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2010年全国高中数学联赛试题及详细解析


2010 年全国高中数学联赛
一、填空题(每小题 8 分, 共 64 分, ) 1. 函数 f ( x) ?

x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是

. .

2. 已知函数 y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是

4.函数

f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ? [?1,1] 上的最大值为 8,则它在这个 区间上的最小值是 . 3. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两 颗骰子点数和大于 6 者为胜, 否则轮由另一 人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 4. 正 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条 棱 长 都 相 等 , P 是 CC1 的 中 点 , 二 面 角

B ? A1 P ? B1 ? ? ,则 sin ? ?

. .

5. 方程 x ? y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解( x,y,z )的个数是
[来源:Z+xx+k.Com]

二、解答题(本题满分 56 分)
3 2 9. (16 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1,

试求 a 的最大值.
2 10.(20 分)已知抛物线 y ? 6 x 上 的两个动点 A( x1 , y1 )和B( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x 2 且

x1 ? x2 ? 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的 最大值.

3 11.(20 分)证明:方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r ,且存在唯一的严格递增

正整数数列 {an } ,使得

2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? . 5





2.

( 40 分 ) 设 k 是 给 定 的 正 整 数 , r ? k ?

1 (1) . 记 f (r ) ? f (r ) ? r ?r ? , ? ? 2

f (l ) (r ) ? f ( f (l ?1) (r )), l ? 2 .证明:存在正整数 m ,使得 f ( m ) (r ) 为一个整数.这里, ? x ? ? ?
表示不小于实数 x 的最小整数,例如: ? ? ? 1, ?1? ? 1 . ?? 2

?1? ? ?

3. (50 分)给定整数 n ? 2 ,设正实数 a1 , a2 , ?, an 满足 ak ? 1, k ? 1, 2, ?, n ,记

Ak ?
求证:

a1 ? a2 ? ? ? ak , k ? 1, 2, ? , n . k

? ak ? ? Ak ?
k ?1 k ?1

n

n

n ?1 . 2

[来源:学§科§网]

4. (50 分)一种密码锁的密码设置是在正 n 边形 A A2 ? An 的每个顶点处赋值 0 和 1 1 两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点 的数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置?

一试解答

1.【答案】 [?3, 3] 【解析】 易知 f (x) 的定义域是 ?5,8? , f (x) 在 ?5,8? 上是增函数, 且 从而可知 f (x) 的 值域 为 [?3, 3] .

3. 【答案】 9800 【解析】提示:由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况,设 y ? k (k ? 1,2,?,99) 与双曲线右半支于 Ak ,交直线 x ? 100 于 Bk , 则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 ? k , 从 而在 x 轴上方区域内部整点的个数为

? (99 ? k ) ? 99 ? 49 ? 4851 .
k ?1

99

又 x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为 2 ? 4851 ? 98 ? 9800 .

4. 【答案】

3

3 ?3

【解析】提示 :设 {an } 的公差为 d ,{bn } 的公比为 q ,则

3 ? d ? q,

(1) (2)

3(3 ? 4d ) ? q 2 ,

(1)代入(2)得 9 ? 12d ? d 2 ? 6d ? 9 ,求得 d ? 6, q ? 9 . 从 而 有 3 ? 6(n ? 1) ? log? 9 n?1 ? ? 对 一 切 正 整 数 n 都 成 立 , 即

6n ? 3 ? (n ? 1) log? 9 ? ? 对一切正整数 n 都成立.
从而 log? 9 ? 6,?3 ? ? log? 9 ? ? ,求得

? ? 3 3, ? ? 3 , ? ? ? ? 3 3 ? 3 .

