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高中数学《立体几何》大题及答案解析


高中数学《立体几何》大题及答案解析(理)
1.(2009 全国卷Ⅰ)如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD ? 底面 ABCD ,

AD ? 2 , DC ? SD ? 2 ,点 M 在侧棱 SC 上,∠ABM=60 。
(I)证明: M 是侧棱 SC 的中点;

?

? ?? ? 求二面角 S ? AM ? B 的大小。
2.(2009 全国卷Ⅱ)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点, DE⊥平面 BCC1(Ⅰ)证明:AB=AC (Ⅱ)设二面角 A-BD-C 为 60° ,求 B1C 与平面 BCD 所成 A1 C1 的角的大小 B1 D A B 3. ( 2009 浙 江 卷 ) 如 图 , DC ? 平 面 ABC , EB / / DC , AC ? BC ? EB ? 2 DC ? 2 , E

C

?ACB ? 120? , P, Q 分别为 AE, AB 的中点. (I)证明: PQ / / 平面 ACD ; (II)求 AD 与平
面 ABE 所成角的正弦值.

4. ( 2009 北京卷)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形,

PD ? 底面ABCD , 点 E 在 棱 PB 上 . ( Ⅰ ) 求 证 : 平 面 A E C? 平面 P D B ;(Ⅱ)当 PD ? 2 AB 且 E 为 PB 的中点时,
求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

5.(2009 江西卷)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 4 , AB ? 2 .以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球 P 面交 PD 于点 M . (1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (2)求直线 PC 与平面 ABM 所成的角; M (3)求点 O 到平面 ABM 的距离.
A D

O B C

6. (2009 四川卷) 如图, 正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所 在 平 面 互 相 垂 直 , △ ABE 是 等 腰 直 角 三 角 形 ,

AB ? AE, FA ? FE, ?AEF ? 45? (I)求证: EF ? 平面BCE ;
(II)设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P 、 M ,求证: PM ∥ 平面BCE (III)求二面角 F ? BD ? A 的大小。

7.(2009 湖北卷文)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,SD⊥平面 ABCD,SD=AD=a,点 E 是 SD 上的点,且 DE= ? a(0< ? ≦1). (Ⅰ)求证:对任意的 ? ? (0、1) ,都有 AC⊥BE: (Ⅱ)若二面角 C-AE-D 的大小为 60 C,求 ? 的值。
0

8. (2009 湖南卷) 如图 3, 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB=4, 点 E 在 AC 上, 且 DE ? A AA1 ? 7 ,点 D 是 BC 的中点, 1 E.

? 平面 ACC1 A1 ; (Ⅱ)求直线 AD (Ⅰ)证明:平面 A 1DE
和平面 A 1DE 所成角的正弦值。

9. (2009 四川卷) 如图, 正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直, △ ABE 是等腰直角三角形, AB ? AE, FA ? FE, ?AEF ? 45 (I)求证: EF ? 平面BCE ; (II)设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P 、 M , 求证: PM ∥ 平面BCE (III)求二面角 F ? BD ? A 的大小。
?

10. ( 2009 重庆卷文)如题( 18 )图,在五面体 ABCDEF 中, AB ∥ DC , ?BAD ?

?
2



CD ? AD ? 2 ,四边形 ABFE 为平行四边形, FA ? 平面 ABCD , FC ? 3, ED ? 7 .求:
(Ⅰ)直线 AB 到平面 EFCD 的距离; (Ⅱ)二面角 F ? AD ? E 的平面角的正切值.

11.如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60° ,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)设 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值.

12(本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB ? CD,AC ? BD,垂 足为 H, PH 是四棱锥的高 ,E 为 AD 中点 (1) 证明:PE ? BC (2) 若 ? APB= ? ADB=60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值

参考答案
1、 【解析】 (I)解法一:作 MN ∥ SD 交 CD 于 N,作 NE ? AB 交 AB 于 E, 连 ME、NB,则 MN ? 面 ABCD , ME ? AB , NE ? AD ? 设 MN ? x ,则 NC ? EB ? x , 在 RT ?MEB 中,? ?MBE ? 60? ? ME ? 3x 。 在 RT ?MNE 中由 ME ? NE ? MN ? 3x ? x ? 2
2 2 2 2 2

2

解得 x ? 1 ,从而 MN ?

