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平面极坐标系在高中物理竞赛中的应用


Vo 1 . 3 5   No . 4  
( 2O1 4)  

物  理

教   师 

第3 5卷 第 4期 
2 01 4生  

P H Y SI C S  T E A C H E R 

平 面极 坐标 系在  高 中  物理 竞赛 中的应 用 <

br />殷 正 徐 
( 江 苏 省 沐 阳高 级 中学 , 江 苏 沐 阳  2 2 3 6 0 0 )   摘  要 :利 用 极 坐标 系 是 解 决 平 面 内绕 定 点 转 动 问题 的“ 通法” . 本 文介 绍 了平 面 极 坐 标 系及 物 体 在 极 坐 标 系 中   的描 述 , 以 竞赛 中 常 见 的 拉 船模 型 、 天 体 运 动和 平 面追 击 问题 为例 , 介 绍 极 坐 标 系 的具 体 应 用 .   关 键 词 :极 坐 标 系 ; 天体运 动; 定轴转动 ; 犬 狼追 击   1 极 坐 标 系 简 介 
为 了描 述 质 点 平 面 运 动 , 可 以 在 该 平 面 建 立 极 坐 标  系, 如图 1 所 示. 在 参 考 系 上 取 点 0, 引有 刻度 的射线 O x   称 为极轴 , 即 构 成 极 坐 标 系. 设 质 点 运动 至 A 点 , 引O A,  

为L . 求: 此 时 船 B 的速 度  及 加 速 度 a   .  

r —O A称 为 质 点 的 矢 径 ; 质 点 位 置 矢 量 与 极 轴 所 夹 的 角  称 为质点的幅角 , 通 常规 定 自极 轴 逆 时针 转 至 位 置 矢 量 的  幅角为正 , 反 之 为 负. r和  与 平 面 上 质 点 的 位 置 一 一 对 
应, 称 为质 点 的极 坐 标 .  

在极坐标 系 中亦 可 对矢 量 进行 正 交分 解. 质 点在 A  
处, 沿 位 置 矢 量 方 向称 为 径 向 , 沿 此 方 向 所 引 单 位 矢 量 叫  径 向单 位 矢 量 , 记作 r ; 与此 方 向 垂直 指 向  增 加 的 方 向 称 

图 3  

解析 : 如图 4 所示 , 以 O点 为极 点 , 水 平 向 左 方 向 建 立 
极坐标系 O x , 小 船 B 的运 动 可 看 成 两 个 分 运 动 的 合 成 : 一 

是 B沿 绳 方 向靠 近 0 点 的 分 运 动 , 即 径 向运 动 ; 另 一 个 是  垂直于 O B绳 方 向 的运 动 , 即横 向运 动 . B 的径 向运 动 应 与  拖 车 的 运 动 有 相 同 大 小 的各 个 运 动 量 .  
A 

为横 向, 沿 此方向的单位矢量叫横向单位矢量 , 记 作 .  

D 

D 

图 1  

图 2  

。 

2 质 点 在 极 坐 标 系 中 运 动 的 描 述 
( 1 )质 点 的 运 动 方 程 : r —r ( f ) ,  一  (   ) .   ( 2 )质 点 的 轨 迹 方 程 : r —r (  ) .  
一  c 。 s   一  , 得  ( 3 )质 点 的 位 置 矢 量 : r —r   r .  

图 4  

将 B 的 运 动 沿 径 向和 横 向 分 解 可 知 ,  
.  

如图 2 , 质 点在  时 间 发 生 一 段 位 移 A r , 速 度 的 变 化 
量 为 △移.  

对加速 度 , 如 图 5所 示 , B 沿 绳 

方 向 的分 运 动 的 加 速 度 a   一   一r  
j2.  
. 

( 4 )质 点 的 速 度 :  一 l i m. A   r —   +  

由两 部 分 组 成 , 其 中 r一  

U 

表 示 物 

其 中径 向速 度  一   一V C O S  ̄ , 横 向速 度  一 r  一 v s i n a ( 。  
为矢 径 方 向 到速 度 方 向 的 角 度 ) .   ( 5 )质 点 的 加 速 度 :  一 l i m  一   +  ,  

体沿径 向运动产生的加速度 , 等 于 沿 
绳 方 向 的加 速 度 a  , 而一r   表示 由  

于矢 径 的 转 动 所 产 生 的 加 速 度 , 与 
2  


图 5  

“ A方 向相 同 , 得 “ , 一Ⅱ ^ +" 7   -一  - + -   其 中径 向加速 度 n   一 r—r   =a c o  ̄, 横 向加 速度  一2   + 

r   =a s i n l( f J 9 为矢 径方 向 到加速 度方 向的角 度 ) .  



