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南京市、盐城市2014届高三年级第二次模拟考试数学试卷(WORD含答案)


南京市 2014 届高三年级第二次模拟考试


注意事项:



2014.03

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试卷满 分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班

级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题 .. 纸 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. . 参考公式: 柱体的体积公式:V=Sh,其中 S 为柱体的底面积,h 为柱体的高. 圆柱的侧面积公式:S 侧=2πRh,其中 R 为圆柱的底面半径,h 为圆柱的高. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位 置上) 1.函数 f(x)=lnx+ 1-x的定义域为 ▲ . ▲ .

2.已知复数 z1=-2+i,z2=a+2i(i 为虚数单位,a∈R).若 z1z2 为实数,则 a 的值为

3.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了 150 分到 450 分之间的 1000 名 学生的成绩,并根据这 1000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[300,350)内的 学生人数共有 ▲ .
a 0.005 0.004 0.003 0.001

频率 组距

成绩/分
150 200 250 300 350 400 450

O

(第 3 题图)

4.盒中有 3 张分别标有 1,2,3 的卡片.从盒中随机抽取一张记下号码后放回,再随机抽取一张记下号 码,则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ . ▲ .
S ←1 S←S+(k-1)2 S >6 Y 输出 k 结束 (第 6 题图) N 开始 k←1

a1 5.已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,且 a1,a3,a7 成等比数列,则 的值为 d 6.执行如图所示的流程图,则输出的 k 的值为 ▲ .

k←k+1

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π 7. 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A, ω, φ 为常数, A>0, ω>0, 0<φ<π)的图象如下图所示, 则 f( )的值为 3
y 2





O π 6 -2

· 11π x 12

x2 y2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=4x 的准线相交于 a b A,B 两点.若△AOB 的面积为 2,则双曲线的离心率为 ▲ . ▲ . ▲ .

(第 7 题图)

9.表面积为 12π 的圆柱,当其体积最大时,该圆柱的底面半径与高的比为

2π → 1 → 1 → → → → → 10. 已知| OA |=1,| OB |=2, ∠AOB= , OC = OA + OB , 则 OA 与 OC 的夹角大小为 3 2 4

11.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(5,3)作直线 l 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,若 OA⊥OB,则 直线 l 的斜率为 ▲ .

12.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x2,当 x>0 时,f(x+1)=f(x)+f(1),且. 若直线 y=kx 与函数 y=f(x)的图象恰有 5 个不同的公共点,则实数 k 的值为 ▲ . ▲ .

13. 在△ABC 中, 点 D 在边 BC 上, 且 DC=2BD, AB∶AD∶AC=3∶k∶1, 则实数 k 的取值范围为

14.设函数 f(x)=ax+sinx+cosx.若函数 f(x)的图象上存在不同的两点 A,B,使得曲线 y=f(x)在点 A,B 处的切线互相垂直,则实数 a 的取值范围为 ▲ .

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.(0,1] 8. 5 2.4 1 9. 2 3.300 10.60° 5 4. 9 11.1 或 7 23 5.2 12.2 2-2 6.4 5 7 13.( , ) 3 3 7.1 14.[-1,1]

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写 在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PAB⊥平面 ABCD,PA⊥PB, BP=BC,E 为 PC 的中点. (1)求证:AP∥平面 BDE; (2)求证:BE⊥平面 PAC. 15.证: (1)设 AC∩BD=O,连结 OE.
B C (第 15 题图) E A D P

因为 ABCD 为矩形,所以 O 是 AC 的中点.
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因为 E 是 PC 中点,所以 OE∥AP. 因为 AP? / 平面 BDE,OE?平面 BDE, 所以 AP∥平面 BDE.

????????????????4 分

????????????????6 分

(2)因为平面 PAB⊥平面 ABCD,BC⊥AB,平面 PAB∩平面 ABCD=AB, 所以 BC⊥平面 PAB. 因为 AP?平面 PAB,所以 BC⊥PA. 因为 PB⊥PA,BC∩PB=B,BC,PB?平面 PBC, 所以 PA⊥平面 PBC. 因为 BE?平面 PBC,所以 PA⊥BE. 因为 BP=PC,且 E 为 PC 中点,所以 BE⊥PC. 因为 PA∩PC=P,PA,PC?平面 PAC, 所以 BE⊥平面 PAC. 16.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的顶点是坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,终边与单位圆 O 交 π π π 于点 A(x1 ,y1 ),α∈( , ).将角 α 终边绕原点按逆时针方向旋转 ,交单位圆于点 B(x2,y2). 4 2 4 3 (1)若 x1= ,求 x2; 5 (2)过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 C,D,记△AOC 及 4 △BOD 的面积分别为 S1,S2,且 S1= S2,求 tanα 的值. 3 3 4 2 16.解: (1)解法一:因为 x1= ,y1>0,所以 y1= 1-x1 = . 5 5 4 3 所以 sinα= ,cosα= . 5 5 ?????????2 分
(第 16 题图) D O y B A

