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高中数学选修4-4第二讲课件


高中数学选修 4-4 第二讲课件
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求:
1.坐标系: ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置 的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极

点或圆心在极点的圆)的方程 .通过比 较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系 的意义. 2.参数方程:① 了解参数方程,了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结:

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), 1.伸缩变换:设点 P( x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ? : ? 的作用 ?y? ? ? ? y, (? ? 0). 下,点 P( x, y) 对应到点 P?( x?, y ?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴;再选 定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一 个极坐标系。 3.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径,记为 ? ; 以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? ,? ) . 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 4.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (?? ,? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称,即 (?? ,? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示;同时, 极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。

5.极坐标与直角坐标的

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?sin? ,

x ? ?cos? , y tan? ? ( x ? 0) x

互化:

6。圆的极坐标方程:
-1-

在极坐标系中,以极点为圆心, r 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? r ; 在极坐标系中,以 C (a,0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ;

? 在极坐标系中,以 C (a, ) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ; 2
7.在极坐标系中, ? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线; ? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点的一条直 线. 在极坐标系中,过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a .

8.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函 ? x ? f (t ), 数? 并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M ( x, y) 都在这条曲线上,那 y ? g ( t ), ? 么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

? x ? a ? rcos? , 9.圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . ? y ? b ? rsin? .
椭圆

? x ? acos? , x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . 2 a b ? y ? bsin?.

? x ? 2 px 2 , (t为参数 ) . 抛物线 y 2 ? 2 px 的参数方程可表示为 ? ? y ? 2 pt .
? x ? x o ? tcos ? , 经过点 M O ( xo , yo ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ? ( t 为参数). ? y ? y o ? tsin? .

10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中, 必须使 x, y 的取值范围保持一致. 三、习题练习
1.已知 M ? ? 5,

? ?

??

? ,下列所给出的不能表示此点的坐标的是( ) 3?

A. ? 5,?

? ?

??

2? ? 5? ? ? 4? ? ? ? ? B. ? 5, ? C. ? 5,? ? D. ? ? 5,? ? 3? 3 ? 3 ? ? 3 ? ? ?

2.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是( )

?

?

-2-

A. ? 2,

? ?

??

?? 4? ? ? 4? ? ? ? ? B. ? 2, ? C. ? 2,? ? D. ? 2,? ? 3? 3? 3 ? ? 3 ? ? ?
?? ? ? ? ? 表示的曲线是( ) ?4 ?

3.极坐标方程 ? ? cos?

A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 4.圆 ? ? 2 (cos? ? sin ? ) 的圆心坐标是( ) A. ?1,

?? ? ?? ?1 ? ? ? ? ?? ? B. ? , ? C. ? 2 , ? D. ? 2, ? 4? ? 4? ?2 4? ? ? 4?

5.在极坐标系中,与圆 ? ? 4 sin ? 相切的一条直线方程为( ) A. ? sin ? ? 2 B. ? cos? ? 2 C. ? cos? ? 4 D. ? cos? ? ?4 6、 已知点 A? ? 2,? A、正三角形

? ?

?? ?

3? ? ?, B? 2 , ?, O?0,0? 则 ?ABO 为( ) 2? ? 4 ?
C、锐角等腰三角形 D、直角等腰三角形

B、直角三角形

0 ? ? x ? t sin 40 ? ? y ? ?1 ? t cos 400 7.直线 ? 的倾斜角是(

). D.140°

A.40°

B.50°

C.130°

8、直线 ? ? ? 与 ? cos(? ? ? ) ? 1 的位置关系是( ) A、平行 B、垂直 C、相交不垂直 D、与 有关,不确定

9.两圆 ? ? 2 cos? , ? ? 2 sin ? 的公共部分面积是( ) A.

?
4

?

1 2

B. ? ? 2

C.

? ? ? 1 D. 2 2

10.已知点 P 1 (2 3 , ? , 1 的球坐标是 P A. 2 B. 3 C. 2 2 D.

?
4

) , P2 的柱坐标是 P2 ( 5,? ,1) ,则 P 1P 2 =(

).