6.【答案】

12 17 21 7 ? ,从而先投掷人 36 12
z A1 C1 B1 P A O C B x y

【解析】提示:同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为 的获胜概率为

7 5 7 5 7 ? ( )2 ? ? ( )4 ? ? ? 12 12 12 12 12 7 1 12 . ? ? ? 25 17 12 1? 144
7. 【答案】

10 4

【解析】提示:解法一:如图,以 AB 所在直线 为 x 轴, 线段 AB 中点 O 为原点,OC 所在直线为 y 轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为 2, 则 B(1,0,0), B1 (1,0,2), A1 (?1,0,2), P(0, 3,1) , 从而,

BA ? (?2,0,2), BP ? (?1, 3,1), B1 A1 ? (?2,0,0), B1 P ? (?1, 3,?1) . 1

设分别与平面 BA P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量是 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 、 n ? ( x2 , y2 , z 2 ) , 1 则

?m ? BA1 ? ?2 x1 ? 2 z1 ? 0, ? ? ?m ? BP ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0, ? ?n ? B1 A1 ? ?2 x2 ? 0, ? ? ?n ? B1 P ? ? x2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 0, ?

在直角 ?PA1O 中, A1O ? PO ? A1 P ? OE ,即

2 ? 3 ? 5 ? OE,? OE ?
6 4 5 . ? 5 5

6 5

.

又 B1O ?

2 ,? B1 E ? B1O 2 ? OE 2 ? 2 ?
B1O 2 10 . ? ? B1 E 4 5 4 5

sin ? ? sin ?B1 EO ?

8. 【答案】336675

【 解 析 】 提 示 : 首 先 易 知 x ? y ? z ? 2010 的 正 整 数 解 的 个 数 为
2 C2009 ? 2009?1004.

[来源:学科网 ZXXK]

9.【解析】 解法一:

? f ?(0) ? c, ? f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c, 由 ? f ?( 1 ) ? 3 a ? b ? c, ? 4 ? 2 ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c ?



1 3a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) . 2

设 z ? 2 x ? 1 ,则 x ?

z ?1 , ?1 ? z ? 1 . 2 z ? 1 3a 2 3a ? 2b 3a h( z ) ? g ( )? z ? z? ? b ? c ? 1. 2 4 2 4

容 易 知 道 当 ? 1 ? z ? 1 时 , 0 ? h( z ) ? 2,0 ? h(? z ) ? 2 . 从 而 当 ? 1 ? z ? 1 时 ,

0?

h( z ) ? h( ? z ) 3a 2 3a ?2 , 即 0? z ? ? b ? c ?1 ? 2 , 2 4 4 3a 3a 8 ? b ? c ? 1 ? 0 , z 2 ? 2 ,由 0 ? z 2 ? 1 知 a ? . 从而 4 4 3

又易知当 f ( x) ?

8 8 3 x ? 4 x 2 ? x ? m( m 为常数) 满足题设条件, 所以 a 最大值为 . 3 3

由(1)知直线 AB 的方程为 y ? y 0 ?

3 ( x ? 2) ,即 y0
(2)

x?
2

y0 ( y ? y0 ) ? 2 . 3

(2)代入 y ? 6 x 得 y 2 ? 2 y0 ( y ? y0 ) ? 12 ,即
2 y 2 ? 2 y0 y ? 2 y0 ? 12 ? 0 .

(3)

依题意, y1 , y2 是方程(3)的两个实根,且 y1 ? y 2 ,所以
2 2 2 ? ? 4 y0 ? 4(2 y0 ?12) ? ?4 y0 ? 48 ? 0 ,

? 2 3 ? y0 ? 2 3 .
y

AB ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2

2

A

? (1 ? (

y0 2 ) )( y1 ? y 2 ) 2 3
O

B

2 y0 ? (1 ? )[(y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] 9

C(5,0)

x

2 y0 2 2 ? (1 ? )(4 y0 ? 4(2 y0 ? 12)) 9

?

2 2 2 (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) . 3

定点 C (5,0) 到线段 AB 的距离
2 h ? CM ? (5 ? 2) 2 ? (0 ? y 0 ) 2 ? 9 ? y 0 .

S ?ABC ?

1 1 2 2 2 AB ? h ? (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) ? 9 ? y 0 2 3

?

1 1 2 2 2 (9 ? y0 )(24 ? 2 y0 )(9 ? y0 ) 3 2
2 2 2 1 1 9 ? y0 ? 24 ? 2 y0 ? 9 ? y0 3 ( ) 3 2 3

?
?

