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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第2章 第14讲 幂函数

时间:2012-08-08


1.在以下四个函数:y ? x ,y ? x ,y ? x ?2与 y ? x 中,定义域是R的函数是  x ,y ? x3 . y?
3
2 3

2 3

1 4

解析:函数y ? x 与y ? x 的定义域为R;函数
3

2 3

y ? x 的定义域是[0, ?);函数y ? x ?2的定义 ? 域是(??, ? (0, ?). 0) ?

1 4

2.对于幂函数y=xa,当x∈(0,1)时,有xa>x,

则a的取值范围是_______. (0,1) 3.已知幂函数f(x)=xa由下表定义,则不等式
f(|x|)≤2的解集是___________. [-4,4] x 1

1 2

2 2 2 1 a 1 解析:由 ? ( ) ,得a ? ,所以 | x | ? 2, 2 2 2 则 ? 4 ? x ? 4.
f(x) 1

②④ 4.下列四个结论中,正确的结论的序号有_______.
①当n>0时,幂函数y=xn的值随x的增大而增大;

②幂函数y=xn(n∈R+)的图象都通过点(0,0)和点(1,1);
③当n∈{0,1}时,幂函数y=xn的图象是一条直线; ④幂函数的图象不可能出现在第四象限 解析:因为y=x2不是随x的增大而增大,所以①错误, 应该是当n>0时,幂函数y=xn的值在[0,+∞)上随x的增

大而增大;②正确;当n=0时,y=xn的图象不是一条直
线,而是直线y=1除去点(0,1)后余下的部分,所以③错 误;④正确.

5.函数f ( x) ? x

(a为常数)是偶函数,且在 1或3 (0, ?)上是减函数,则整数a的值是 _______ . ?

a 2 ? 4a ? 5

解析:幂函数f(x)=xa2-4a-5在(0,+∞)上是减函 数,所以a2-4a-5<0,解得-1<a<5.又a为整数, a=0,1,2,3,4.函数f(x)=xa2-4a-5(a为常数)是偶函数,

所以a2-4a-5为偶数,所以a=1,3.

幂函数的概念
【例1】 已知f ? x ?=(m +2m) x
2 m 2+m-1

,实数m为何值

时,f ? x ? 是:

?1? 正比例函数; ? 3? 二次函数;

? 2 ? 反比例函数; ? 4 ? 幂函数.

【解析】1? 若f ? x ? 是正比例函数,则 ? ? m 2 ? 2m ? 0 ? ,解得m=1; ? 2 ?m ? m ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 若f ? x ? 是反比例函数,则 ? m 2 ? 2m ? 0 ? ,解得m=-1; ? 2 ? m ? m ? 1 ? ?1 ?

? 3? 若f ? x ? 是二次函数,则
? m ? 2m ? 0 ?1 ? 13 ? ,解得m= ; ? 2 2 ?m ? m ? 1 ? 2 ? 2 ? 4 ? 若f ? x ? 是幂函数,则m +2m=1,
2

解得m=-1 ? 2.

本题考查函数的概念,需 要根据相应函数的定义列出等

式或不等式,要特别注意幂函
数的定义及其应用.

【变式练习1(2010·南通一模卷) 】 已知 1 2 幂函数f ? x ?=k · 的图象过点( , ), x 3 2 2 2 则k+?=_____________
?

幂函数图象的应用
【例2】 已知点( 2, 在幂函数y=f ? x ?的图象上, 2) 1 点(-2, )在幂函数y=g ? x ?的图象上. 4 ?1? 求f ? x ?、g ? x ?的表达式;

? 2 ? 试比较f ? x ?、g ? x ?的大小.

【解析】1? 设f ? x ?=x? .由于点( 2, 在其图象上, 2) ? 则2=( 2)? ,得?=2,所以f ? x ?=x 2 . 1 设g ? x ?=x .由于点(-2, )在其图象上, 4 1 则 =(-2) ? ,得?=-2,所以g ? x ?=x-2 . 4 1 2 ? 2 ? 若f ? x ?=g ? x ?,则x = 2 ,得x=1或-1. x 于是根据图象关系得:
?

若x ? -1或x ? 1,则f ? x ? ? g ? x ?; 若-1 ? x ? 0或0 ? x ? 1,则f ? x ? ? g ? x ?; 若x=1或x=-1,则f ? x ?=g ? x ?.