1 SD ? M 为侧棱 SC 的中点 M. 2

解法二:过 M 作 CD 的平行线.

(II)分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角 也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。 过 M 作 MJ ∥ CD 交 SD 于 J , 作 SH ? AJ 交 AJ 于 H , 作 HK ? AM 交 AM 于 K , 则

JM ∥ CD , JM ? 面 SAD ,面 SAD ? 面 MBA , SH ? 面 AMB ? ?SKH 即为所求二面角的补
角. 法二:利用二面角的定义。在等边三角形 ABM 中过点 B 作 BF ? AM 交 AM 于点 F ,则 点 F 为 AM 的中点,取 SA 的中点 G,连 GF,易证 GF ? AM ,则 ?GFB 即为所求二面角. 解法二、分别以 DA 、 DC 、 DS 为 x 、 y 、 z 轴如图建立空间直角坐标系 D — xyz ,则

A( 2 ,0,0), B( 2 ,2,0),C(0,0,2), S(0,0,2) 。
z S M

C D A B x

y

(Ⅰ)设 M (0, a, b)(a ? 0, b ? 0) ,则

BA ? (0,?2,0), BM ? (? 2 , a ? 2, b), SM ? (0, a, b ? 2) , SC ? (0,2,?2) ,由题得

1 ? ?cos ? BA, BM ? ? 2 ,即 ? ? SM // SC ?
? 2(a ? 2) 1 ? ? ? 2 2 ? 2 ? (a ? 2) ? b ? 2 2 解之个方程组得 a ? 1, b ? 1 即 M (0,1,1) ? ? ? 2a ? 2(b ? 2)
所以 M 是侧棱 SC 的中点。 法 2:设 SM ? ? MC ,则 M (0,

2? 2 2 ?2 , ), MB ? ( 2 , , ) 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?

又 AB ? (0,2,0), ? MB, AB ?? 60o 故 MB ? AB ?| MB | ? | AB | cos60o ,即

4 2 2 2 2 ? 2?( ) ?( ) ,解得 ? ? 1 , 1? ? 1? ? 1? ?
所以 M 是侧棱 SC 的中点。 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 M (0,1,1), MA ? ( 2 ,?1,?1) ,又 AS ? (? 2 ,0,2) , AB ? (0,2,0) , 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ), n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) 分别是平面 SAM 、 MAB 的法向量,则

? ? ? 2 x2 ? y2 ? z2 ? 0 ? n1 ? MA ? 0 ? ? n2 ? MA ? 0 ? 2 x 1 ? y1 ? z 1 ? 0 ? 且? ,即 ? 且? ? ? ? ? ?2 y 2 ? 0 ? ? 2 x1 ? 2 z1 ? 0 ? n1 ? AS ? 0 ? ? n1 ? AB ? 0
分别令 x1 ? x 2 ?

2 得 z1 ? 1, y1 ? 1, y 2 ? 0, z 2 ? 2 ,即

n1 ? ( 2 ,1,1), n2 ? ( 2 ,0,2) ,
∴ cos ? n1 , n2 ??

2?0? 2 2? 6

?

6 3
6 。 3
1 B B ,从而 EF DA。 2 1

二面角 S ? AM ? B 的大小 ? ? arccos

2、解法一: (Ⅰ)取 BC 中点 F,连接 EF,则 EF

连接 AF,则 ADEF 为平行四边形,从而 AF//DE。又 DE⊥平面 BCC1 ,故 AF⊥平面 BCC1 ,从

而 AF⊥BC,即 AF 为 BC 的垂直平分线,所以 AB=AC。 (Ⅱ)作 AG⊥BD,垂足为 G,连接 CG。由三垂线定理知 CG⊥BD,故∠AGC 为二面角 A-BD-C 的平 面角。由题设知,∠AGC=60 . 设 AC=2,则 AG=
0.