???????????????8 分

????????????????12 分

????????????????14 分

C

x

π π π 2 所以 x2=cos(α+ )=cosαcos -sinαsin =- . 4 4 4 10

?????????????6 分

3 4 3 4 → 3 4 2 解法二:因为 x1= ,y1>0,所以 y1= 1-x1 = .A( , ),则OA=( , ),????2 分 5 5 5 5 5 5 → OB=(x2,y2), 3 4 2 → → → → 因为OA·OB=|OA||OB|cos∠AOB,所以 x2+ y2= 5 5 2 ??4 分

又 x22+y22=1,联立消去 y2 得 50 x22-30 2x2-7=0
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解得 x2=-

2 7 2 2 或 ,又 x2<0,所以 x2=- . 10 10 10

?????????6 分

3 4 2 解法三:因为 x1= ,y1>0,所以 y1= 1-x1 = . 5 5

3 4 4 因此 A( , ),所以 tanα= .???2 分 5 5 3 ?????4 分

π 1+tanα 所以 tan(α+ )= =-7,所以直线 OB 的方程为 y=-7x 4 1-tanα
?y=-7x, 2 2 由? 2 2 得 x=± ,又 x2<0,所以 x2=- . 10 10 ?x +y =1.

???????6 分

1 1 (2)S1= sinαcosα=- sin2α. 2 4 π π π π 3π 因为 α∈( , ),所以 α+ ∈( , ). 4 2 4 2 4

????????????????8 分

1 π π 1 π 1 所以 S2=- sin(α+ )cos(α+ )=- sin(2α+ )=- cos2α.???????????10 分 2 4 4 4 2 4 4 4 4 因为 S1= S2,所以 sin2α=- cos2α,即 tan2α=- . 3 3 3 2tanα 4 1 所以 =- ,解得 tanα=2 或 tanα=- . 3 2 1-tan2α 17.(本小题满分 14 分) 如图, 经过村庄 A 有两条夹角为 60° 的公路 AB, AC, 根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P, 分别在两条公路边上建两个仓库 M、N (异于村庄 A),要求 PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使 得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远). MN AM 解法一:设∠AMN=θ,在△AMN 中, = . sin60° sin(120° -θ) 4 3 因为 MN=2,所以 AM= sin(120° -θ) . ??????2 分 3 在△APM 中,cos∠AMP=cos(60° +θ). ???????6 分 AP2=AM2+MP2-2 AM·MP·cos∠AMP 16 4 3 = sin2(120° -θ)+4-2×2× sin(120° -θ) cos(60° +θ) 3 3 = 16 2 16 3 sin (θ+60° )- sin(θ+60° ) cos(θ+60° )+4 3 3
A (第 17 题图) M B N C P

?????????????12 分

π π 因为 α∈( , ),所以 tanα=2.???14 分 4 2

????????????8 分

8 8 3 = [1-cos (2θ+120° )]- sin(2θ+120° )+4 3 3 8 20 =- [ 3sin(2θ+120° )+cos (2θ+120° )]+ 3 3 = 20 16 - sin(2θ+150° ),θ∈(0,120° ). 3 3 ????????????????12 分

当且仅当 2θ+150° =270° ,即 θ=60° 时,AP2 取得最大值 12,即 AP 取得最大值 2 3. 答:设计∠AMN 为 60?时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.??????????????14 分

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解法二(构造直角三角形): 设∠PMD=θ,在△PMD 中, ∵PM=2,∴PD=2sinθ,MD=2cosθ. ?????2 分
N

C P

MN AM 在△AMN 中,∠ANM=∠PMD=θ,∴ = , sin60° sinθ 4 3 4 3 π A AM= sinθ,∴AD= sinθ+2cosθ,(θ≥ 时,结论也正确).????? 6分 3 3 2 4 3 AP2=AD2+PD2=( sinθ+2cosθ)2+(2sinθ)2 3 = = = 16 2 8 3 sin θ+ sinθcosθ+4cos2θ+4sin2θ 3 3 16 1-cos2θ 4 3 4 3 8 20 · + sin2θ+4= sin2θ- cos2θ+ 3 2 3 3 3 3 20 16 π 2π + sin(2θ- ),θ∈(0, ). 3 3 6 3 ??????????12 分 ??????????8 分
M 第 17 题图

