nbhkdz.com冰点文库

高一数学讲义(数列求和)

时间:2010-09-27


数列的求和 一、公式法 如果一个数列是等差数列或等比数列,那么我们可以直接公式求和: 例 1:求下列各数列的和:

⑴ 1 + 4 + 7 + L + (3n + 4) + (3n + 7)
⑶1 + a + a + L + a
2 n

⑵ 1 2 + 4 8 + L + (1)n 1 2n 1
n 1

⑷a + a
n

b + a n 2b 2 + L + ab n 1 + b n (ab ≠ 0)

二、倒序相加法 对于某些特殊的数列,如果倒过来与原数列相加时,通过配对发现每一对都相等,或有公因式可提且 提后的剩余项易于求和,那么我们就可以仿照课本推导等差数列前 n 项和公式时所采用的方法求和。 例 2:设函数 f ( x) =

4x 1 2 3 10 ,则 f + f + f + L + f = x 4 +2 11 11 11 11



三、错位相减法 如果我们研究的数列的每一项都由两个因式组成,其中一个因式组成等差数列,另一个因 式组成等比数列,那么就可以仿照课本推导等比数列前 n 项和公式时所采用的方法求和. 例 3:求下列各数列的和: (1)

1 2 3 n + 2 + 3 +L+ n a a a a

(2) x + 3 x 2 + 5 x 3 + 7 x 4 + L + ( 2n 1) x n

四、拆项分组法(从通项公式入手) 拆项分组法(从通项公式入手) 利用转化的思想,通过拆项、合并、重组的方法,把原数列转化成等差数列、等比数列或常用数列的 求和问题。记注以下常用数列的前 n 项和:

n(n + 1) , 2 n(n + 1)(2n + 1) 2 2 2 2 ②前 n 个正整数的平方和: 1 + 2 + 3 + L + n = , 6 2 n(n + 1) 3 3 3 3 ③前 n 个正整数的立方和: 1 + 2 + 3 + L + n = 。 2
①前 n 个正整数的和: 1 + 2 + 3 + L + n = 例 4:求下列各数列的和:

1 1 1 (2n 1) 2n + 1 ⑴ + 3 + 5 +L+ 2 4 8 2n
(2) a +



1 2 1 3 1 n 1 + a + 2 + a + 3 +L+ a + n a a a a

2

2

2

2

例 5:求下列各数列的和: (切记:最后一项不一定就是通项公式) ⑴ 1 × 4 + 2 × 7 + 3 × 10 + L + ( n + 1)(3n + 4) ⑵ 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + L + n( n + 1)( n + 2)

五、裂项相消法(从通项公式入手) 裂项相消法(从通项公式入手) 对于分数型数列, 设法将数列的每一项拆成两项, 并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外, 其余各项都能前后相消。

1 1 1 1 = (a < b) a b b a a b

例 5:求下列各数列的和: (建议多写几项)

1 1 1 1 + 2 + 2 +L+ = 。 2 1 4 1 6 1 ( 2 n) 2 1 1 1 1 1 ⑵ + + +L+ = 1 × 4 4 × 7 7 × 10 (3n 2)(3n + 1) 1 1 1 1 ⑶1 + + + +L + = 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4 1+ 2 + 3 +Ln 1 1 1 1 + + +L+ = ⑷ 1 2 3 2 3 4 3 4 5 n(n + 1)(n + 2)

2

。 。 。

练习: 练习: 1.设 {an } 是等差数列为 d ( d ≠ 0) 且 an ≠ 0 ,则 A、

n a1an

B、

n 1 a1an

C、

nd a1an

1 1 1 1 + + +L+ 可化简为( a1a2 a2 a3 a3a4 an 1an (n 1)d D、 a1an
)

)

2.若 {an } 的通项公式为 an = A、

n2 ,则它的前 n 项和为( (2n 1)(2n + 1)
C、

n2 n 4n 2 2n + 1 3 5 7 2 2 2 , ,…, ,…的前 n 项和为( 3.设 ak = 1 + 2 + L + k ( k ∈ N ) ,则数列 , an a1 a2 a3 n2 4n + 2
B、 D、 A、

n2 + n 4n + 2

n2 n 4n + 2

)

3n n +1

B、

6n n +1

C、

6(n 1) n

D、

6(n + 1) n+2

4.数列 {a n }满足:

a1 a2 a3 an = = =L= ,且 a1 + a2 + L + an a1 + 1 a2 + 3 a3 + 5 an + (2n 1)
)
2

= 8 ,则首项 a1 等于(
A、 2n 1 5.设函数 f ( x ) = B、 n

C、

8 2n 1

D、

8 n2


1 ,则 f ( 4) + L + f (0) + L + f ( 4) + f (5) = 2 + 2
x

6.数列 {a n }中, a1 = 1, 当 n ≥ 2 时,其前 n 项和 S n 满足 S n = a n ( S n
2

1 )。 2

⑴求 S n 的表达式;⑵设 bn =

Sn ,求数列 {bn }的前 n 项和为 Tn 。 2n + 1

7.已知函数 f ( x ) = a1 x + a2 x + a3 x + L + an x ( x ∈ R, n ∈ N ) ,且对一切正整数 n 都有 f (1) = n 2 成
2 3 n

立。⑴求数列 {an } 的通项 an ;⑵证明: f < 3 ;⑶证明: 0 < f < 1 。

1 2

1 3


赞助商链接

战老师材料——高一数学——数列求和习题

11页 免费 高一数学数列求和1 7页 免费喜欢此文档的还喜欢 战老师讲义——高一...战老师材料——高一数学——数列求和习题 数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数...

盐山中学教案——数列求和(第一课时)

盐山中学教案——数列求和(第一课时) - 年级:高一(2017 级) 学科:数学(理科) 编制人:魏猛刚 日 日期:2018 年 3 月 28 自主学习案:数列求和(第一课时) ...

高一数学《等比数列的求和公式》教案(2)

高一数学《等比数列求和公式》教案(2) - 等比数列求和公式(二) 教材分析: 本节内容主要依托于学生学习完等比数列求和公式之后的一节综合应用课, 通 过...

等差数列求和教案

等差数列求和教案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。等差数列求和教案 等差数列求和教学目标 1.掌握等差数列前 项和的公式,并能运用公式解决简单的问题. 项和的...

等差数列前n项求和公式教案

等差数列前n项求和公式教案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2.2.2 等差...(1)通过观察阅读教材和讲义上的引例独立思考等差数列求和公式证明的思 路,准确...

数列求和的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧_高一数学_数学_高中教育_教育专区。god数列...另外:Sn= 可以拆成:Sn=(1+2+3+…+n)+( ) 说明:本资料适用于高三总...

Bothzda高一数学典型例题分析:数列的求和

关键词:2011给力资料 1/2 相关文档推荐 高一数学典型例题分析:数... 8页 1...Bothzda高一数学典型例题分析:数列求和Bothzda高一数学典型例题分析:数列求和隐藏...

高中数列求和方法集锦

数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都 数列求和的常用方法数列是高中数学的重要内容, 又是学习高等数学的基础。 ...

等比数列求和教案

等比数列求和教案 - 课题:等比数列前 项和的公式 教学目标 (1)通过教学使学生掌握等比数列前 用这一方法求一些数列的前 项和. 项和公式的推导过程,并能初步运...

等比数列求和教案

等比数列求和教案 - 贵州师范大学数计学院教学技能大赛 课题:等比数列的前 课题:等比数列的前 n 项和(第一课时) 教材:全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》...