2 。又 AB=2,BC= 2 2 ,故 AF= 2 。 3

由 AB ? AD ? AG ? BD 得 2AD=

2 . AD 2 ? 22 ,解得 AD= 2 。 3

故 AD=AF。又 AD⊥AF,所以四边形 ADEF 为正方形。 因为 BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故 BC⊥平面 DEF,因此平面 BCD⊥平面 DEF。 连接 AE、DF,设 AE∩DF=H,则 EH⊥DF,EH⊥平面 BCD。 连接 CH,则∠ECH 为 B1C 与平面 BCD 所成的角。 因 ADEF 为正方形,AD= 2 ,故 EH=1,又 EC=
0
.

1 B1C =2, 2
0

所以∠ECH=30 ,即 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30 . 解法二: (Ⅰ)以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴的正半轴,建立如图所示 的直角坐标系 A—xyz。 设 B(1,0,0) ,C(0,b,0) ,D(0,0,c) ,则 B1(1,0,2c),E (

1 b , ,c). 2 2
?

于是 DE =(

? 1 b , ,0) , BC =(-1,b,0).由 DE⊥平面 BCC1 知 2 2
?

DE⊥BC, DE ? BC =0,求得 b=1,所以

?

AB=AC。

(Ⅱ)设平面 BCD 的法向量 AN ? ( x, y, z ), 则 AN ? BC ? 0, AN ? BD ? 0. 又 BC =(-1,1, 0) ,
? ?? x ? y ? 0 BD =(-1,0,c),故 ? ?? x ? cz ? 0

?

?

?

?

?

?

令 x=1, 则 y=1, z=

1 ? 1 , AN =(1,1, ). c c

又平面 ABD 的法向量 AC =(0,1,0)

AC =60°, 由二面角 A ? BD ? C 为 60°知, AN,


AN ? AC ? AN ? AC ? cos60 °,求得 c ?
于是

1 2

AN ? ( 1, 1,2), CB1 ? (1 , ?1 ,2)
cos AN, CB1 ? AN ? CB1 AN ? CB1 ? 1 , 2

AN, CB1 ? 60 °
所以 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30° 3、 (Ⅰ) 证明: 连接 DP, CQ , 又 DC // 在 ?ABE 中,P, Q 分别是 AE, AB 的中点, 所以 PQ //

1 BE , ?? 2

1 BE , 所以 PQ // DC , 又 PQ ? 平面 ACD , DC ? 平面 ACD, 所以 PQ // 平面 ACD ?? ?? 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中, AC ? BC ? 2, AQ ? BQ ,所以 CQ ? AB 而 DC ? 平面 ABC, EB // DC ,所以 EB ? 平面 ABC 而 EB ? 平面 ABE, 所以平面 ABE ? 平面 ABC, 所以 CQ ? 平面 ABE 由(Ⅰ)知四边形 DCQP 是平行四边形,所以 DP // CQ 所以 DP ? 平面 ABE, 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP, 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是 ? DAP 在 Rt ?APD 中, AD ?

AC2 ? DC 2 ? 22 ? 12 ? 5 , DP ? CQ ? 2 sin ?CAQ ? 1

所以 sin ?DAP ?

DP 1 5 ? ? AD 5 5

4、 【解法 1】 (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD, ∵ PD ? 底面ABCD , ∴PD⊥AC,∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 AEC ? 平面PDB . (Ⅱ)设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, ∴O,E 分别为 DB、PB 的中点, ∴OE//PD, OE ?

1 PD ,又∵ PD ? 底面ABCD , 2

∴OE⊥底面 ABCD,OE⊥AO, 在 Rt△AOE 中, OE ?
?

1 2 PD ? AB ? AO , 2 2
?