D B

π π π 当且仅当 2θ- = ,即 θ= 时,AP2 取得最大值 12,即 AP 取得最大值 2 3. 6 2 3 此时 AM=AN=2,∠PAB=30° 解法三:设 AM=x,AN=y,∠AMN=α. 在△AMN 中,因为 MN=2,∠MAN=60° , 所以 MN2=AM2+AN2-2 AM·AN·cos∠MAN, 即 x2+y2-2xycos60° =x2+y2-xy=4. MN AN 2 y 因为 = ,即 = , sin60° sinα sin60° sinα 所以 sinα= x2+4-y2 x2+(x2-xy) 2x-y 3 y,cosα= = = . 4 4x 4 2×2×x ????????????????6 分 ????????????????2 分 ??????????14 分

1 3 1 2x-y 3 3 x-2y cos∠AMP=cos(α+60° )= cosα- sinα= · - · y= .???????????8 分 2 2 2 4 2 4 4 在△AMP 中,AP2=AM2+PM2-2 AM·PM·cos∠AMP, x-2y 2 即 AP2=x2+4-2×2×x× =x +4-x(x-2y)=4+2xy.???????????????12 分 4 因为 x2+y2-xy=4,4+xy=x2+y2≥2xy,即 xy≤4. 所以 AP2≤12,即 AP≤2 3. 当且仅当 x=y=2 时,AP 取得最大值 2 3. 答:设计 AM=AN=2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.????????????14 分 解法四(坐标法):以 AB 所在的直线为 x 轴,A 为坐标原点,建立直角坐标系. 设 M(x1,0),N(x2, 3x2),P(x0,y0).∵MN=2, ∴(x1-x2)2+3x2 2=4.
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????????????????2 分

x1+x2 3 MN 的中点 K( , x2). 2 2 ∵△MNP 为正三角形,且 MN=2.∴PK= 3,PK⊥MN. x1+x2 2 3 ∴PK2=(x0- ) +(y0- x2)2=3, 2 2 3x2 kMN·kPK=-1,即 · x2-x1 3 x 2 2 =-1, x1+x2 x0- 2 y0-

????????????????6 分

2 x1-x2 x1+x2 x1+x2 2 3 3 2 (x1-x2) ∴y0- x2= (x0- ),∴(y0- x2) = (x0- ) 2 2 2 3x2 2 3x2 2

(x1-x2)2 x1+x2 2 x1+x2 2 x1+x2 2 9 2 4 ∴(1+ )(x0- ) =3,即 2(x0- ) =3,∴(x0- ) = x2. 2 3x2 2 3x2 2 2 4 x1+x2 ∵x0- >0 2 x1+x2 3 ∴x0- = x2, 2 2 ????????????????8 分

1 3 ∴x0= x1+2x2,∴y0= x1. 2 2 1 2 3 2 2 2 2 ∴AP2=x2 0+y0=(2x2+2x1) +4x1=x1+4x2+2x1x2 =4+4x1x2≤4+4×2=12, 即 AP≤2 3.

????????????????12 分

答:设计 AM=AN=2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.??????????14 分 解法五(变换法):以 AB 所在的直线为 x 轴,A 为坐标原点,建立直角坐标系. 设 M(x1,0),N(x2, 3x2),P(x0,y0). ∵MN=2,∴(x1-x2) +3x =4.即 x +4x =4+2x1x2 ∴4+2x1x2≥4x1x2,即 x1x2≤2. ???????4 分 N
2
2 2 2 1 2 2

y

C P

∵△MNP 为正三角形,且 MN=2.∴PK= 3,PK⊥MN. → → MN顺时针方向旋转 60° 后得到MP. → → MP=(x0-x1,y0),MN=(x2-x1, 3x2). x A M B

? 1 2 ∴? 3 ?- 2

3 2 ? x2-x1 ? ? x0-x1 ? ? ?=? ?,即 1 ? 3x2 ? ? y0 ? 2

? ? ?

1 3 3 3 x0-x1= (x2-x1)+ x2,y0=- (x2-x1)+ x2. 2 2 2 2 1 3 ∴x0=2x2+ x1,y0= x1. 2 2 1 2 3 2 2 2 2 ∴AP2=x2 0+y0=(2x2+2x1) +4x1=x1+4x2+2x1x2 =4+4x1x2≤4+4×2=12, ????????????????12 分
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????????????????8 分

即 AP≤2 3. 答:设计 AM=AN=2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.??????????14 分 解法六(几何法):由运动的相对性,可使△PMN 不动,点 A 在运动. 由于∠MAN=60° ,∴点 A 在以 MN 为弦的一段圆弧(优弧)上,????4 分 设圆弧所在的圆的圆心为 F,半径为 R, 由图形的几何性质知:AP 的最大值为 PF+R. MN 在△AMN 中,由正弦定理知: =2R, sin60° ∴R= 2 , 3 ????8 分 A ????10 分 2 ,又 PM=PN,∴PF 是线段 MN 的垂直平分线. 3 F N E M B C P