2 2

11.直线 y ? 2 x ? 1 的参数方程是( )。
2 ? A. ? x ? t 2

? y ? 2t ? 1

(t 为参数)

? x ? 2t ? 1 B. ? (t 为参数) ? y ? 4t ? 1
-3-

x ? t ?1 C. ? (t 为参数) ? y ? 2 t ? 1 ?
? 1 t

x ? sin ? D. ? (t 为参数) ? y ? 2 sin ? ? 1 ?

x ? t ? (t 为参数)表示的曲线是( )。 12.方程 ? ? ? ? y?2

A.一条直线

B.两条射线

C.一条线段

D.抛物线的一部分

? x ? 2 ? sin 2 ? 13.参数方程 ? ( ? 为参数)化为普通方程是( )。 y ? ? 1 ? cos 2 ? ?
A. 2 x ? y ? 4 ? 0 B. 2 x ? y ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 4 ? 0 , x ? [2,3]

C. 2 x ? y ? 4 ? 0 , x ? [2,3]

14.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中,直线 l: y ? kx ? 2 ? 0 与曲线 C: ? ? 2 cos? 相交,则 k 的取值范围是( )。

A. k ? ?

3 4

B. k ? ?

3 4

C. k ? R

D. k ? R 但 k ? 0

15. 已知过曲线
( )

?

x?3cos? ? ? ? y ?4sin? ? 为参数,0 ? ? ? ? 上一点 P 原点 O 的直线 PO 的倾斜角为 ,则 P 点坐标是 4

A、(3,4)

B、 ( ?

12 12 ,? ) 5 5

C、(-3,-4)

D、 (

12 12 , ) 5 5

16.若圆的方程为 ?

? x ? ?1 ? 2 cos? ? x ? 2t ? 1 ( ? 为参数),直线的方程为 ? (t 为参数), ? y ? 3 ? 2 sin ? ? y ? 6t ? 1

则直线与圆的位置关系是( )。 A. 相交过圆心 B.相交而不过圆心 C.相切 D.相离

1 ? x? ? t 17.参数方程 ? ( t 为参数)所表示的曲线是( )。 1 2 ?y ? t ?1 t ?

y

y

y
-4-

y

0

x

0

x

0

x

0

x

A

B

C

D )

18.若直线的参数方程为 ? A. C.

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t

2 3 3 2

B. ? D. ?

2 3 3 2


19.下列在曲线 ? A. ( , ? 2)

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
B. ( ? , )

1 2

3 1 4 2

C. (2, 3)

D. (1, 3)

2 ? ? x ? 2 ? sin ? (? 为参数) 化为普通方程为( 20.将参数方程 ? 2 ? ? y ? sin ?



A. y ? x ? 2 二.填空题

B. y ? x ? 2

C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3)

D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

?? ?? ? 21.若 A ? ? ? ,则|AB|=___________, S ?AOB ? ___________。(其中 O 是极点) ? 3, ? ,B ? 4, ? 3? 6? ?
22.极点到直线 ? ? cos? ? sin ? ? ? 3 的距离是________ 23.极坐标方程 ? sin 2 ? ? 2 ? cos? ? 0 表示的曲线是_______ 24.直线 l 过点 M 0 ?1,5? ,倾斜角是 _____。 _____。 。

? ,且与直线 x ? y ? 2 3 ? 0 交于 M ,则 MM 0 的长为 3

25.极坐标方程 4 ? sin 2 26.圆心为 C ? 3,

?
2

? 5 化为直角坐标方程是

? ?? ? ,半径为 3 的圆的极坐标方程为 ? 6?
-5-

27.已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? 28.在极坐标系中,点 P ? 2,

?
4

)?

2 ,则极点到直线的距离是 2

? ? 11? ? ? 到直线 ? sin(? ? ) ? 1 的距离等于____________。 6 6 ? ?
?
4
对称的曲线的极坐标方程是________________________。 。 。

29.与曲线 ? cos? ? 1 ? 0 关于 ? ?

30.在同一平面直角坐标系中,直线 x ? 2 y ? 2 变成直线 2 x? ? y ? ? 4 的伸缩变换是

31.在极坐标中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4 cos? 于 A、B 两点,则|AB|=

t ? x ? 2? ? 2 ( t 为参数),则它的斜截式方程为 32.设直线参数方程为 ? ? ?y ? 3 ? 3 t ? 2 ?



33. 直线 ?

? ?x ? 2 ? t (t为参数)被双曲线x 2 ? y 2 ? 1上截得的弦长为________ ? ? y ? 3t

34.直线 ?

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t
? x ? et ? e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________。 t ?t ? ? y ? 2(e ? e )

35.参数方程 ?

36.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t

则 AB ? _______________。

三、解答题:
37. 把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:

⑴?

? x ? 5 cos? ( ? 为参数); ? y ? 4 sin ?

⑵?

? x ? 1 ? 3t ( t 为参数) ? y ? 4t

38.求以椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 16 内一点 A(1,-1)为中点的弦所在直线的方程。)

-6-

39.已知 x、y 满足 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ,求 S ? 3x ? y 的最值。 40. 如图,点 A 在直线 x=5 上移动,等腰△OPA 的顶角∠OPA 为 120°(O,P,A 按顺时针方向排列),求 点 P 的轨迹方程。

y P A

O

x

41. 如图,过抛物线 y 2 ? 2 px ( p >0)的顶点作两条互相垂直的弦 OA、OB。 ⑴设 OA 的斜率为 k,试用 k 表示点 A、B 的坐标; ⑵求弦 AB 中点 M 的轨迹方程。

y A 0 M B x

高二数学选修 4-4 练习题参考答案
一.
题号 答案 题号 答案

选择题
1 A 11 C 2 C 12 B 3 D 13 D 4 A 14 A 5 B 15 D 6 D 16 B 7 B 17 D 8 B 18 D 9 C 19 B 10 A 20 C

二.填空题

-7-

21. 5,6 22. d ?