∴ ?AOE ? 45 ,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 . 【解法 2】如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz , 设 AB ? a, PD ? h, 则 A? a,0,0? , B ? a, a,0? , C ? 0, a,0? , D ?0,0,0? , P ?0,0, h ? , (Ⅰ)∵ AC ? ? ?a, a,0 ? , DP ? ? 0,0, h ? , DB ? ? a, a,0 ? , ∴ AC ? DP ? 0, AC ? DB ? 0 , ∴AC⊥DP,AC⊥DB,∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 AEC ? 平面PDB . (Ⅱ)当 PD ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

?1 1 2 ? a , a , a? 2 AB 且 E 为 PB 的中点时, P 0, 0, 2a , E ? ?2 2 ?, 2 ? ?

?

?

设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角,

? ? ?1 1 2 ? ??? 2 ? a , ? a , ? a , EO ? 0, 0, ? a?, ? ? ?2 ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? EA ? EO 2 ∴ cos ?AEO ? ??? , ? ??? ? ? 2 EA ? EO
∵ EA ? ?

??? ?

∴ ?AOE ? 45 ,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 .

?

?

? 多面体 ABCDEF 的体积为 VE—ABCD+VE—BCF= 2 2
5、解:方法(一) : (1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD. 因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD, 所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PC D. (2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以A B∥平面PCD,则AB∥MN∥CD, 由(1)知,PD⊥平面ABM,则 MN 是 PN 在平面 ABM 上 的射影, 所以
A N D y z P M

?P N M就是 PC 与平面 ABM 所成的角,
O

且 ?PNM ? ?PCD

tan ?PNM ? tan ?PCD ?
所求角为 arctan 2 2

PD ?2 2 DC

B x

C

(3)因为 O 是 BD 的中点,则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半,由 (1)知,PD⊥平面ABM于 M,则|DM|就是 D 点到平面 ABM 距离. 因为在 Rt△PAD 中, PA ? AD ? 4 , PD ? AM ,所以 M 为 PD 中点, DM ? 2 2 ,则 O 点 到平面 ABM 的距离等于 2 。 方法二: (1)同方法一; ( 2 )如图所示,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0) , P(0,0, 4) , B(2,0,0) , C (2,4,0) ,

D(0,4,0) , M (0,2,2) ,

设平面 ABM 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,由 n ? AB n , ? AM

?

?

??? ??

???? ?

可得:?

??? ? ? ? PC ? n 2 2 则 y ? 1 ,即 n ? (0,1, ?1) .设所求角为 ? ,则 sin ? ? ??? , ? ? ? 3 PC n
所求角的大小为 arcsin

? 2x ? 0 ,令 z ? ?1 , ?2 y ? 2 z ? 0

2 2 . 3

???? ? ??? ? AO ? n (3)设所求距离为 h ,由 O(1, 2,0), AO ? (1, 2,0) ,得: h ? ? ? 2 n
6、 【解析】解法一: 因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,BC⊥AB,平面 ABEF∩平面 ABCD=AB, 所以 BC⊥平面 ABEF. 所以 BC⊥EF. 因为⊿ABE 为等腰直角三角形,AB=AE, 所以∠AEB=45°, 又因为∠AEF=45, 所以∠FEB=90°,即 EF⊥BE. 因为 BC ? 平面 ABCD, BE ? 平面 BCE, BC∩BE=B 所以 EF ? 平面BCE …………………………………………6 分 (II)取 BE 的中点 N,连结 CN,MN,则 MN

1 AB 2

PC

∴ PMNC 为平行四边形,所以 PM∥CN. ∵ CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内, ∴ PM∥平面 BCE. …………………………………………8 分 (III)由 EA⊥AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,易知 EA⊥平面 ABCD. 作 FG⊥AB,交 BA 的延长线于 G,则 FG∥EA.从而 FG⊥平面 ABCD, 作 GH⊥BD 于 H,连结 FH,则由三垂线定理知 BD⊥FH. ∴ ∠FHG 为二面角 F-BD-A 的平面角. ∵ FA=FE,∠AEF=45°, ∠AEF=90°, ∠FAG=45°. 设 AB=1,则 AE=1,AF=

1 2 ,则 FG ? AF ? sin FAG ? 2 2
1 3 = , 2 2

在 Rt⊿BGH 中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+

GH ? BG ? sin GBH ?