。 s i n   0  

( VAt a n O) 。  

— 

一。 一 十 —  ■ 一 ‘  
一  

3 极 坐标 系在 高 中物 理竞 赛 中的应 用 
3 . 1 绕 定 点 转 动 
I r 由矢量运算法则可知 n  一   C O SU
CO SU

- +  ^

L  COSU  

.  

例1 . 如 图 3所 示 , 拖 车 A 在水 平的河 岸上 , 通 过 定 滑  轮 拖 动 河 中 的 船 B, 当拖车 A 的速度达到 7 d  时 , 它 的 加 速 
度为 a n , 此时 O B绳与水平方向的夹角为 0 , B 到 0 的 距 离 


在求 本 题 加 速 度 时 有 一 种 典 型 的错 误 解 法 : 认 为船 B   沿绳 方 向 的 加 速 度 就 是 拖 车 A 的 加 速 度 , 即a   一n  , 得 

94

一  

第3 5卷 第 4 期 
2 Ol 4年  

物  理



师 

Vo 【 . 3 5   NO . 4  
( 2 Ol 4)  

P H Y SI C S  T E A C H E R 



n 

/ c o s 0 . 错 误 原 因 就 是 死 记 拉 船 模 型 中船 速 度 应 该 沿 

由于 图 中   变小 , n变 大 , 故正确答案是 ( A) 选项.   本 题 的常 见 解 法 是 先 根 据 运 动 的 合 成 与 分 解 求 出 小 

绳 和 沿 绳 垂 直 的方 向分 解 的 结 论 , 而 不 清 楚 这 样 分 解 是 依  据 极 坐标 系. 并 且 想 当 然 地认 为 加 速 度 的 分 解 应 该 与 速 度 
相 同, 于 是犯 了 上述 错 误 .  

环 的 速 

然删

 

速 度 公 式  一  一  

A t

求 

例 2 . ( 2 O 1 1年 华 约 第  
2题 ) 如 图 6所 示 , 纸 面 内  两 根 足 够 长 的 杆 AB、 C D  

解. 虽说得出相同结果 , 却 过分 依 赖 数 学 , 缺 少 必 要 的 物 理  过程分析 , 不 利 于 学 生 解 题 能 力 的提 升 .   这 道 题 也 可 以先 求 解 径 向 加 速 度 n   然 后进 行合 成 , 读 
一  
者 可 以试 试 .  

都穿 过 小 环 M , 杆 AB 两 
端 固定 , 杆 C D 可 以在 纸 面 内绕 过 D 点 并 与 纸 面 垂 直 

3 . 2 星 体 绕 中 心 天 体 运 动 

的 固定 轴 转 动 . 若杆 C D 从 
图示 位 置 开 始 , 按照 图中   箭头 所 示 的 方 向 , 以 均 匀  角速 度转 动 , 则 小 环 M 的 
加 速 度 
图 6  

例3 . 已 知行 星 绕太 阳 沿 椭 圆 轨 道 运 动 ( 开 普 勒第 一 定 
律) , 试 证 明行 星 所 受 太 阳 引力 必 定 与距 离 平 方成 反 比 .  

解析 : 行星绕太 阳作椭 圆运 动 时, 在 极 坐 标 系 中其 轨 
迹 方 程 为 

r 一再   P  
( B )逐 渐 减 小 .   ( D )先 减 小 后 增 加 

,  

( 1 )  

( A)逐 渐 增 加 .   ( C )先 增 加 后 减 小 .  