这是求函数表达式的一种常见
题型.掌握幂函数的概念是基础, 掌握幂函数在第一象限的图象,根 据图象理解最基本的性质是关 键.对于比较两个函数值的大小,

先研究相等的情况,就容易做好解
答了.

【变式练习2】 已知函数f ? x ?=(m +2m+1) x
2 m 2+m-1

是幂函

-2 数且其图象过坐标原点,则实数m=____

? m 2 ? 2m ? 1 ? 0 ? 【解析】由题设知 ? 2 , ?m ? m ? 1 ? 0 ? 解得m=-2.

幂函数性质的应用
【例3】
3 4

?1? 若函数f ? x ?=(mx -2
2

2 x+m+1)



+( x 2-mx+1) 0 的定义域为全体实数,求 实数m的取值范围; 1 a ( ? 2 ?比较3 , ) ,a (-1 ? a ? 0)的大小. 3
a 1 3

?mx 2 ? 2 2 x ? m ? 1 ? 0 ? 【解析】1? 依题意得 ? 2 ? ? x ? mx ? 1 ? 0 ? ?m ? 0 ? 对x ? R恒成立,故 ?8 ? 4m(m ? 1) ? 0, ?m 2 ? 4 ? 0 ? ?m ? 1 解得 ? , 所以1 ? m ? 2. ? ?2 ? m ? 2 故实数m的取值范围是 ?1, 2 ?. 1 a 0 ( ? 2 ?当-1 ? a ? 0时,? 3 ? 1, ) ? 1, a ? 0, 3 1 1 a a 3 所以它们的大小关系是:a ? 3 ? ( ) . 3
a 1 3

幂函数的定义域是根据幂函数
的表达式的特点来确定的.本题看 成两个幂函数的和,前一个,α <0, 且要开偶次方,故幂的底数恒大于0, 后一个要求底数不能为0,且底数的

图象是开口向上的抛物线,故底数
也要恒大于0.

【变式练习3】

?1?函数f ? x ?=(m -m-1) x
2

m 2-2m-3

是幂函数,

且当x ? (0,+?)时是减函数,求实数m的值; 2 ?比较0.80.7, 0.7 0.8的大小; ?

? 3?已知 ? 0.7

1.3 m

? ? ?1.3 ?

0.7 m

,求实数m的取值范围.

【解析】(1)因为函数f(x)是幂函数, 所以m2-m-1=1,得m=-1或m=2. 当m=-1时,函数f(x)=0,不符合要求;

当m=2时,函数f(x)=x-3,它在(0,+∞)
上是减函数. 故m=2.

(2)函数y=0.7x是减函数,所以0.70.7>0.70.8.

函 数 y = x0.7(x>0) 是 增 函 数 , 所 以
0.80.7>0.70.7. 故0.80.7>0.70.8. (3) 因 为 a = 0.71.3<1 , b = 1.30.7>1 , 所 以 0<a<1<b.

又函数y=xm(x>0)当m>0时是增函数,
故实数m的取值范围是(0,+∞).

幂函数的综合应用
【例4】 已知幂函数y=xm -2m-3 ( m ? N )的图
2 *

象关于y轴对称,且在(0,+?)上是减函 m m 数,求满足(a+1)- ? (3-2a)- 的a 3 3 的取值范围.

【解析】因为函数在(0,+?)上是减函数, 所以m 2-2m-3 ? 0,解得-1 ? m ? 3, 又m ? N*,所以m=1, 2, 又因为函数图象关于y轴对称, 所以m -2m-3是偶数,所以m=1,
2 - 1 3

因为y=x 在(-?, 和(0,+?)均为减函数, 0)

且当x ? 0时,x

1 - 3

? 0,

1 当x ? 0时,x- ? 0, 3 m m 所以(a+1)- ? (3-2a)- 等价于 3 3 a+1 ? 3-2a ? 0 或3-2a ? a+1 ? 0或a+1 ? 0 ? 3-2a, 2 3 解得a ? -1或 ? a ? , 3 2 2 3 所以a的取值范围是{a | a ? -1或 ? a ? }. 3 2

幂函数的图象与性质是本题
考查重点,充分利用幂函数的图 象与性质解不等式,要注意考虑

问题全面.

【变式练习4】 已知幂函数f ? x ? ? xm 2 ? 2m ? 3(m ? Z ) 为偶函数且在区间(0, ?)上是单调减函数. ?