3 2 3 2 , ? ? 2 2 4 FG 2 , ? GH 3 2 3

在 Rt⊿FGH 中, tan FHG ?

∴ 二面角 F ? BD ? A 的大小为 arc tan

…………………………………………12 分 解法二: 因 ?ABE 等腰直角三角形, AB ? AE ,所以 AE ? AB 又因为平面 ABEF ? 平面ABCD ? AB ,所以 AE ⊥平面 ABCD , 所以 AE ? AD 即 AD 、AB 、AE 两两垂直;如图建立空间直角坐标系, (I) 设 AB ? 1 ,则 AE ? 1 , B(0,1,0), D(1,0,0), E (0,0,1), C (1,1,0) ∵ FA ? FE, ?AEF ? 45? ,∴ ?AFE=90 ,
0

1 1 2 2 1 1 EF ? (0,? ,? ) , BE ? (0,?1,1), BC ? (1,0,0) 2 2 1 1 于是 EF ? BE ? 0 ? ? ? 0 , EF ? BC ? 0 2 2
从而 F(0,- , ) ∴

EF ⊥ BE , EF ⊥ BC

∵ BE ? 平面 BCE , BC ? 平面 BCE , BC ? BE ? B ∴ EF ? 平面BCE (II) M (0,0, ), P(1, ,0) ,从而 PM ? (?1,? 于是 PM ? EF ? (?1,?

1 2

1 2

1 1 , ) 2 2

1 1 1 1 1 1 , ) ? (0,? ,? ) ? 0 ? ? ? 0 2 2 2 2 4 4 ∴ PM ⊥ EF ,又 EF ⊥平面 BCE ,直线 PM 不在平面 BCE 内, 故 PM ∥平面 BCE
(III)设平面 BDF 的一个法向量为 n1 ,并设 n1 =( x, y, z )

3 1 BD ? (1,?1,0), BF ? (0,? , ) 2 2

? ?n1 ? BD ? 0 ? ? ?n1 ? BF ? 0

?x ? y ? 0 ? 即? 3 1 ? y? z ?0 ? 2 ? 2

取 y ? 1 ,则 x ? 1 , z ? 3 ,从而 n1 =(1,1,3) 取平面 ABD D 的一个法向量为 n2 ? (0,0,1)

cos ? n1、 n2 ??

n1 ? n2 n1 ? n2

?

3 11 ? 1

?

3 11 11

故二面角 F ? BD ? A 的大小为 arccos

3 11 11

7、 (Ⅰ)证发 1:连接 BD,由底面是正方形可得 AC ? BD。

? SD ? 平面ABCD,? BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影,
由三垂线定理得 AC ? BE. (II)解法 1:? SD ? 平面 ABCD,CD ? 平面ABCD,? SD ? CD. 又底面ABCD是正方形,? CD ? AD,又SD ? AD=D,? CD ? 平面 SAD。 过点 D 在平面 SAD 内做 DF ? AE 于 F,连接 CF,则 CF ? AE, 故 ? CFD 是二面角 C-AE-D 的平面角,即 ? CFD=60° 在 Rt△ADE 中,? AD= a , DE= ? a , AE= a 于是,DF=

?2 ? 1 。

AD ? DE ?a ? AE ?2 ? 1 DF ? ? CD ?2 ? 1

在 Rt△CDF 中,由 cot60°=



? ? ?1
2

?

3 , 3

即 3?2 ? 3 =3 ?

? ? (0,1] , 解得 ? =

2 2

8、解:(Ⅰ)如图所示,由正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的性质知 AA1 ? 平面 ABC .

? A1 E, AA1 ? A1E ? A1 , 又 DE ? 平面 ABC,所以 DE ? AA 1 .而 DE
所以 DE⊥平面 ACC1 A1 .又 DE ? 平面 A 1DE , 故平面 A 1. 1DE ⊥平面 ACC1 A

F, (Ⅱ)解法 1: 过点 A 作 AF 垂直 A 1E 于点
连接 DF.由(Ⅰ)知,平面 A 1, 1DE ⊥平面 ACC1 A

? ADF 是直线 AD 和 所以 AF ? 平面 A 1DE ,故 ? ACC1 A1 , 平面 A 1DE 所成的角。 因为 DE
所以 DE ? AC.而 ? ABC 是边长为 4 的正三角形, 于是 AD= 2 3 ,AE=4-CE=4- CD =3.

