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《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习1-2章课件2-2函数的单调性与最值

时间:2013-03-24


走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章

函 数

第二章





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第二章
第二节 函 的 调 与 值 数 单 性 最

第二章





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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第二章

第二节

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基础梳理导学

第二章

第二节

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重难 点点

引方 领向 (小)值 .

重: 函单性定与大 点 数调的义最 难 : 1函 单 性 证 . 点 . 数调的明 2. 复 函 单 区 . 求合数调间

第二章

第二节

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夯实基础

稳固根基

一、单调性定义 1.单调性定义:设函数f) 的定义域为A,区间M?A, ( x 若对于任意的x1,x2∈M,当x1<x2时,都有f 1)<f(x2),则f) ( x ( x 为区间M上的增函数.对于任意的x1,x2∈M,当x1<x2时, 都有f(x1)>f(x2),则f) 为区间M上的减函数. ( x 2.证明函数的单调性一般从定义入手,也可以用导数证 明.

第二章

第二节

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二、单调性的有关结论 1.若f) ,g) 均为增(减)函数,则f) +g) 仍为增(减) ( x ( x ( x ( x 函数. 2.若f) 为增(减)函数,则-f) 为减(增)函数,如果同 ( x ( x 时有f)0 (> x 1 ,则 为减(增)函数, f?x?为增(减)函数. f?x?

3.互为反函数的两个函数有相同的单调性. 4.y=f() [x g] 是定义在M上的函数,若f) 与g) 的单调 ( x ( x 为增函数;若f) 、g) 的单调 ( x ( x 为减函数.
第二章 第二节

性相同,则其复合函数f() [x g] 性相反,则其复合函数f() [x g]

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5.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同; 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反. 三、函数单调性的应用有: 1.比较函数值或自变量值的大小. 2.求某些函数的值域或最值. 3.解证不等式. 4.作函数图象.

第二章

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四、函数的最大(小)值: 定义:一般地,设函数y=f) 定义域为Ⅰ,如果存在实 ( x 数M满足: () 对任意x∈Ⅰ,都有f) ≤M(或f) ≥M); 1 ( x ( x () 存在x0∈Ⅰ,使得f 0)=M. 2 ( x 称M是函数y=f) 的 大 (或最小)值. ( x 最

第二章

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疑难误区 点拨警示 1.对于函数单调性定义的理解,要注意以下两点: () 函数的单调性是对某一个区间而言的.f) 在区间A与 1 ( x B上都是增(或减)函 , 数 在 A∪B上 一 单 . 不定调 () 单调性是函数在某一区间上的性质,因此定义中的 2 x1,x2在 一 间 具 任 性 不 用 殊 代 . 这区上有意,能特值替 2.在研究函数的单调性时,应先确定函数的定义域. 3.注意f) 在区间A上单调增与f) 的单调增区间为A的 ( x ( x 区别.
第二章 第二节

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思想方法技巧

第二章

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一、复合函数的单调性 对于复合函数y=f() [x g] ,若t=g) 在区间(a,b)上是单 ( x ,g) ( b 或者(() g b ,g) ( a 上

调增(减)函数,且y=f 在区间(() ) ( t g a 是单调函数,那么函数y=f() [x g]

在区间(a,b)上的单调性由

以下表格所示,实施该法则时首先应考虑函数的定义域.

第二章

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t=g) ( x 增 增 减 减

y=f ) ( t 增 减 增 减

y=f() [x g] 增 减 减 增

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二、解题技巧 1.函数单调性的证明方法 () 利用定义证明函数单调性的一般步骤是: 1 ①任取x1、x2∈D,且x1<x2; ②作差f(x1)-f(x2), 适 变 并当形 同号项的和等); ③依据差式的符号确定其增减性. (“分解因式”、配方成

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() 设函数y=f) 在某区间D内可导.如果f 2 ( x f) 在区间D内为增函数;如果f ′()0 ( x x < 减函数. 2.函数最值的求法 () 配方法,() 判 式 , 1 2 别法

′()0 x >

,则

,则f) 在区间D内为 ( x

() 基本不等式法,() 换元 3 4

法,() 数形结合法,() 单调性法,() 导 法 5 6 7 数.