∴FM=FN=R=

1 设 PF 与 MN 交于 E,则 FE2=FM2-ME2=R2-12= . 3 即 FE= ∴PF= 3 ,又 PE= 3. 3 4 ,∴AP 的最大值为 PF+R=2 3. 3 ???????????12

答:设计 AM=AN=2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.??????????14 分 18. (本小题满分 16 分) x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C∶ 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2, a b 一条准线方程为 x=2.P 为椭圆 C 上一点,直线 PF1 交椭圆 C 于另一点 Q. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 P 的坐标为(0,b),求过 P,Q,F2 三点的圆的方程; 1 → → → → (3)若 F1P =λ QF1 ,且 λ∈[ ,2],求 OP · OQ 的最大值. 2 =2, ?2c ? 2 (1)解:由题意得?a 解得 c=1,a2=2,所以 b2=a2-c2=1. = 2 , ?c ? x2 所以椭圆的方程为 +y2=1. 2 ????????????????2 分

(2)因为 P(0,1),F1(-1,0),所以 PF1 的方程为 x-y+1=0. y+1=0, x=- , ? ?x+ ?x=0, ? 3 4 1 2 ? 由? x 解得 或? 2 1 所以点 Q 的坐标为(-3,-3). ????????4 分 y = 1 , + y = 1 , ? ?2 ? ?y=- , 3 解法一:因为 kPF1· kPF2=-1,所以△PQF2 为直角三角形. ????????6 分 4

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1 1 5 2 因为 QF2 的中点为(- ,- ),QF2= , 6 6 3 1 1 25 所以圆的方程为(x+ )2+(y+ )2= . 6 6 18 解法二:设过 P,Q,F2 三点的圆为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 1+E+F=0, 1+D+F=0, 则 17 4 1 - D- E+F=0, 9 3 3 ????????8 分

? ? ?

? 解得? ?

1 D= , 3 1 E= , 3 4 F=- . 3 ????????????????8 分

1 1 4 所以圆的方程为 x2+y2+ x+ y- =0. 3 3 3

→ → (3)解法一:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则F1P=(x1+1,y1),QF1=(-1-x2,-y2).
?x1+1=λ(-1-x2), ?x1=-1-λ-λx2, → → 因为F1P=λQF1,所以? 即? ?y1=-λy2, ?y1=-λy2,

(-1-λ-λx2)2 2 2 +λ y2=1, 2 1-3λ 所以 x2 解得 x2= . 2λ 2 2 +y2=1, 2

? ? ?

????????????????12 分

λ 2 → → 所以 OP ·OQ=x1x2+y1y2=x2(-1-λ-λx2)-λy2 2=-2x2 -(1+λ)x2-λ 1-3λ λ 1-3λ 2 7 5 1 =- ( ) -(1+λ)· -λ= - (λ+ ) . 2 2λ 2λ 4 8 λ 1 1 因为 λ∈[ ,2],所以 λ+ ≥2 2 λ ????????????????14 分

1 1 λ· =2,当且仅当 λ= ,即 λ=1 时,取等号. λ λ ????????????????16 分

1 → → 1 → → 所以 OP ·OQ≤ ,即 OP ·OQ最大值为 . 2 2 解法二:当 PQ 斜率不存在时, x2 2 在 +y2=1 中,令 x=-1 得 y=± . 2 2 所以 OP ? OQ ? ?1? (?1) ?

??? ? ????

2 2 1 1 ? ? (? ) ? ,此时 ? ? 1 ? ? , 2 ??????????2 ? 2 2 2 ?2 ? ?

当 PQ 斜率存在时,设为 k,则 PQ 的方程是 y=k(x+1), k(x+1), ? ?y= 2 由?x 得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0, 2 + y = 1 . ?2 ? 韦达定理

x1 ? x2 =

?4k 2 2k 2 ? 2 , x x = ???????????????4 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

设 P(x1,y1),Q(x2,y2) , 则 OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
2

??? ? ????

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? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2 ? (k 2 ? 1)
2 2k 2 ? 2 2 ?4 k ? k ? k2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

k2 ? 2 ? ??????????????? 6分 1 ? 2k 2 1 5 1 ? ? ? 。 2 2 2(1 ? 2k ) 2
? ? ?? ? ? ?? 1 ?1 ? O P? O Q 的最大值为 ,此时 ? ? 1 ? ? , 2 ? 2 ?2 ?
19.(本小题满分 16 分) ax+b x 已知函数 f(x)= e ,a,b∈R,且 a>0. x (1)若 a=2,b=1,求函数 f(x)的极值; (2)设 g(x)=a(x-1)ex-f(x). ① 当 a=1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)≥1 成立,求 b 的最大值; b ② 设 g′(x)为 g(x)的导函数.若存在 x>1,使 g(x)+g′(x)=0 成立,求 的取值范围. a 1 解: (1)当 a=2,b=1 时,f (x)=(2+ )ex,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). x 所以 f ′(x)= (x+1)(2x-1) x e. x2 ????????????????2 分

????????????8

1 令 f ′(x)=0,得 x1=-1,x2= ,列表 2 (-∞, x -1) f ′(x) f (x) -1 (-1,0) 1 (0, ) 2 - ↘ 值 1 2 1 ( , 2 +∞)

?