?1? 求函数f ? x ?的解析式;
b 的奇偶性. ? 2 ? 讨论F ? x ? ? a f ( x) ? xf ( x)

解析:(1)因为f(x)在(0,+∞)上是减函数, 所以m2-2m-3<0,所以-1<m<3,

又因为m∈Z,所以m=0,1,2.
而m=0,2时,f(x)=x-3不为偶函数;m=1时,适合. 所以m=1,f(x)=x-4. (2)因为F(x)=-bx3,所以F(-x)=+bx3. 故①当a=0,b=0时,F(x)既是奇函数又是偶函数;

②当a=0,b≠0时,F(x)为奇函数;
③当a≠0,b=0时,F(x)为偶函数; ④当a≠0,b≠0时,F(x)既不是奇函数也不是偶函数.

1 1.设a ?{?1,1,,,则使函数y ? x a的定义域 3} 2 为R且为奇函数的所有a的值为 1和3
1 1 2.设? ? {-2,-1,- , ,2},幂函数y=x?, 1, 2 2 当x ? (1,+?)时,它的图象恒在直线y=x的下

1 方,则?=________________ ? ,-1,-2  2

3.幂函数y=x

m 2-2m-3

(m ? Z)的图象关于y轴

对称,且当x ? 0时,函数是减函数,则m 1 的值为______________

【解析】由m2-2m-3<0,得-1<m<3.
又m∈Z,所以m=0,1,2. 因为m2-2m-3为偶数,经验证,m=

1符合.

4.已知幂函数f ? x ? ? k ? x a的图象过点 3 1 2 ( , ),则k ? a ? 2   2 2
解析:幂函数f ? x ? ? k ? x a的图象过点 1 2 2 1 a 1 ( , ),所以k ? 1且 ? ( ) ,a ? , 2 2 2 2 2 3 k?a? . 2

5.已知函数f ? x ?=(m -m-2) x
2

m 2-2m-3

(-4 ? m ? 4)是偶函数,且在(0,+?) 上是增函数,求整数m的值.
【解析】若函数f ? x ? 是增函数, ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 ? ? 则① ? 2 或② ? 2 ?m ? m ? 2 ? 0 ?m ? m ? 2 ? 0 ? ? 由①得m ? -1或m ? 3. 又-4 ? m ? 4,且m ? Z, 所以m=-2或m=-3

当m=-2时,m 2-2m-3=5,不合要求; 当m=-3时,m 2-2m-3=12,符合要求. 由②得-1 ? m ? 2. 又-4 ? m ? 4,且m ? Z,所以m=0或m=1. 当m=0时,m 2-2m-3=-3,不合要求; 当m=1时,m 2-2m-3=-4,符合要求. 所以m=-3或1.

1.幂函数的概念 幂函数的定义是说明性定义,形如y=x? (? 为常 1 1 数)的函数叫幂函数.重点掌握?=-1,- ,,2,3 1, 2 2 时的幂函数的图象与性质.幂函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性等性质由?的取值决定.应用幂函 数知识解题时,要熟知常见幂函数的特征,要重视 数形结合的思想,根据题设条件及幂函数的性质作 出示意图,再由图象得出进一步的结论.

2.幂函数的图象与性质 幂函数的图象与性质,由α的取值 不同而变得比较复杂,但过定点(1,1) 是共同的,当α>0时,幂函数的图象还 过 定 点 (0,0) , 当 α<0 时 , 图 象 不 过 原 点.幂函数在(0,+∞)上的单调性, 从三个方面考查:

(1)当0<α<1时,函数图象在区间 (0,1)上总在直线y=x的上方(xα>x),在 区间(1,+∞)上总在直线y=x的下方 (xα<x),所以函数图象在(0,+∞)上成 上凸姿势,函数是增函数,增长的速 度越来越缓慢;

(2)当α>1时,函数图象在区间(0,1) 上总在直线y=x的下方(xα<x),在区间 (1,+∞)上总在直线y=x的上方(xα>x), 所以函数图象在(0,+∞)上成下凸姿 势,函数是增函数,增长的速度越来 越快;

(3)当α<0时,函数图象在区间(0,+ ∞)上是减函数,在区间(0,1)上函数的图象 总在直线y=x的上方(xα>x),在区间(1, +∞)上总在直线y=x的下方(xα<x).幂函 数的奇偶性,一般先将函数式化为正指数 幂或根式,再根据函数的定义域和函数奇 偶性的定义进行判断. 要注意,幂函数的图象不经过第四象限.


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