第二章

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3.给出抽象函数关系式,讨论其性质的题目,基本方法 是赋值用定义讨论.如判断单调性,须创造条件判断f(x1)- f?x1? f(x2)的符号或 与1的大小;判断奇偶性须设法产生f(-x) f?x2? 与f) 的关系式等.判断单调性时,若关系式中含有常数,应 ( x 设法利用所给条件,把常数化为函数值的形式. 4.由于定义都是充要性命题,因此若f) 是增(或减)函 ( x 数,则f(x1)f < ( x
2)?x1<x2(或x1>x2).

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考点典例讲练

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求函数的单调区间

[例1] ________.

函数y=lg o

1 2

(-x2-2x+3)的 调 增 间 单递区为

分析:这是对数型复合函数,应先求出函数的定义域, 然后再结合y=lg o 间.
1 2

u为减函数知须求u=-x2-2x+3的减区

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解析:y=lg 1u为单调减函数, o 2 由-x2-2x+30 得-3x1 > << ,

∵u=-x2-2x+3=-(x+1)2+4在(-1,1)上 调 减 单递, ∴y=lg o 1,1)
答案:(-1,1)
1 2

(-x2-2x+3)在(-1,1)上 调 增 故 单递,填

(-

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函 f) =ln(4+3 -x2)的 调 减 间 数( x x 单递区是 3 A.(-∞,2] 3 C.(-1,2] 3 B.[2, ∞) + 3 D.[2,4 )

(

)

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解析:由4+3x-x2>0得,函数f) 的定义域是(-1,4), ( x 3 2 25 3 u) =-x +3x+4=-(x- 2 ) + 4 的减区间为[ 2 ,4), ( x
2

∵e>1,∴函数f) 的 调 区 为 ( x 单减间

3 [ ,4). 2

答案:D

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点评:可用筛选法求解,显然x=±0 时,f) 无意义, 1 0 ( x 排除A、B;f) =ln4,f) =ln6,f)f) ( 0 ( 1 (< 0( 1 , 除 C,故选D. 排

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利用单调性求函数的值域或最值

[例2]

函数f) =ax+lg a(x+1)在[1 ( x o 0] , )

上最值最 的大与

小值之和为a,则a的 为 ( 值 1 A.4 1 B.2

C.2 D.4

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解析:a>1时,f) 在[1 ( x 0] , 值f) ; ( 1 0a1 << f) , ( 0 时,f) 在[1 ( x 0] ,

上为增函数,最小值f) ,最大 ( 0

上减数最值 为函,小

f) ,最大值 ( 1

据题设有:f) +f) =a, ( 0 ( 1 1 即1+a+lg a2=a,∴a=2. o

答案:B

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(文)若 函 奇 数 f) 在 间 [7 ( x 区 3] , 在 间 [-7, 3]上 ( 区 - 是 A. 函 , 有 小 - 增数且最值 B. 函 , 有 大 - 增数且最值 C. 函 , 有 小 - 减数且最值 D. 函 , 有 大 - 减数且最值 )

上增数最值 是函且大为

5, f) 则( x

5 5 5 5

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解析:∵f) 为奇函数,且在[7 ( x 3] , ∴f) 在[-7,-3]上 增 数 ( x 为函, ∵f) 在[7 ( x 3 ,] 上大为 最值

上增数 为函,

5,∴f) =5, ( 7

∴f(-7)=-5. ∴f) 在[-7,-3]上 最 值 - ( x 的小为 5.