0


- ↘

0
极小

?


大值

1 - 由表知 f (x)的极大值是 f (-1)=e 1,f (x)的极小值是 f ( )=4 e.??????????????4 分 2 b (2)① 因为 g (x)=(ax-a)ex-f (x)=(ax- -2a)ex, x b 当 a=1 时,g (x)=(x- -2)ex. x 因为 g (x)≥1 在 x∈(0,+∞)上恒成立, x 所以 b≤x2-2x- x在 x∈(0,+∞)上恒成立. e
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????????????????8 分

(x-1)(2ex+1) x 记 h(x)=x2-2x- x(x>0) ,则 h′(x)= . e ex 当 0<x<1 时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上是减函数; 当 x>1 时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上是增函数. 所以 h(x)min=h(1)=-1-e 1.


所以 b 的最大值为-1-e 1.


????????????????10 分

b 解法二:因为 g (x)=(ax-a)ex-f (x)=(ax- -2a)ex, x b 当 a=1 时,g (x)=(x- -2)ex. x 因为 g (x)≥1 在 x∈(0,+∞)上恒成立, b 所以 g(2)=- e2>0,因此 b<0. 2 (x-1)(x -b)e b b g′(x)=(1+ 2)ex+(x- -2)ex= . x x x2 因为 b<0,所以:当 0<x<1 时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上是减函数; 当 x>1 时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上是增函数. 所以 g(x)min=g(1)=(-1-b)e
-1

????????????????6 分
2 x

????????????????8 分

因为 g (x)≥1 在 x∈(0,+∞)上恒成立, 所以(-1-b)e 1≥1,解得 b≤-1-e
- -1

因此 b 的最大值为-1-e 1.


????????????????10 分

b b b ②解法一:因为 g (x)=(ax- -2a)ex,所以 g ′(x)=( 2+ax- -a)ex. x x x b b b 由 g (x)+g ′(x)=0,得(ax- -2a)ex+( 2+ax- -a)ex=0, x x x 整理得 2ax3-3ax2-2bx+b=0. 存在 x>1,使 g (x)+g ′(x)=0 成立, 等价于存在 x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立.
3 2 b 2x -3x 因为 a>0,所以 = . a 2x-1

????????????????12 分

2x3-3x2 设 u(x)= (x>1) ,则 u′(x)= 2x-1

3 3 8x[(x- )2+ ] 4 16 . (2x-1)2

因为 x>1,u′(x)>0 恒成立,所以 u(x)在(1,+∞)是增函数,所以 u(x)>u(1)=-1, b b 所以 >-1,即 的取值范围为(-1,+∞) . a a ????????????????16 分

b b b 解法二:因为 g (x)=(ax- -2a)ex,所以 g ′(x)=( 2+ax- -a)ex. x x x
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b b b 由 g (x)+g ′(x)=0,得(ax- -2a)ex+( 2+ax- -a)ex=0, x x x 整理得 2ax3-3ax2-2bx+b=0. 存在 x>1,使 g (x)+g ′(x)=0 成立, 等价于存在 x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立. 设 u(x)=2ax3-3ax2-2bx+b(x≥1) u′(x)=6ax2-6ax-2b=6ax(x-1)-2b≥-2b 当 b≤0 时,u′(x) ≥0 此时 u(x)在[1,+∞)上单调递增,因此 u(x)≥u(1)=-a-b 因为存在 x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立 b 所以只要-a-b<0 即可,此时-1< ≤0 a ????????????????13 分 ????????????????12 分

3a+ 9a2+16ab 3a+ 9a2 3 当 b>0 时,令 x0= > = >1,得 u(x0)=b>0, 4a 4a 2 又 u(1)=-a-b<0 于是 u(x)=0,在(1,x0)上必有零点 b 即存在 x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立,此时 >0 ????????????????15 分 a b 综上有 的取值范围为(-1,+∞) . a ????????????????16 分