其 中 p为 半 正 焦 弦 、 e 为离心率 , 是 两 个 常量 .   由( 1 ) 式对时间 £ 求导 , 得 


A 轴 与 B l 建 D ,   以 立 所 平 D 成 面 点 角 极 为 度 坐 极 为 标 点   鬈: 系 、 D , . 则   设 为 小 D 极 环 c  \   J l    X _ 『 r l   — — / —     一 - \  
M 的极角为  l I / <  
( 2)  

带 

? ‘   一  

. ?  
, 代人( 2 ) 式 得 
斗2 r  

( 2 ) j  

行 星角 动量 L—r i l l "   为恒 量 ,  一  
m   ‘  

再 次对 时 间 f 求导 , 得 
. . 

e 1 ,   一  ∞ 

.   e l , l , L2   e c o s ( p   。   一  ∞叩 ’   一  ‘  

极 坐标 系 中径 向加 速 度 n  为 
. . 

r  

L  F2 / /2 ' — 一  ≯。 一 7 —
. 

c Os  
‘ —   ~  

L  0  

( 3 )  

(  一 ÷ ) 一  ( ÷ 一 专 一 ÷ ) .  
得 
。  : 一   一  . 一 。一 r2


‘  
. 

( 3)  

根 据 矢 量 的合 成 与 分 解 法 则 得 
whc o s p
一 — —  

根 据 牛 顿第 二定 律 , 行 星 所 受 的径 向力 ( 即引力) 为 
( 4)  
F一 Ⅲn   .   ( 4)  

, 

t a n  L一  

SI N 

其 中一   为 矢 径 r到 速度 的 角 度 .   小 环 M 的 加 速度 n分 解 为 径 向加 速 度 a  和 横 向 加 速 

将( 3 ) 式代 入 ( 4 ) 式 得行 星所 受 太 阳的 引力为 F =-  

’   ?  

对 于固定的行星椭 圆轨 道 , L 和  均 为 常 量 , 故 引 力 
与距 离 平方 成 反 比.   讨 论 引力 问题 选 用 极 坐 标 系 时 原 点 选 在 不 动 的 引 力 

度n   , 只需 求 出两 者 中 的任 意 一 个 就 可 以求 出小 环 M 的 加 

速度. 由极坐标加速度公式 n 一(  一  ) ; +( 2   + )  , 可 
以看 出本 题求 解 a   一2   +r   相 对 简 单.  
由( 4 ) 式 得 
:  


源上 , 运 动 物 体 受 的力 均 通 过 原 点 , 是 有心力 , 在 极 坐 标 中  只 有径 向力 , 没 有 横 向力 . 另外 , 天体 在 万 有 引 力 作 用 下 的  轨 道 是 圆锥 曲 线 , 用极 坐标 系表示 轨迹 形式 统一 简单 , 计 
算比较容易.  



 

里  
. 

( 5)  

由( 3 ) 式 对 时 间 求 导 得 
: 0  

例 4 . ( 第2 8届 复 赛题 ) 如 图 8所 示 , 哈雷 彗 星 绕 太 阳 s  
( 6)  

沿椭 圆轨 道 逆 时针 方 向运 动 , 其 周 期 T为 7 6 . 1 年. 1 9 8 6年 
它 过近 日点 P 。时 与太 阳 S的距 离  一0 . 5 9 0   A U, A U 是 天 

由( 3 ) 、 ( 5 ) 、 ( 6) 式 得 

位, 它 等 于 地 球 与 太 阳 的 平 均 距 离. 经 过一段 时间 , 彗  z  卜 r   一 z ? o 面 2 h c o s c F ? (  + 。 = 一 篡?   文单 星到达轨道上 的 P点 , S P与 S P 0的 夹 角  一 7 2 . 0 。 . 已知 :  
由加 速 度 的合 成 与 分 解 得 
n   2 ( £ ’ 0 h  

l   A U— l _ 5 O× 1 0 “ m, 引 力 常 量 G一 6 . 6 7× 1 0 _ 1  N ?   m2 / k  , 太 阳质 量 似 一 1 . 9 9 ×1 0  k g , 试 求 P 到 太 阳 S的  距离 r P及 彗星 过 P点 时速 度 的 大 小 及 方 向( 用 速 度 方 向 与 
S   的夹 角 表示 ) .  

— 
c。s

( 詈+   )  

■   ~s i n a 9 ∞ 

V o1 .3 5  NO. 4  

物  理

教   师 

第 3 5 卷 第 4期 
2 O1 4年 

( 2 O1 4)  

P H Y SI C S  TE AC H ER 

?

