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高三复习:直线与圆

时间:2015-01-21


高三数学复习 解析几何(一)直线与圆

【知识点精析】 1. 直线斜率的概念: (1)直线的倾斜角:当直线 l 与 x 轴相交时,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成 的角α 叫做直线 l 的倾斜角。当直线和 x 轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为 0?。因 此,直线的倾斜角α 的取值范围是____ (2)直线的斜率:倾斜角α ≠90?的直线,它的倾斜角的正

切叫做这条直线的斜率, 常用 k 表示,即_______。 (3)求直线斜率的方法: ①定义法:已知直线的倾斜角为α ,且α ≠90?,则斜率 k=tanα ②公式法:已知直线过两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),且 x1≠x2,则斜率 k=___ 说明:平面直角坐标系内,每一条直线都有倾斜角, 但不是每一条直线都有斜率。斜率的图象如图: 2. 直线方程的几种形式: 条件 方程 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 3. 两条直线的位置关系: (1)当直线方程为 l1 : y ? k1 x ? b1 、 l2 : y ? k 2 x ? b2 时, 若 l1 ∥ l 2 ,则 k1 ? k 2且b1 ? b2 ; 若 l1 ⊥ l 2 ,则 k1 ? k 2 ? ?1 。

和直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系方程为_________ 4.距离公式: (1)两点 P1 ?x1 , y1 ? P2 ?x2 , y2 ? 之间的距离为________ (2)点 P ?x0 , y0 ? 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离为: _____ (3)两条平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0、l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离为:_____ 5.圆的标准方程:_____________________ 圆的一般方程:_____________________ 6、直线与圆的位置关系 相交 相切 图形 几何法 代数法 7、圆与圆的位置关系 外离 图形 几何法 代数法 【解题方法指导】 一、求直线方程的一般方法

相离

外切

相交

内切

内含

(1)直接法

(2)待定系数法

例1. (2012年天津)过点 P?2,3? ,并且在两坐标轴上截距相等的直线方程是___ ___

(2)当两直线方程为 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0、l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 时, 若 l1 ∥ l 2 ,则 A1 B2 ? A2 B1且B1C2 ? B2 C1 ; 若 l1 ⊥ l 2 ,则 A1 A2 ? B1 B2 ? 0 。 变式1: (2012湖南) 直线l通过两直线 7 x ? 5 y ? 24 ? 0 和 x ? y ? 0 的交点,且点 ) D. x ? 3 y ? 4 ? 0

说明:利用斜率来判断两条直线的位置关系时,必须是在两直线斜率都存在的前提下 才行,否则就会得出错误结论,而利用两条直线的一般式方程的系数来判断不用讨论。 (3)直线系方程 和直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程为_________
1

(5,1)到直线l的距离为 10 ,则l的方程是( A. 3x ? y ? 4 ? 0 B. 3x ? y ? 4 ? 0

C. 3x ? y ? 4 ? 0

高三数学复习 解析几何(一)直线与圆

二、两条直线位置关系的确定 例2. 已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 与直线 l 2 : x ? ?a ? 1?y ? a 2 ? 1 ? 0 (1) 试判断两直线是否平行 (2) 两直线垂直时,求a的值

变式4.过点C(-1,1)和D(1,3) ,圆心在x轴上的圆的方程是____

五、直线被圆截得的弦长问题 例5、 过原点且倾斜角为60度的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦长为______

变式2: 已知直线 l1 : ?a ? 1?x ? y ? 2 ? 0 与直线 l 2 : ax ? ?2a ? 2?y ? 1 ? 0 互相垂直, 则实数 a 的值为( ) A. -1 或 2 三、距离问题 B. -1 或-2 C. 1 或 2 D. 1 或-2

变式5、已知点P(4,0)和圆C: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 ,求过点P且被圆C截得弦长 为 2 3 的直线l的方程

例3. 已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆C: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ,则C上各点到l的距离的 最小值为_____ 变式6、已知点P(0,5)和圆C: x 2 ? y 2 ? 4x ? 12y ? 24 ? 0 ,求过点P且被圆C截得 弦长为 4 3 的直线l的方程

变式3:已知点P是曲线 y ? x ? ln x 上的一个动点,则点P到直线 l : y ? x ? 2 的距离的
2

最小值为( A. 1 B.



2 C.

2 D. 2

3

四、利用待定系数法求圆的方程 例4、设圆心在直线 y ? ?4 x 上,并且与直线 l : x ? y ? 1 ? 0 相切于点 P(3,?2) 的圆的方程 六、数形结合的思想方法 例6、 (2010湖北)若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则b的取值范 围是( A. 1 ? 2 2,1 ? 2 2
2

?



?

B. 1 ? 2,3

?

?

C. ? 1,1 ? 2 2

?

?

D. 1 ? 2 2 ,3

?

?

高三数学复习 解析几何(一)直线与圆

直线与圆的方程综合练习
2 2 1、经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是 _____

相交于 A、B 两点,且弦长为 2 3 ,则 a=__________。

3?、B?3, 2? ,若直线 ax ? y ? 2 ? 0 与线段AB有交点,则 a 的取值范围是 9 、设点 A?? 2,
( )
5? ?4 ? ? ? ??? , ? ?? ? ? ?, 2? ?3 ? A. ? ? 5 4? ?? , ? C. ? 2 3 ? ? 4 5? ?? 3 , 2? ? B. ? 4? ?5 ? ? ? ??? , ? ?? ? ? ?, 3? ?2 ? D. ?

2、 (辽宁理,4)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上, 则圆 C 的方程为( ) A. ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2
2 2 2 2 C. ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2

B. ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2 2 2 D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2

2 2 3、 (重庆理,1)直线 y ? x ? 1 与圆 x ? y ? 1的位置关系为(

) D.相离

A.相切

B.相交但直线不过圆心

C.直线过圆心

10、. 设 a ? b ? k ( k 为常数),则直线 ax ? by ? 1 恒过定点___________。 11、 .若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是( A.[-3,-1] B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 与 y ? kx ? 1 有两个交点,则 k 的取值范围是___________。 )

4 、 ( 西 南 师 大 附 中 高 2009 级 第 三 次 月 考 )“a= 3” 是 “ 直 线 a x ? 2 y ? 1 ? 0 与 直 线
6 x ? 4 y ? c ? 0平行”的(

)条件 B.充分而不必要 D.既不充分也不必要

C.[-3,1] 12、. 若直线

A.充要 C.必要而不充分

y? x

5、 (上海文,15)已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0, 与l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0, 平行,则 k 得值是( A. 1或3 ) B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2

13、. 直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 关于点 ?1,?1? 对称的直线方程是( A. 3x ? 2 y ? 2 ? 0 C. 3x ? 2 y ? 12 ? 0 B. 2 x ? 3 y ? 7 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 8 ? 0



6、已知点 A(1,2),B(3,2),以线段 AB 为直径作圆 C,则直线 l:x+y-3=0 与圆 C 的位置关系是( ) B.相交但不过圆心 D.相离 )

A.相交且过圆心 C.相切

14.圆 x2+y2-2x-1=0 关于直线 2x-y+3=0 对称的圆的方程是( 1 A.(x+3)2+(y-2)2= 2 B.(x-3)2+(y+2)2= 1 2

)

7、直线 x+ 3y-2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度等于( A.2 5 C. 3 B.2 3 D.1

C.(x+3)2+(y-2)2=2 D.(x-3)2+(y+2)2=2

8、 (湖南省长沙市一中 2008 届高三第六次月考)设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆(x-1)2+(y-2)2=4
3


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