20.(本小题满分 16 分) 已知数列{an}的各项都为正数,且对任意 n∈N*,a2n-1,a2n,a2n+1 成等差数列, a2n,a2n+1,a2n+2 成等比数列. (1)若 a2=1,a5=3,求 a1 的值; an+1 a2 (2)设 a1<a2,求证:对任意 n∈N*,且 n≥2,都有 < . an a1 解: (1)解法一:因为 a3,a4,a5 成等差数列,设公差为 d,则 a3=3-2d,a4=3-d. 2 2 a3 (3-2d) 因为 a2,a3,a4 成等比数列,所以 a2=a4= 3-d . ??????3 分 (3-2d)2 3 3 因为 a2=1,所以 3-d =1,解得 d=2,或 d=4.因为 an>0,所以 d=4. 1 因为 a1,a2,a3 成等差数列,所以 a1=2a2-a3=2-(3-2d)=2.?????5 分 解法二:因为 a1,a2,a3 成等差数列,a2,a3,a4 成等比数列,a3,a4,a5 成等差数列,

?2 ? a1 ? a3 ? 2 则 ?a 3 ? a 4 ,?????3 分 ?2 a ? a ? 3 3 ? 4 3 3 1 2 则 2a3 ? a3 ? 3 ,解得 a3 ? 或 a 3 ? ?1(舍) ,所以 a1 ? 2 ? ? 。???5 分 2 2 2 解法三:因为 a1,a2,a3 成等差数列,则 a3 ? 2 ? a1 ,
因为 a2,a3,a4 成等比数列,则 a 4 ? (2 ? a1 ) ??????3 分
2

因为 a3,a4,a5 成等差数列,则 2a 4 ? a3 ? a5 ,则 2(2 ? a1 ) ? 2 ? a1 ? 3
2

解得: a1 ? 3 或 a1 ?

1 1 ;当 a1 ? 3 时, a 3 ? ?1(与 a n ? 0 矛盾,故舍去),所以 a1 ? . 2 2
???5 分(注:没有舍去一解,扣 1 分)
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(2)证法一:因为 a2n-1,a2n,a2n+1 成等差数列,a2n,a2n+1,a2n+2 成等比数列, 2 所以 2a2n=a2n-1+a2n+1,① a2n2 +1 =a2na2n+2.②;所以 a2n-1 =a2n-2a2n,n≥2.③ 所以 a2n-2a2n + a2na2n+2=2a2n. 因为 an>0,所以 a2n-2 + a2n+2=2 a2n . ????7 分 即数列{ a2n }是等差数列. 所以 a2n = a2 +(n-1)( a4- a2). 由 a1,a2 及 a2n-1,a2n,a2n+1 是等差数列,a2n,a2n+1,a2n+2 是等比数列, (2a2-a1)2 可得 a4= .??????8 分 a2 (a2-a1)n+a1 所以 a2n = a2 +(n-1)( a4- a2)= . a2 [(a2-a1)n+a1]2 所以 a2n= .????????10 分 a2 [(a2-a1)(n+1)+a1]2 所以 a2n+2= . a2 [(a2-a1)n+a1][(a2-a1)(n+1)+a1] 从而 a2n+1= a2na2n+2= . a2 [(a2-a1)(n-1)+a1][(a2-a1)n+a1] 所以 a2n-1= .??????12 分 a2 ①当 n=2m,m∈N*时, [(a2-a1)m+a1][(a2-a1)(m+1)+a1] a2 an+1 a2 a2 (a2-a1)(m+1)+a1 a2 - = - = - an a1 a1 a1 [(a2-a1)m+a1]2 (a2-a1)m+a1 a2 m(a1-a2)2 =- <0. ?????14 分 a1[(a2-a1)m+a1] ②当 n=2m-1,m∈N*,m≥2 时, [(a2-a1)m+a1]2 a2 an+1 a2 (a2-a1)m+a1 a2 a2 - = - = - an a1 [(a2-a1)(m-1)+a1][(a2-a1)m+a1] a1 (a2-a1)(m-1)+a1 a1 a2 (m-1)(a1-a2)2 =- <0. a1[(a2-a1)(m-1)+a1] an+1 a2 综上,对一切 n∈N*,n≥2,有 < . ??????16 分 an a1 证法二:①若 n 为奇数且 n≥3 时,则 an,an+1,an+2 成等差数列. an+2 an+1 an+2an-a2n+1 (2an+1-an)an-a2n+1 (an+1-an)2 因为 - = = =- ≤0, an+1 an an+1an an+1an an+1an an+2 an+1 所以 ≤ .??????9 分 an+1 an an+2 an+1 ②若 n 为偶数且 n≥2 时,则 an,an+1,an+2 成等比数列,所以 = .???11 分 an+1 an an+2 an+1 a3 由①②可知,对任意 n≥2,n∈N*, ≤ ≤?≤ .???13 分 a2 an+1 an 2 2 (a1-a2)2 a3 a2 2a2-a1 a2 2a2a1-a1 -a2 又因为 - = - = =- , a2 a1 a2 a1 a2a1 a2a1 2 (a1-a2) a3 a2 因为 a1<a2,所以- <0,即 < .???15 分 a2a1 a2 a1 an+1 a2 综上, < .????16 分. an a1

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南京市 2014 届高三年级第二次模拟考试

数学附加题
注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟.

