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2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题第3课时定点定值探索性问题课件文

时间:2017-07-22


§9.8 圆锥曲线的综合问题

第3课时 定点、定值、探索性问题

内容索引

题型分类 课时作业

深度剖析

题型分类

深度剖析

题型一 定点问题
例 1 x2 y2 (2016· 镇江模拟)已知椭圆a2+b2=1(a>0,b>0)过点(0,1),其长轴、

焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交 → → 于点 Q、P,与椭圆分别交于点 M、N,各点均不重合且满足PM=λ1MQ, → → PN=λ2NQ.

(1)求椭圆的标准方程; 解答

几何画板展示

(2)若λ1+λ2=-3,试证明:直线l过定点并求此定点. 证明

思维升华
圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研 究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定 点与变量无关.

跟踪训练 1

(2016· 河北衡水中学调研)如图,已知椭圆 C 的中心在原点,

2 焦点在 x 轴上, 离心率 e= 2 , F 是右焦点, A 是右顶点, B 是椭圆上一点, 2 BF⊥x 轴,BF= 2 .

(1)求椭圆C的方程;
解答
几何画板展示

(2)设直线 l: x=ty+λ 是椭圆 C 的一条切线, 点 M(- 2, y1), 点 N( 2, y2)是切线 l 上两个点,证明:当 t,λ 变化时,以 MN 为直径的圆过 x 轴上的定点,并求出定点坐标.
解答

题型二 定值问题
x2 y2 例2 如图,已知椭圆C: + =1 ,点B是其下顶点,过点B的直线交 12 4 椭圆C于另一点A(点A在x轴下方),且线段AB的中点E在直线y=x上.

(1)求直线AB的方程; 解答

(2)若点P为椭圆C上异于A,B的动点,且直线AP,BP分别交直线y=x 于点M,N,证明:OM· ON为定值.
证明

思维升华
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式, 代入代数式、化简即可得出定值. (2)求点到直线的距离为定值 .利用点到直线的距离公式得出距离的解 析式,再利用题设条件化简、变形求得. (3)求某线段长度为定值 .利用长度公式求得解析式,再依据条件对解 析式进行化简、变形即可求得.

跟踪训练 2

x2 y2 (2016· 大庆第二次教学质量检测)已知椭圆 C: a2+b2=1(a>b>0)

1 的离心率是2,其左,右顶点分别为 A1,A2,B 为短轴的一个端点,△A1BA2 的面积为 2 3.

(1)求椭圆C的方程; 解答
? c 1 ?e= = , a 2 ? 由已知,可得?ab=2 3, 解得 a=2,b= 3. ? ?a2=b2+c2, ?

x2 y2 故所求椭圆方程为 4 + 3 =1.

(2)直线l:x=2 2 与x轴交于D,P是椭圆C上异于A1,A2的动点,直线 A1P,A2P分别交直线l于E,F两点,求证:DE· DF为定值.
证明

题型三 探索性问题
例3 x2 y2 2 (2015· 四川)如图,椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的离心率是 2 ,

→ → 点 P(0,1)在短轴 CD 上,且PC· PD=-1.

(1)求椭圆E的方程; 解答

(2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在常
→ → → → 为定值?若存在,求 λ 的值;若不存在, 数λ,使得 OA · OB+λPA· PB

请说明理由.
解答
几何画板展示

思维升华
解决探索性问题的注意事项 探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存 在,若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论. (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件. (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采 取另外合适的方法.

跟踪训练3 (2016· 苏锡常镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中,已知 2 2 x y 椭圆C: 2+ 2=1 (a>b>0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,右顶点,上顶 a b 点分别为A,B,原点O到直线AB的距离等于ab. (1)若椭圆C的离心率等于 6 ,求椭圆C的方程; 3
解答
几何画板展示

(2) 若过点 (0,1) 的直线 l 与椭圆有且只有一个公共点 P ,且 P在第二象限, 直线PF2交y轴于点Q.试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系,并说 明理由.
解答
几何画板展示

思想与方法系列20

设而不求,整体代换

x2 y2 典例 (16分)椭圆C: 2+ 2=1 (a>b>0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,离心率 a b 为 3 ,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. 2 (1)求椭圆C的方程;
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连结PF1,PF2,设∠F1PF2的角平

分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共 1 1 点,设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,若k2≠0,证明 + 为定值,并 kk1 kk2 求出这个定值.
思想方法指导 规范解答

课时作业

x2 y2 3 1.已知椭圆a2+b2=1 (a>b>0)的离心率为 2 ,且过点 A(0,1).

(1)求椭圆的标准方程; 解答
3 c 由题意知,e=a= 2 ,b=1,

所以a2-c2=1,解得a=2,
x2 2 所以椭圆的标准方程为 4 +y =1.

1

2

3

4

5

(2)过点 A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 M,N 两点.求证:直线 3 MN 恒过定点 P(0,-5).
证明

1

2

3

4

5

2.(2016· 云南师范大学附属中学月考)已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,离心 2 5 2 5 率等于 5 ,且过点(1, 5 ).

(1)求椭圆C的标准方程; 解答

1

2

3

4

5

(2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点, 交 y 轴于点 M, → → → → 若MA=λ1AF,MB=λ2BF,求证:λ1+λ2 为定值.
证明

1

2

3

4

5

x2 y2 3 3.椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 3 ,点( 3, 2)为椭圆上的一点.

(1)求椭圆E的标准方程; 解答
3 3 3 2 2 2 因为 e= 3 ,所以 c= 3 a,a =b +( 3 a) . 3 2 又椭圆过点( 3, 2),所以a2+b2=1. 由①②,解得a2=6,b2=4, ①


x2 y2 所以椭圆 E 的标准方程为 6 + 4 =1.
1 2 3 4 5

(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1),且与椭圆E交于C,D两点,B为椭圆E 的下顶点,求证:对于任意的k,直线BC,BD的斜率之积为定值.
证明

1

2

3

4

5

x y 4.(2017· 江苏命题专家原创)已知椭圆 C:a2+b2=1 (a>b>0)的左,右焦 点分别为 F1,F2,椭圆 C 过点 M(0, 3),且△MF1F2 为正三角形.

2

2

(1)求椭圆C的方程; 解答
∵椭圆 C 过点 M(0, 3),∴b= 3,

又△MF1F2为正三角形,且MF1=MF2=a, 1 b ∴a=sin 60° =2,c=2a=1, x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1.
1 2 3 4 5

(2)垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,过点P(4,0)的直线PB交

椭圆C于另一点E,证明:直线AE与x轴相交于定点. 证明

1

2

3

4

5

*5.已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和C2的顶点均为
原点O,从每条曲线上各取两个点,将其坐标记录于下表中:

x
y

3
-2 3

-2
0

4
4

2
2 2

(1)求C1,C2的标准方程;
解答

1

2

3

4

5

(2)是否存在直线l满足条件:①过C2的焦点F;②与C1交于不同的两点M,

→ → ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明 N,且满足 OM ⊥ON

理由.
解答

1

2

3

4

5


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