答案:A

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(理)01 ( 1· 2

1 x 1 x-1 浙江六校联考)若方程( ) +( ) +a=0有正数 4 2 )

解,则实数a的取值范围是( A.0a1 << C.-2a0 << B.-3a0 << D.-1a0 <<

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解析:令( 2<1 ( <) 0t t

1 2

)x=t<1 ( <) 0t

,原方程可转化为a=-t2- ,

,∵-(t2+2 =-(t+1)2+1<1 ) t 0< ,t ∴-3<-t2-20 ,即-3a0 < t <<

,故选B.

答案:B

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利用单调性解证不等式及比较大小

[例3]

(文)设y1=0.4 ,y2=0.5 ,y3=0.5 ,则( B.y1<y2<y3 D.y1<y3<y2

1 3

1 3

1 4

)

A.y3<y2<y1 C.y2<y3<y1

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1 1 分析:y1与y2有相同指数 ,可视作幂函数y=x 3 ,当x 3

取0.4和0.5时对应的两个函数值,y2和y3有相同底数,可视 1 1 作指数函数y=0.5 当x取 和 时的两个函数值,故可用单调 3 4
x

性求解.

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解析:∵y=0.5 为 函 , 减数
1 3

x

∴0.5 <5 0 .

1 3

1 4



∵y=x 在第一象限内是增函数, ∴0.4 <5 0 .
1 3 1 3

,∴y1<y2<y3,故选B.

答案:B

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(理)已知函数f) 是定义在R上的偶函数,且在区间[0, ( x
? n i +∞)上是增函数.令a=f ?s ? ? ? 2π? 5π? 5π? ? ?o ? ?t ? n 7 ? ,b=f ?cs 7 ? ,c=f ?a 7 ? ,

则(

) A.b<a<c B .c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 分析:比较a、b、c的大小,由于f(x)为 函 , 以 增数所实

2π 5π 5π 质是比较s n i ,cs o 和tn a 的大小,利用诱导公式和单位 7 7 7 圆不难获解.
第二章 第二节

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? n i 解析:由已知得a=f ?s ? ? n i f ?-s ?

? 4π? 5π? ? ?π 5π?? ? ,b=f ?cs ? =f ?s ? - ?? = o i 14? 7 ? ? n ?2 7 ?? ?

? 3π? ? 3π? 5π? ? 2π? ? 2π? ? ?n ? ?t ? ? a ? ?t ? i n n 14? =f ?s 14? ,c=f ?a 7 ? =f ?-tn 7 ? =f ?a 7 ? ,注意

3π 4π 2π π 到0< < = < ,且0s < n i 14 14 7 2

3π < s n i 14

4π 2π =s n i < a tn 14 7

2π ,函 而数 7

f(x)在[0,+∞)上是增函数,因此有b<a<c,选A.

答案:A

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(文)02 ( 1· 2

1 -80 天津文)已知a=2 ,b=( ) . ,c=2g o l 2
2 1 .

52,则

a、b、c的大小关系为( A.c<b<a B .c<a<b C.b<a<c D.b<c<a

)

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解析:本题考查指数、对数值的大小比较. 1 -80 . . a=2 >2 =2,b=( 2 ) . =280 <21=2,b=280 >20=1,c
2 1 . 1

=2g o l

2=lg 522=lg 54o o o <g l 5

55=1,所以c<b<a.

答: A 案

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(理)02 ( 1· 2 则( )

大纲全国理)已知x=lπ ,y=lg 52,z=e n o



1 2



A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x

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解析:∵y=lg 52= o ,z=e o 25 lg ∴y<z<1,又lπ1 n>

1

1 - 2

1 = 且 e<<g 2o l e

25

,∴y<z<x,故选D.

答案:D

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点评:比较两数的大小通常是利用中介值法或函数的单 调性求解.解题时,应注意观察判断数的正负,正数区分大 于1还是小于1,再找出同底数的、同指数的、同真数的,区 别不同情况采用不同函数的单调性或图象与性质进行比较, 有时需要先进行变形再比较.