2014.03

3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答 . 题纸 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. .. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域 . ...... 内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,△ABC 为圆的内接三角形,AB=AC,BD 为圆的弦,且 BD∥AC.过点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F. A E (1)求证:四边形 ACBE 为平行四边形; (2)若 AE=6,BD=5,求线段 CF 的长.
B F C

A.选修 4—1:几何证明选讲 解: (1)因为 AE 与圆相切于点 A,所以∠BAE=∠ACB. D 因为 AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 第 21 题 A 图 所以∠ABC=∠BAE. 所以 AE∥BC.因为 BD∥AC,所以四边形 ACBE 为平行四边形.?????????????4 分 (2)因为 AE 与圆相切于点 A,所以 AE2=EB· (EB+BD),即 62=EB· (EB+5),解得 BE=4. 根据(1)有 AC=BE=4,BC=AE=6. AC CF 4 x 8 8 设 CF=x,由 BD∥AC,得 = ,即 = ,解得 x= ,即 CF= .?????????10 分 BD BF 5 6-x 3 3 B.选修 4—2:矩阵与变换 ? 1 a ?的一个特征值为 2,其对应的一个特征向量为 α=? 2 ?. 已知矩阵 A= ?1? ? -1 b ? (1)求矩阵 A; ? x ?=? a ?,求 x,y 的值. (2)若 A ?y? ?b? 2+a=4, ? 1 a ? ? 2 ?=2? 2 ?,即? ? 解: (1)由题意,得 ? ? ? ? ? -1 b ? 1 1 ?-2+b=2, 解得 a=2,b=4. 1 2? 所以 A=? . ???????????????5 分 ? -1 4 ? ? x ?=? a ?,即? 1 2 ? ? x ?=? 2 ?, (2)解法一:A ?y? ?b? ? -1 4 ? ? y ? ? 4 ? ?x+2y=2, 所以? ???????????????8 分 ?-x+4y=4, ?x=0, 解得? ???????????????10 分 ?y=1.

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? 1 2 ?,所以 A-1= 解法二:因为 A= ? -1 4 ? ? x ?=? a ?,所以? x ?=A-1 ?y? ?b? ?y?

因为 A

? 3 -3 ? ???????????????7 分 ? 1 1 ?. ?6 6? 2 1 - ? ? 3 3 ?2? ?0? a ? ?= = . ? ?b? 1 1 ? ? 4? ?1? ?6 6?
???????????????10 分

2

1

?x=0, 所以? ?y=1.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 π 在极坐标系中,求曲线?=2cosθ 关于直线 θ= (?∈R)对称的曲线的极坐标方程. 4 解法一:以极点为坐标原点,极轴为 x 轴建立直角坐标系, 则曲线 ?=2cosθ 的直角坐标方程为 (x-1)2+y2=1,且圆心 C 为(1,0).?????????4 分 π 直线 θ= 的直角坐标方程为 y=x, 4 因为圆心 C(1,0)关于 y=x 的对称点为(0,1), 所以圆心 C 关于 y=x 的对称曲线为 x2+(y-1)2=1. ???????????????8 分

π 所以曲线 ?=2cosθ 关于直线 θ= (?R)对称的曲线的极坐标方程为 ?=2sinθ.???????10 分 4 π 解法二:设曲线 ?=2cosθ 上任意一点为(?′,θ′),其关于直线 θ= 对称点为(?,θ), 4

? ??′=?, π 则? θ′=2kπ + -θ. ? 2 ?

???????????????6 分

π 将(?′,θ′)代入 ?=2cosθ,得 ?=2cos( 2 -θ),即 ?=2sinθ. π 所以曲线 ?=2cosθ 关于直线 θ= (?∈R)对称的曲线的极坐标方程为 ?=2sinθ.???????10 分 4

D.选修 4—5:不等式选讲 1 1 已知 x,y∈R,且|x+y|≤ ,|x-y|≤ ,求证:|x+5y|≤1. 6 4 证: 因为|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|. 由绝对值不等式性质,得 |x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)| 1 1 =3|x+y|+2|x-y|≤3× +2× =1. 6 4 即|x+5y|≤1. ???????????????10 分 ???????????????5 分

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【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域内 作答.解答应写出文字说 . ....... 明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 某中学有 4 位学生申请 A,B,C 三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中一所大学,且申请其 中任何一所大学是等可能的. (1)求恰有 2 人申请 A 大学的概率; (2)求被申请大学的个数 X 的概率分布列与数学期望 E(X). 22. (本小题满分 10 分) 解(1)记“恰有 2 人申请 A 大学”为事件 A, C42×22 24 8 P(A)= = = . 34 81 27 8 答:恰有 2 人申请 A 大学的概率为 . 27 (2)X 的所有可能值为 1,2,3. 3 1 P(X=1)= 4= , 3 27 C43×A32+3×A32 42 14 P(X=2)= = = , 34 81 27 C42×A33 36 4 P(X=3)= = = . 34 81 9 X 的概率分布列为: X P 1 1 27 2 14 27 3 4 9 ???????????????10 分 ???????????????4 分