14 7 . 3

解法二:同解法一,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点 C 坐标 为 (5,0) .
[来源:Zxxk.Com]

5 1 2 设 x1 ? t , x2 ? t , t1 ? t 2 , t ? t ? 4 ,则 S ?ABC ? t1 2 2 t2
2 1 2 2 2 1 2 2

0

1

6t1 1 的绝对值, 6t 2 1

1 3 2 2 S ?ABC ? ( (5 6t1 ? 6t12 t 2 ? 6t1t 2 ? 5 6t 2 )) 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 (t1t 2 ? 5) 2 2 2 3 3 14 3 ? (4 ? 2t1t 2 )( t1t 2 ? 5)( t1t 2 ? 5) ? ( ) , 2 2 3 14 2 7 , 当 且 仅 当 (t1 ? t 2 ) 2 ? t1t 2 ? 5 且 t12 ? t 2 ? 4 , 即 所 以 S ?ABC ? 3

t1 ?

7? 5 6

, t2 ? ?

7? 5 6

, A(

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

A(

6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3
所以, ?ABC 面积的最大值是

14 7. 3

二试解答 1. 【解析】 用反证法.若 A,B,D ,C 不四点共圆,设三角形 ABC 的外接圆与 AD 交于 点 E,连接 BE 并延长交直线 AN 于点 Q,连接 CE 并延长交直 线 AM 于点 P,连接 PQ. 因为 PK ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)
2

A

? ? PO 2 ? r 2 ? ? ? KO 2 ? r 2 ? ,
同理
O

QK 2 ? ? QO 2 ? r 2 ? ? ? KO 2 ? r 2 ? ,
所 以
M P

B

EK D

C

Q

PO2 ? PK 2 ? QO2 ? QK 2 ,
故 OK ⊥ PQ . 由题设,OK⊥MN,所以 PQ∥

N

MN,于是

AQ AP ? . QN PM



⑤-④,得

PK 2 ? PE ? PC ? AK ? KE ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O) .
注 2:若点 E 在线段 AD 的延长线上,完全类似.

3. 【解析】 由 0 ? ak ? 1 知,对 1 ? k ? n ? 1 ,有 0 ?

? ai ? k ,
i ?1

k

0?

i ? k ?1

?a

n

i

? n?k .

注意到当 x, y ? 0 时,有 x ? y ? max ?x, y? ,于是对 1 ? k ? n ? 1 ,有

1 n 1 n ?1 1? k ?1 1? k An ? Ak ? ? ? ? ? ai ? ? ai ? ? ai ? ? ? ? ? ai n i ?k ?1 n i ?k ?1 ? n k ? i ?1 ? k n ? i ?1 ?1 n ? max ? ? ai , ? n i ?k ?1


?1 ?1 1? k ? ? ? ? ? ai ? ? max ? (n ? k ), ? k n ? i ?1 ? ?n

k ?1 1? ? ? ? ?k? ? 1? n , ?k n? ?

? ak ? ? Ak ? nAn ? ? Ak
k ?1 k ?1 k ?1

n

n

n

?

? ? An ? Ak ? ? ? An ? Ak
k ?1 k ?1

n ?1

n ?1

n ?1 ? k ? n ?1 . ? ? ?1 ? ? ? 2 n? k ?1 ?

当 n 为奇数时, n ? 2 i ? 0 ,此时
?n? ?2? ? ? i ?0

? n ? 2i ? ? 2 ? ? ? j ?0

?C

2j n ? 2i

? 2n?2i ?1 .



代入①式中,得 4

?

? n ? 2i ? ?n? ?n? ? ? ? 2 ? ?2? ?2? ? ? ? ? ? ? ? 2i 2j ? 2 i n ? 2 i ?1 Cn ? Cn ? 2 i ? ? 4 ? ? Cn 2 ? ? 2? ? Cn2i 2n?2i ? ? j ?0 i ?0 i ?0 ? ? ? ?

[来源:Zxxk.Com]

k k ? ? Cn 2n?k ? ? Cn 2n ?k (?1)k ? (2 ? 1)n ? (2 ? 1)n ? 3n ? 1. k ?0 k ?0

n

n


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