2   1 [  

( 1 2 )  

由( 6 ) 、 ( 1 0 ) 、 ( 1 1 ) 、 ( 1 2 ) 式并代人其他有关数据 , 可 得 
Po  


1 2 7。
. 

解决天体运动问题常用两个守恒 方程 , 即 机 械 能 守 恒 
( 如 8式 ) 和角动量 守恒 ( 如 1 1式 ) , 两 式 中 均 含 有 星 体 运  动半径( 如本题 中 r   ) , 极 坐标系方 程 中正好 包含 此半 径 ,  
图 8  

故可以方便地表示两个守恒方程 , 而 若 应 用 直 角 坐 标 系 来 
表 示 就 很 麻 烦 了.   3 . 3 平 面 内 的追 击 问题 

解析 : 取极 坐 标 , 极 点 位 于 太 阳 S所 在 的焦 点 处 , 由 S   引 向 近 日点 的 射 线 S x为 极 轴 , 极角为 0 , 取逆时针为正 向 ,   用 r 、  表 示 彗 星 的 椭 圆 轨 道 方 程 为 
r一  一  . ‘   ( (1 1) )  

例5 . ( 犬狼追击题) 1只 狼 沿 半 径 为 R 的 圆 形 岛 边 缘  以逆 时 针 方 向匀 速 跑 动 , 如图 1 O所示 , 狼过 A点时 , 1 只 猎  犬 以相 同 的 速 率 从 O 点 出 发 追 击 狼 . 若 追击 过 程 中 , 狼、  
犬、 0点始终在 同一条 直线 上 , 则 猎 犬 是 沿 什 么 轨 迹 运 动 

其中   为 椭 圆偏 心 率 , 户是 过 焦 点 的 半 正 焦 弦 , 若 椭 圆 的 半  长轴为 “ , 根 据 解 析 几何 可 知 
P一 “(1一 P  ) .   ( 2)  

的 ? 在何 处 追 上 了 狼 ?  
解析 : 如图 l l , 以 O A 方向建立极坐 标系 , 设 某 一 时 刻 

将( 2 ) 式代 入( 1 ) 式 得 
一  

猎 犬 和 狼 的 位 置 分 别 为 B 和 c, 猎犬到圆心 O点距离为 r ,  
( 3)  

1+

幅 角 为  , 设 此 时猎 犬 速度 为  , 与 O B方 向 的 夹 角 为 a .  

e c o s  ̄‘  
. 

以 T c表 示 地 球 绕 太 阳 运 动 的 周 期 , 则 T E 一1 . 0 0年 ,  

以“  表示地球到 太阳 的距离 ( 认 为 地 球 绕 太 阳作 圆 周 运 
动) , 则 “ r 一1 . ( ) ( ) AU, 根 据 开 普 勒 第 三 定 律 
6/ 3





 

ⅡE  

TF 。

( 4)  

. 

在 近 日点 口 一0 , 由( 3 ) 式 得 


1一 一 F o
. 

( 5)  

将  、 “ 、  的数 据 代 人 ( 3 ) 式 即 得 
r P一 0 .8 95   AU.   (6 )  

图 1 0  

图 1 1  

由猎 犬 与 狼 绕 。 点 角 速 度 相 同 , 得 
n   s i n a  

可 以证 明 , 彗 星 绕 太 阳作 椭 圆运 动 的机 械 能 
E一 一 — ( f r ? y   l i n S 一  n   ‘  
. 

(7 、 0, )  

一_
由上 式 得 

一  

式 中 m为彗星的质量. 以 r表 示 彗 星 在 P 点 时 速 度 的 大 
U0 '  

小. 根 据 机 械 能 守 恒 定 律 有 
1  

r— 一  u ( ) s i na . ?  

( 1)  

I n V p   2 + ( 一   ) 一  G T i q T n S .  
?

㈦  

上 式 两边 对 时 间求 导 
二 . c . os a  一 d   t —U 0 。 。   X i - ?  
. 

可 得 
r 一  

d a

( 2   ( z  

√ 号 一 丢 .  

c 。  
(1 0)  

猎犬 的 径 向 速 度 为 
一V 一  0   C OS  ̄ .   ( L 3) 3’  

代 入有 关 数 据 得 
P一 4 .3 9× 1 0  1 T I?S ~ .  