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已知单调性求参数的值或取值范围

[例4]

(文)函数y=2x2-(a-1)x+3在(-∞,1]内递 ) D.-1

减,在(1,+∞)内递增,则a的值是( A.1 B.3 C.5

分析:二次函数的单调性由对称轴和开口方向确定,由 于开口向上,故在对称轴左侧单调递减,在右侧单调递增, 可得a的值.

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a-1 解析:由题意知 =1,∴a=5. 4

答案:C

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(理)01 ( 1· 2
?-x+3a, ? ? x ?a , ?

福长一月 建泰中考

)函数f(x)= a的取值

x<0, (a>0且a≠1)是R上 减 数 则 的函, x≥0. ) 1 B.[3,1)

范围是( A.(1 0) ,

1 2 C.(0, ] D .(0, ] 3 3

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分析:f(x)在R上 减 数 故 为函,

f(x)=ax(x≥0)为 函 , 减数

可知0<a<1,又由f(x)在R上为减函数可知,f(x)在x<0时的值 恒大于f(x)在x≥0时 值 从 的,而 3a≥1.

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解析:∵f(x)在R上 调 减 单递,
?0<a<1, ? ∴? ?3a≥1. ?

1 ∴ ≤a<. 1 3

答案:B

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a +1 x (文)已 函 知 数 f(x)= 在 间 (-2, ∞)上 增 数 区 + 为函, x+2 则 数 a的 值 围 实 取范是 ____ ____ .

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ax+1 1-2a 1-2a 解析:f(x)= =a+ ,则g(x)= 在(-2, x+2 x+2 x+2 1 +∞)上为增函数,所以1-2a<0,则a>2.

1 答案:( ,+∞) 2

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(理)01 ( 1· 2

湘潭五模)已 函 知数

??a-2?x-1,x≤1 ? f(x)=? ?o ax,x>1 ?lg



若f(x)在(-∞,+∞)上 调 增 则 数 单递,实 ( ) A.(2 B 1) , C.(3 D 2] , .(3 2) , .(2,+∞)

a的取值范围为

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解析:由题可知,函数f(x)在(-∞,+∞)上 调 增 单递,
?a>2, ? 所以? ?o a1≥a-3, ?lg

解得2<a≤3,故选C.

答案:C

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抽象函数的单调性

*[例5]

(理)已 定 在 间 知义区

(0,+∞)上的函数f(x)满足

?x1? f?x ?=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)0 <. ? 2?

() 求f() 的值; 1 1 () 判断f(x)的单调性; 2 () 若f() =-1, 不 式 3 3 解等 f(|x| -2. ) <

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分析:当x1=x2时,由f

?x1? ? ? ?x2?

可产生f(1);欲讨论f(x)单调

?x1? 性,须比较f(x1)-f(x2)与0的大小,即f?x ?与0的大小,为此须 ? 2? ?x1? x1 利用条件x>1时,f(x)0 ,即 > >1时,f ?x ? >0;欲解不等式 x2 ? 2?

f(|x| -2, 考 应 单 性 去 ) < 须虑用调脱

“f”,故须把-2化为函数

?x1? 值,这须由f?x ?=f(x1)-f(x2),赋值产生f(x0)=-2. ? 2?

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解析:() 令x1=x2>0,代入得f() =f(x1)-f(x1)=0,故f() 1 1 1 =0. x1 () 任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则 x >1,由于当x>1 2 2 时,f(x)0 ,所以f <
?x1? ? ? ?x2?

<0,即f(x1)-f(x2)0 ,因此f(x1)<f(x2), <

所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.

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() 3

?x1? ?9? 由f ?x ? =f(x1)-f(x2)得f ?3? =f() 9 ? 2? ? ?

-f() ,而f() =-1,所 3 3

以f() =-2.由于函数f(x)在区间(0,+∞)上 单 递 函 9 是调减 数,所以当x>0时,由f(|x| -2得f(x)<f() , 此 x>9;当x<0 ) < 9 因 时,由f(|x| -2得f(-x)<f() ,因此-x>9,故x<-9.因此不等 ) < 9 式的解集为{x|x>9或x<-9}.