3 2

?

2 6 。 23. ? ? sin ? ? ? 2 ? cos ? ? 0,即y 2 ? 2 x,它表示抛物线。 2

24. 10 ? 6 3 。25. y 2 ? 5 x ?

25 ?? 2 ? ;26. ? ? 6 cos?? ? ? ;27.. ; 28.. 3 ? 1 ; 4 6? 2 ?

29. ? sin ? ? 1 ? 0

30. ?

? x? ? x ; ? y? ? 4 y

31. 2 3 ;

32. y ? 3x ? 3 ? 2 3 ;

33. 2 10 。

5 34. ? 4

x2 y 2 5 ? ? 1, ( x ? 2) 36. 35. 2 4 16

三.解答题

x2 y2 ? ? 1 ∴曲线是长轴在 x 轴上且为 10,短轴为 8,中心在原点的椭圆。 37.解:⑴ 25 16
⑵ 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 它表示过(0,

4 )和(1, 0)的一条直线。 3

38.解:设以 A(1,-1)为中点的弦所在的直线方程为 y ??1?t sin? ?? 为参数 ? , 把它代入 x2 ? 4 y 2 ? 16 得 (1 ? t cos? )2 ? 4(?1 ? t sin ? )2 ? 16 即 (cos2 ? ? 4sin 2 ? )t 2 ? 2(cos? ? 4sin ? )t ?11 ? 0 ∵弦以 A(1,-1)为中点,∴交点所对应的参数 t1 和 t 2 有: t1 + t 2 =0 ∴?

?

x?1?t cos?

cos ? ? 4sin ? 1 ? 0 ∴ cos ? ? 4sin ? =0,∴ tan ? ? 2 2 cos ? ? 4sin ? 4 1 ( x ? 1) 即 x-4y-5=0 4

∴所求的直线方程为 y ? 1 ?

39. 解:由 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 可知曲线表示以(1,-2)为圆心,半径等于 2 的圆。令 x ? 1 ? 2 cos ?

y ? ?2 ? 2 sin ? ,则

S ? 3x ? y ? 3(1 ? 2 cos? ) ? (?2 ? 2 sin ? ) ? 5 ? 6 cos? ? 2 sin ? ? 5 ? 2 10 sin(? ? ? )
(其中 tan ? ?

6 ? ?3 )∵-1 ? sin(? ? ? ) ? 1 ? 1 ?2
-8-

∴当 sin(? ? ? ) ? 1 时,S 有最大值,为 S max ? 5 ? 2 10 当 sin(? ? ? ) ? ?1 时,S 有最小值,为 S min ? 5 ? 2 10 ∴S 最大值为 S max ? 5 ? 2 10 ;S 最小值为 S min ? 5 ? 2 10 。

40.解:取 O 为极点,x 正半轴为极轴,建立极坐标系,则直线 x=5 的极坐标方程为 ?cos?=5 设 A(?0,?0),P(?,?)
? 点A在直线? cos? ? 5上
? ? 0 cos? 0 ? 5 ?1?

? ?OPA为等腰三角形,且?OPA ? 120? ,而 OP ? ? , OA ? ? 0 以及?POA ? 30?
? ? 0 ? 3?,且? 0 ? ? ? 30? ?2? 3? cos?? ? 30?? ? 5

把<2>代入<1>,得点 P 的轨迹的极坐标方程为: 41.解:⑴.∵依题意可知直线 OA 的斜率存在且不为 0 ∴设直线 OA 的方程为 y ? kx ( k ? 0 )

y A

∴联立方程 ?

? y ? kx 2p 解得 x A ? 2 2 k ? y ? 2 px

yA ?

2p k

0

M B

x

1 ? 1 ?y ? ? x 以 ? 代上式中的 k ,解方程组 ? k k 2 ? ? y ? 2 px
解得 x B ? 2 pk 2

y B ? ?2 pk ∴A(

2p 2p , ),B( 2 pk 2 , ? 2 pk )。 2 k k
1

? 2 ⑵.设 AB 中点 M(x,y),则由中点坐标公式,得 ? x ? p( k 2 ? k ) ? 1 ? y ? p( ? k ) k ?

消去参数 k,得 y 2 ? px ? 2 p 2 ;即为 M 点轨迹的普通方程。

-9-


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