1 2

A1 E ? 又因为 AA 1 E= 1 ? 7 ,所以 A

AA12 ? AE 2 ? ( 7) 2 ? 32 = 4,

AF ?

AF 21 AE ? AA1 3 7 , sin ?ADF ? . ? ? AD 8 A1E 4

即直线 AD 和平面 A 1DE 所成角的正弦值为

21 8

.

解法 2 : 如图所示,设 O 是 AC 的中点,以 O 为原点建立空间直角坐标系, 则相关各点的坐标分别是 A(2,0,0,),

A1 (2,0, 7 ), D(-1,

3 ,0), E(-1,0,0).
????

易知 A , DE =(0,- 3 ,0) , AD =(-3, 3 ,0). 1D =(-3, 3 ,- 7 ) 设 n ? ( x, y, z) 是平面 A 1DE 的一个法向量,则

???? ?

????

r

r uuu v ? ?n ? DE ? ? 3 y ? 0, ? r uuu v n ? A D ? ?3x ? 3 y ? 7 z ? 0. ? ? 1
解得 x ? ?

7 z, y ? 0 . 3

r 故可取 n ? ( 7,0, ?3) .于是

r uuu r r uuu r n ? AD ?3 7 21 cos n, AD ? r uuu ?? r = 8 n ? AD 4 ? 2 3

.

由此即知,直线 AD 和平面 A 1DE 所成角的正弦值为 所以 ME 与 BN 不共面,它们是异面直线。

21 8

.

……..12 分

9、 【解析】解法一: 因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,BC⊥AB,平面 ABEF∩平面 ABCD=AB, 所以 BC⊥平面 ABEF. 所以 BC⊥EF. 因为⊿ABE 为等腰直角三角形,AB=AE, 所以∠AEB=45°, 又因为∠AEF=45, 所以∠FEB=90°,即 EF⊥BE. 因为 BC ? 平面 ABCD, BE ? 平面 BCE, BC∩BE=B 所以 EF ? 平面BCE (II)取 BE 的中点 N,连结 CN,MN,则 MN ………………6 分

1 AB 2

PC

∴ PMNC 为平行四边形,所以 PM∥CN.

∵ CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内, ∴ PM∥平面 BCE. …………………………………………8 分 (III)由 EA⊥AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,易知 EA⊥平面 ABCD. 作 FG⊥AB,交 BA 的延长线于 G,则 FG∥EA.从而 FG⊥平面 ABCD, 作 GH⊥BD 于 H,连结 FH,则由三垂线定理知 BD⊥FH. ∴ ∠FHG 为二面角 F-BD-A 的平面角. ∵ FA=FE,∠AEF=45°,∠AEF=90°, ∠FAG=45°. 设 AB=1,则 AE=1,AF=

1 2 ,则 FG ? AF ? sin FAG ? 2 2 1 3 = , 2 2

在 Rt⊿BGH 中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+

GH ? BG ? sin GBH ?

3 2 3 2 , ? ? 2 2 4 FG 2 , ? GH 3 2 ………………12 分 3

在 Rt⊿FGH 中, tan FHG ?

∴ 二面角 F ? BD ? A 的大小为 arc tan

解法二: 因 ?ABE 等腰直角三角形, AB ? AE ,所以 AE ? AB 又因为平面 ABEF ? 平面ABCD ? AB ,所以 AE ⊥平面 ABCD ,所以 AE ? AD 即 AD 、AB 、AE 两两垂直;如图建立空间直角坐标系, (I) 设 AB ? 1 ,则 AE ? 1 , B(0,1,0), D(1,0,0), E (0,0,1), C (1,1,0)

∵ FA ? FE, ?AEF ? 45? ,∴ ?AFE=90 ,
0

从而 F(0,- , )

1 1 2 2

1 1 EF ? (0,? ,? ) , BE ? (0,?1,1), BC ? (1,0,0) 2 2 1 1 于是 EF ? BE ? 0 ? ? ? 0 , EF ? BC ? 0 2 2


EF ⊥ BE , EF ⊥ BC

∵ BE ? 平面 BCE , BC ? 平面 BCE , BC ? BE ? B ∴ EF ? 平面BCE (II) M (0,0, ), P(1, ,0) ,从而 PM ? (?1,? 于是 PM ? EF ? (?1,?