由( 2 ) 、 ( 3 ) 式 解 得 
7 90  

一 R 


?  
. 

(   4)  

又 狼 的 角 速 度 为 
一 ∞.   ( 5)  

由( 4 ) 、 ( 5 ) 式得 d a =d   , 积分得 a —  + C . 当f 一0时 , 口 =0 ,  
=0, 所 以 有 
图 9  
a—  .   (6 )  

由( 1 ) 、 ( 6 ) 式得 r —Rs i n 9 .  

设 P 点 速 度 方 向与 极 轴 的夹 角 为  , 彗 星 在 近 日点 的  速 度 为  , 如图9 , 根 据 角 动量 守恒 定 律 有 
r p  P   s i n (  一0 p ) 一r 0   .   ( 1 1 )  

说 明 猎 犬 的 轨 迹 为 圆 周 , 其 圆 心 坐 标 为 (   R , 詈) , 半 径 为  
旦 2 . 当  一 R , 即R — R s i n   时猎犬追上狼, 得  一 要.  

根据 ( 8 ) 式, 同理 可 得 
9 6 一  

综 L, 狼跑过 1 / 4圆后 被 猎 犬 追 上.   猎 犬 追 狼 问题 足 高 中物 理 竞 赛 的 一 个 经 典 例 题 . 该 题  钉很多解法 , 但 有 的 解 法 比较 繁 琐 高 中 学 生  易 理 解 , 有  的解 法 看 似 简 洁 却 不 够 严 密 . 用极 坐标 解决 本题 , 思 路 清 

将   一  ,   一 r 警 代 入   j 二 式 并 化 简 , 得  一 一 d   .  
对上式积分 , 得 r —C c , 其 中 C 为 积分 常数 .  

将初始条件代人上式得 r =Re  .   由上 式 可 以看 出 , 从 A 点 出 发 的 人 的 轨 迹 为 一 对 数 螺  线. 根据 对称 性 , 其 他 3个 人 的 运 动 轨 迹 也 为 同样 的 对 数 
螺线.  

晰, 过 程简洁, 体 现 出 极 坐 标 系 在 解 决 平 面 追 击 类 问 题 的 
优势.   例 6 . 如 图 l 2所 示 , 在 外 接 圆 半 径 为 R 的 正 方 形  AB C D的 4个 顶 点 分 别 站 有 一 个 人 , 这 4个 人 同 时 以 相 同  的速 率 运 动 .   此过程 中 , 从 A 点出发 者的速 度始终 指 向   从 B 点 出发 者 , 从 B 点 出 发 者 的 速 度 始 终 指 向从 (   点 出发  者, 从 ( 、 点f { j 发 者 的 速度 始终 指 向 从 D 点 出 发 者 , 从 D 点  出发 者 的 速 度 始 终 指 向 从 A 点 出 发 者 . 试 求 4个 人 的运 动 
轨迹.  

例 5中物 体 是 从 极 点 出发 , 例 6中 物 体 是 最 终 到 达 极  点, 两个 都 是 平 面 内追 击 问 题 . 此 问 题 初 看 起 来 好 像 无 法  下手 , 然 而 利 用极 坐标 系 中 径 向 速 度 与 横 向速 度 的 大 小 关  系, 不仅 可 以 十 分 方 便 地 解 决 此 问 题 , 而 且物 理 图 像 特 别  清晰. 实 际上 我们 可 以 将 此 问 题 中 的 正 方 形 推 广 ’ 到『 F”边  形 的情 况 下 , 运动者的轨迹为 r —Re ( “   音)  , 其 中 R 为 正  ”边 形 的 外 接 圆 半 径 .   4 结 语 

上 面 6道 例 题 是 物 理 竞 赛 中 的 常 见题 型 , 题L f 1 物 体 的 
共 同点 都 绕 着 某 个 固定 点 运 动 , 应 用 极 坐 标 系 是 解 决 此 类 

问题 的 系 统 方 案 . 最 新 全 国 中 学 生 物 理 竞 赛 内 容 提 要 
( 2 0 1 3年 开 始 实 行 ) 已经 明确 将 极 坐 标 纳 入 考 试 范 围 , 可 见  其重要性和基础性. 除 了增 加 极 坐 标 系 之 外 , 内容 提 要 还  增 加 了初 等 函数 的微 分 和 积 分 , 这 是 非 常 必 要 的— — 没 有  微 积 分 的相 关 数 学 基 础 就 无 法 真 正 应 用 极 坐 标 系.  
图 1   2   图 1 3  

参考文献 :  
1 漆安慎, 杜婵 英 . 力学[ M] . 北 京: 高等 教 育 出 版 社 , 】 9 9 9 .  

