k+110). 2 2 1 当 k=5 或 6 时,(x1+x2)min= (5×4+6×5-5×6)=10. 2 即顶点同色的等腰三角形最少有 10 个,此时 k=5 或 6.???? 20 分


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