1 14 4 65 所以 X 的数学期望 E(X)=1× +2× +3× = . 27 27 9 27 23. (本小题满分 10 分) 设 f(n)是定义在 N*上的增函数,f(4)=5,且满足:

①任意 n∈N*,f(n)∈Z;②任意 m,n∈N*,有 f(m)f(n)=f(mn)+f(m+n-1). (1)求 f(1),f(2),f(3)的值; (2)求 f(n)的表达式. 23.解: (1)因为 f(1)f(4)=f(4)+f(4),所以 5 f(1)=10,则 f(1)=2.??????????????1 分 因为 f(n)是单调增函数, 所以 2=f(1)<f(2)<f(3)<f(4)=5. 因为 f(n)∈Z,所以 f(2)=3,f(3)=4. (2)解:由(1)可猜想 f (n)=n+1.
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???????????????3 分

证明:因为 f (n)单调递增,所以 f (n+1)>f (n),又 f(n)∈Z, 所以 f (n+1)≥f (n)+1. 首先证明:f (n)≥n+1. 因为 f (1)=2,所以 n=1 时,命题成立. 假设 n=k(k≥1)时命题成立,即 f(k)≥k+1. 则 f(k+1)≥f (k)+1≥k+2,即 n=k+1 时,命题也成立. 综上,f (n)≥n+1. ???????????????5 分

由已知可得 f (2)f (n)=f (2n)+f (n+1),而 f(2)=3,f (2n)≥2n+1, 所以 3 f (n)≥f (n+1)+2n+1,即 f(n+1)≤3 f (n)-2n-1. 下面证明:f (n)=n+1. 因为 f (1)=2,所以 n=1 时,命题成立. 假设 n=k(k≥1)时命题成立,即 f(k)=k+1, 则 f(k+1)≤3f (k)-2k-1=3(k+1)-2k-1=k+2, 又 f(k+1)≥k+2,所以 f(k+1)=k+2. 即 n=k+1 时,命题也成立. 所以 f (n)=n+1 ???????????????10 分

解法二:由 f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=5,猜想 f(n)=n+1. 下面用数学归纳法证明: ①当 n=1,2,3,4 时,命题成立. ②假设当 n≤k (k≥4)时,命题成立,下面讨论 n=k+1 的情形. k+1 k+3 若 k 为奇数,则 k+1 为偶数,且 ≤k, ≤k. 2 2 k+1 k+1 k+3 k+3 k+3 k+5 根据归纳假设知 f( )= + 1= ,f( )= +1= . 2 2 2 2 2 2 k+1 k+1 k+3 因为 f(2) f( )=f(k+1)+f( +2-1)=f(k+1)+f( ), 2 2 2 k+3 k+5 所以 3· =(k+1)+ ,即(k+1)=k+2. 2 2 k+2 k+4 若 k 为偶数,则 k+2,k+4 为偶数,且 ≤k, ≤k. 2 2 k+2 k+2 k+4 k+4 k+4 k+6 根据归纳假设知 f( )= + 1= ,f( )= +1= . 2 2 2 2 2 2 k+2 k+2 k+4 因为 f(2) f( )=f(k+2)+f( +2-1)=f(k+2)+f( ), 2 2 2 k+4 k+6 所以 3· =f(k+2)+ ,即 f(k+2)=k+3. 2 2
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又 k+1=f(k)<f(k+1)<f(k+2)=k+3. 所以 f(k+1)=k+2 因此不论 k 的奇偶性如何,总有 f(k+1)=k+2,即 n=k+1 时,命题也成立 于是对一切 n∈N*,f(n)=n+1. 解法三:因为 f (n)单调递增,所以 f (n+1)>f (n),又 f(n)∈Z, 所以 f (n+1)≥f (n)+1,又 f(1)=2,所以 f (n)≥n+1 由已知可得:f (2)f (n)=f (2n)+f (n+1) 而 f(2)=3,f (2n)≥2n+1 所以 3 f (n)≥f (n+1)+2n+1,即:f(n+1)≤3 f (n)-2n-1 或者 f(n+1)-n-2≤3(f (n)-n-1) 所以有 f(n+1)-n-2≤3(f (n)-n-1) ≤32(f (n-1)-n) ≤33(f (n-2)-n+1) ?? n ≤3 (f (1)-2)=0 于是 f(n+1)≤n+2 又 f (n+1)≥n+2 所以 f(n+1)=n+2,又 f(1)=2 所以 f(n)=n+1

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