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* 理)已知函数y=f(x)对 意 x、y∈R,均有f(x)+f(y)=f(x ( 任 2 +y),且当x>0时,f(x)0 ,f() =- . < 1 3 () 判断并证明f(x)在R上的单调性; 1 () 求f(x)在[-3] 上的最值. 2 3 ,

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解析:() f(x)在R上 单 递 函 1 是调减数 证明如下: 令x=y=0,∴f() =0,令y=-x可得: 0 f(-x)=-f(x), 在R上任取x1、x2且x1<x2,则x2-x1>0, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1). 又∵x>0时,f(x)0 , < ∴f(x2-x1)0 ,即f(x2)<f(x1). < 由定义可知f(x)在R上 单 递 函 . 为调减数
第二章 第二节

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() ∵f(x)在R上是减函数, 2 ∴f(x)在[-3,3]上 是 函 . 也减数 f() =f() +f() =f() +f() +f() 3 2 1 1 1 1
? 2? =3×?-3?=-2. ? ?

∴f(-3)最大,f() 最小. 3

∴f(-3)=-f() =2. 3 即f(x)在[-3,3]上 大 为 最值 2,最小值为-2.

(注:带*号的题目,难度较大,各校可依据学生的实际 情况选用)

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课堂巩固训练

第二章

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一、选择题 ??a-2?x,x≥2, ? 1.若函数f(x)= ??1?x 2 ??2? -1,x<. ?? ? 数,则实数a的取值范围是( A.(-∞,2 B ) C.(2 0) ,
[答案] B

是R上的单调减函

)

13 .(-∞, 8 ] 13 D.[ ,2) 8

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[解析]

由意知 题可,

< ?a-20 , ? ?1? ? ?a-2?×2≤?2?2-1, ? ? ? ?

13 解得a≤ . 8

第二章

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2.已知f(x)=x+x3,x∈[a,b],且f(a)· > ,则f(x)=0 f(b)0 在[a,b]内( )

A.至少有一实数根 B.至多有一实数根 C.没有实数根 D.有唯一实数根

[答案]

C

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[解析]

∵函数f(x)在[a,b]上是单调增函数,

又f(a),f(b)同号,∴选C.

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3.(文)设a=lg 54,b=(g o o l A.a<c<b C.a<b<c B.b<c<a D.b<a<c

2 o 53) ,c=lg 45,则(

)

[答案]

D

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[解析]

∵1o >g l

>g l 54o

> 530

,∴lg 53o o >g ( l

2 53) >0,而

o 451 ,∴c>a>b. lg >

第二章

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(理)02 ( 1· 2

洛示高联 阳范中考

ln26 )若a= ,b=l2 nl3 n · 4 )

,c=

ln2π 4 ,则a,b,c的大小关系是( A.a>b>c B .c>a>b C.c>b>a D.a>c>b

[答案]

A

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[解析] b=l2< nl3( n ·

∵1n<6 <πn ll

ln2π ln26 ,∴ < ,∴c<a; 4 4

n +l3 2 ln26 l2 n ) = 4 =a; 2 =l49n nn> ll
2

∵4b=423 nn ll

π=4c,∴b>c,故a>b>c.

第二章

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二、填空题 4.偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,且f(x)在[-2,k] 上的最大值点与最小值点横坐标之差为3,则k=________.

[答案]

3

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[解析]

∵偶 数 f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在 函

[0,+∞)上单调递增. 因此,若k≤0,则k-(-2)=k+23 ,若k>0,∵f(x)在 < [-2,0]上 调 在 单减 [0,-k]上单调增,∴最小值为f() ,又在 0 3,∴k-0=3,

[-2,k]上 大 点 最 值 横 标 差 最值与小点坐之为 即k=3.

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