1 2

1 2

1 1 , ) 2 2

1 1 1 1 1 1 , ) ? (0,? ,? ) ? 0 ? ? ? 0 2 2 2 2 4 4 ∴ PM ⊥ EF ,又 EF ⊥平面 BCE ,直线 PM 不在平面 BCE 内, 故 PM ∥平面 BCE
(III)设平面 BDF 的一个法向量为 n1 ,并设 n1 =( x, y, z )

3 1 BD ? (1,?1,0), BF ? (0,? , ) 2 2

? ?n1 ? BD ? 0 ? ? ?n1 ? BF ? 0

?x ? y ? 0 ? 即? 3 1 ? y? z ?0 ? 2 ? 2

取 y ? 1 ,则 x ? 1 , z ? 3 ,从而 n1 =(1,1,3) 取平面 ABD D 的一个法向量为 n2 ? (0,0,1)

cos ? n1、 n2 ??

n1 ? n2 n1 ? n2

?

3 11 ? 1

?

3 11 11

故二面角 F ? BD ? A 的大小为 arccos

3 11 11

10、解法一:(Ⅰ)? AB ? DC, DC ? 平面 EFCD , ? AB 到面 EFCD 的距离等于点 A 到面

EFCD 的距离, 过点 A 作 AG ? FD 于 G, 因 ?BAD ?

?
2

AB ∥ DC , D ? A D 故C

; 又? FA ?

平面 ABCD ,由三垂线定理可知, CD ? FD ,故 CD ? 面FAD ,知 CD ? AG ,所以 AG 为 所求直线 AB 到面 EFCD 的距离。 在 Rt △ ABC 中, FD ?

FC2 ? CD2 ? 9 ? 4 ? 5

由 FA ? 平面 ABCD ,得 FA ? AD,从而在 Rt △FAD 中, FA ?

FD2 ? AD2 ? 5 ? 4 ? 1

? AG ?

2 5 FA ? AD 2 2 5 。即直线 AB 到平面 EFCD 的距离为 。 ? ? 5 FD 5 5

(Ⅱ) 由己知,FA ? 平面 ABCD , 得 FA ? AD, 又由 ?BAD ? 平面 ABFE

?
2

D ? A B , 知A

, 故 AD ?

? DA ? AE ,所以, ?FAE 为二面角 F ? AD ? E 的平面角,记为 ? .
在 Rt △ AED 中 , AE ?

ED2 ? AD2 ? 7 ? 4 ? 3 , 由 ? ABCD 得 , FE ? BA , 从 而

?AFE ?

?
2

在 Rt △ AEF 中, FE ?

AE2 ? AF 2 ? 3 ?1 ? 2

,故 tan ? ?

FE ? 2 FA
z F E

所以二面角 F ? AD ? E 的平面角的正切值为 2 . 解法二:

??? ? ???? ??? ? (Ⅰ)如图以 A 点为坐标原点, AB, AD, AF 的方向为
x, y, z 的正方向建立空间直角坐标系数,则
x B A

G

C

D y

??? ? ??? ? A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设 F (0,0, z0 ) ( z0 ? 0) 可得 FC ? (2, 2, ? z0 ) ,由 | FC |? 3 .即
2 2 2 ? 2 2 ? z0 ? 3 ,解得 F (0, 0,1) ? AB ∥ DC ,

DC ? 面 EFCD ,所以直线 AB 到面 EFCD 的距离等于点 A 到面 EFCD 的距离。 设 A 点在 ???? ???? ???? ??? ? ???? 平面 EFCD 上的射影点为 G( x1 , y1 , z1 ) ,则 AG ? ( x1 , y1 , z1 ) 因 AG ? DF ? 0 且 AG ? CD ? 0 ,而