解析 : 如图 1 3所 示 , 在某一时 刻, 从 A、 B、 C、 D   4点 出   发的人分别运动到 A   、 B   、 (  、 D   点. 根据对称性可知 , 四边  形 A   B   (   D   为正 方 形 . 以 O A 为极轴建立 坐标 系, 则 A   点  的极坐标为( r ,  ) . 没从 A 点 出 发 的 运 动 者 运 动 到 A   点 时 
0 

2 程稼夫. 中学 奥林 匹克 竞 赛 物 理 教 程 ( 力学篇 ) [ M] . 合肥 : 中 国  科 学 技术 大 学 出版 社 , 2 0 1 2 .   3 舒幼生. 物理 学 难 题 集 萃 ( 增 订本 ) [ M] . 北京 : 高 等 教 育 出 版 
社 , 1   9 9 9   .

的速度为 ( 矢径到速度  方 向的角 度为竿 ) , 径 向速度为 
0 


4 钟小平. 高 中 物理 竞 赛 解 题 方 法 ( 力学部分 ) [ M] . 杭州 : 浙 江 大 
学 出 版社 , 2 0 0 7 .  

n,  

横 向速 度 为 u  , 则 t a n- … 5 - 一  , 得  一 

.  

( 收 稿 日期 : 2 0 1 3 —1 2 —1 4)  

( 上接 第 7 O页)   表 2  

类 比方 法 虽 然 在 科 学 研 究 及 物 理 解 题 中 起 着 非 常 重  要 的作 用 , 但是 , 他也有一定的局 限性. 类 比推 理 是 由特 殊  恒 力 作 用 下 的 功 
W — F 

匀 速 直 线 运 动 中 的位 移 
■ ’ 一 v t  

到 特 殊 或 由一 般 到 一 般 的 推 理 , 是 或然 性推 理 ( 完 全 归 纳 

推理除外) , 因此 , 推理 所得 的结 论 不一 定足 可靠 的.   如 

初 速 为 0的匀 变 速 直 线 运 动 
『 f I 的速 度  一“ f  

均 匀 变化 ( 空间) 的力 
F一 

初 速 为 0的匀 变 速 直 线 运 动  均 匀 变 化 ( 空 间) 的 力 所 
1  

例 2 中 , 地 球 运 动 周 期 与 半 径 的 关 系 为 芸一  , 若 据 此 推   理 , 电 子 绕 原 子 核 的 运 动 , 有 鲁 一  , 这 显 然 是 错 误 的 . 因  
此, 使 用 类 比推 理 的基 础 是 两 类 对 象 具 有 相 同或 相 似 的属  性, 其结论具有某种猜测性 , 是一种 假设 , 类 比 的 过 度 扩 张 
常常导致谬误 , 解 题 中应 谨 防 出现 负迁 移 现象 .   参考文献 :  
1 王溢然, 张耀 久 . 类 比[ M] . 河南 : 大 象 出 版 社 ,1   9 9 3 : 9 3 .  
2   朱 铉 雄. 物理 学方法概论 [ M] .北 京 : 清华大 学出版社,  
2 0 0 8: 3 4 .  

中的位移  一÷ n £  

做 的功

w一  

z  

力一 位 移 图 像 中  面 积 表 示 功 
, 

3   冯 杰 .大 学 物 理 专 题 研 究 [ M] . 北 京: 北 京大 学出版社,  
2 Ol l :2 8 .  

4   叶建柱 , 蔡 志 凌. 物理 教学 中的逻辑 [ M] . 北京 : 科学 出版社 ,  

/  / 
0  f   D 

2 01 3: 1   6 3 .  

( 收 稿 日期 : 2 O 1 3   l 2 —0 6 )  


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