???? DF ? (0, ?2,1)
??? ? ? ?2 y1 ? z1 ? 0 解得 x1 ? 0 ① ,知 G 点在 yoz 面上,故 G 点在 FD 上. CD ? (?2,0,0) ,此即 ? ? ?2 x1 ? 0 ? ??? ? ???? ??? y 2 4 GF ? DF , GF ? (?x1 , ? y1, ?z1 ?1) 故有 1 ? ? z 1 ?1 ② 联立①,②解得, G (0, , ) 2 5 5
.

???? ???? 2 4 ? | AG | 为直线 AB 到面 EFCD 的距离. 而 AG ? (0, , ) 5 5
(Ⅱ)因四边形 ABFE 为平行四边形,则可设 E( x0 ,0,1)

所以 | AG |?

????

2 5 5

??? ? ( x0 ? 0) , ED ? (?x0 2, ?1) .由

??? ? ??? ? 2 ? 22 ? 1 ? 7 ,解得 x 0 ? ? 2 .即 E(? 2,0,1) .故 AE ? (? 2,0,1) | ED |? 7 得 x0
由 AD ? (0, 2,0) , AF ? (0,0,1) 因 AD ? AE ? 0 , AD ? AF ? 0 , 故 ?FAE 为 二 面 角

????

??? ?

???? ??? ?

???? ??? ?

F ? AD ? E 的 平 面 角 , 又 ? EF ? ( 2,0,0) , | EF |? 2 , | AF |? 1 , 所 以

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? | EF | ? ? 2 tan ?FAE ? ??? | FA |
1111

11.解:(1)因为∠DAB=60° ,AB=2AD,由余弦定理得 BD ? 3 AD . 从而 BD2+AD2=AB2,故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD. 所以 BD⊥平面 PAD.故 PA⊥BD. (2)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标

系 Dxyz.则 A(1,0,0),B(0, 3 ,0),C(-1, 3 ,0),P(0,0,1).

??? ? ??? ? ??? ? AB =(-1, 3 ,0), PB =(0, 3 ,-1), BC =(-1,0,0). ??? ? ? n ? AB ?0 ? 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),则 ? ??? ? ? ?n ? PB ? 0 ? ?? x ? 3 y ? 0 即? ? ? 3y ? z ? 0
因此可取 n=( 3 ,1, 3 ).

??? ? ? ?m ? PB ? 0 设平面 PBC 的法向量为 m,则 ? ??? ? ? ?m ? BC ? 0
可取 m=(0,-1,- 3 ), cos m, n ? 故二面角 APBC 的余弦值为 ?

?4 2 7 . ?? 7 2 7

2 7 . 7

12.解:以 H 为原点, HA, HB, HP 分别为 x, y, z 轴, 线段 HA 的长为单位长,建立空间直角坐标系如图,则

A(1,0,0), B(0,1,0)

(Ⅰ)设 C (m,0,0), P(0,0, n)(m ? 0, n ? 0)

1 m D( 0 m , , 0E ), ( , , 0). 2 2 1 m ,n ) BC , ? m( ? , 1 , 0 ) . 可得 PE ? ( , ? 2 2 m m 因为 PE ? BC ? ? ? 0 ? 0 2 2 所以 P E ? B C
则 (Ⅱ)由已知条件可得 m ? ?

3 3 , n ? 1, 故 C( ? ,0,0) 3 3 ,P0 ) , ( 0 , 0 , 1)

D( 0 ? ,

3 1 3 , 0E ), ? ( , 3 2 6

设 n ? ( x, y, x) 为平面 PEH 的法向量



? ?n ? H E? ,o ? ? ?n ? H P? ,o

? 1 x ? 3 y ?0 ?2 6 即? ? ? z?0

因此可以取 n ? (1, 3,0) , 由 PA ? (1,0, ?1) ,

??? ?

可得

? ? ?? 2 c o sP A n , ? 4 2 4

所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为


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