nbhkdz.com冰点文库

汕头市金山中学2012-2013学年度第一学期期末考试理科数学试题及答案


汕头市金山中学 2012-2013 学年度第一学期期末考试

高三理数
第Ⅰ卷 (选择题 共 40 分)

2012 年12 月

本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟.

一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在

每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.设集合 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 } 则 CU M ?

??? ? ??? ? ??? ? 2.若向量 BA =(2,3) CA =(4,7) , ,则 BC =
A. (-2,-4) B.(2,4) C.(6,10)

A.U

B.{1,3,5}

C.{3,5,6} D.{2,4,6}

D.(-6,-10)
x

3.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 A. y ? ln( x ? 2) B. y ? ? x ? 1

?1? C.y= ? ? ?2?

D. y ? x ?

1 x

4.一空间几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积为

12? ?
A. 5

8 5 ,则正视图中 x 的值为 3
B. 4 C. 3 D. 2
x

3

3

x

5.已知实数 a, b 满足 ? 1 ? a ? 1,?1 ? b ? 1 ,则函数
4 4 侧视图

y?

1 3 x ? ax 2 ? bx ? 5 有极值的概率是 3 1 1 2 A. B. C. 4 2 3

正视图

D.

3 4

俯视图 图2

6. △ABC 中, 已知 cosA= A.

16 65

B.

56 65

5 3 , sinB= , cosC 的值为 则 ( 13 5 16 56 16 C. 或 D. ? 65 65 65

7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是 A.

4 9

B.

1 3

C.

2 9

D.

1 9

a b a b 8.设 a ? 0, b ? 0 . A.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a ? b B.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a ? b

a b a b C.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a ? b D.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a ? b

第Ⅱ卷 (非选择题

共 110 分)

二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 9. 设平面向量 a =(-2, b =(λ, 1), -1), a 与 b 的夹角为钝角, λ 的取值范围是______. 若 则 10.已知某位同学五次数学成绩分别是:121,127,123, a ,125,若其平均成绩是 124, 则这组 数据的方差是_______.
2 11.已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 4 ,则 an ?

。 C

12.如图,在圆 O 中,若弦 AB=3,弦 AC=5,则 AO · =_______. BC

??? ??? ? ?

AC ? _______, ks5u 13.已知在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A ,则 cos A AC 的取值范围为________.
14.设 N ? 2 n (n ? N ? , n ? 2) ,将 N 个数 x1 , x2 ,? x N 依次放入编号为

O A B (第 12 题)

1,2, ?, N 的 N 个位置, 得到排列 P0 ? x1 x2 ? x N .将该排列中分别位于奇数
与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前

N N 和后 个位置,得到排列 2 2
N 个数, 2

P ? x1 x3 ? x N ?1 x2 x4 ? x N ,将此操作称为 C 变换,将 P 分成两段,每段 1 1
i 并对每段作 C 变换,得到 P2 ;当 2 ? i ? n ? 2 时,将 Pi 分成 2 段,每段

N 个数, 2i

并对每段作 C 变换,得到 Pi ?1 ,例如,当 N ? 8 时, P2 ? x1 x5 x3 x7 x2 x6 x4 x8 ,此时

x7 位于 P2 中的第 4 个位置.
(1)当 n ? 16 时, x7 位于 P2 中的第___个位置; (2)当 N ? 2 (n ? 8) 时, x173 位于 P4 中的第___个位置.
n

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 12 分)

00 已知函数 f ( x) ? A sin(x? ? )(A? ,? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图象经过点

?π 1? M ? , ?. ? 3 2?

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值.ks5u 5 13

16. (本小题满分12分) 2012年3月2日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中的 PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方 米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数 据,数据统计如下: PM2.5(微克/立方 组别 米) 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 (0,15] (15,30] (30,45] (45,60] (60,75] (75,90) 4 12 8 8 4 4 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 频数(天) 频率

(Ⅰ) 请你根据上表的数据统计估计该样本的众数和中位数(不必写出计算过程); (Ⅱ)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的年平均浓度考虑,判 断该居民区的环境是否需要改进?说明理由;

(Ⅲ)将频率视为概率,对于去年的某 2 天,记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均 浓度符合环境空气质量标准的天数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ? . 17. (本小题满分 14 分) 某啤酒厂为适应市场需要, 2011 年起引进葡萄酒生产线, 同时生产啤酒和葡萄酒, 2011

年啤酒生产量为 16000 吨,葡萄酒生产量 1000 吨。该厂计划从 2012 年起每年啤酒的生产 量比上一年减少 50%,葡萄酒生产量比上一年增加 100%,试问: (1)哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低? (2)从 2011 年起(包括 2011 年) ,经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄 酒生产总量之和的

2 ?(生产总量是指各年年产量之和) 3

18. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? na n ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)求数列 n 2 an 的前 n 项和 Tn ; (3)若存在 n ? N ,使关于 n 的不等式 an ? (n ? 1)? 成立,求常数 ? 的最小值。
?

n ?1 a n ?1 (n ? 1, n ? Z ) 。 2

?

?

19. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln x ?

a 1 在 ( 0, ) 内有极值.(注: e 是自然对数的底数.) x ?1 e 1 . e

(I)求实数 a 的取值范围; (II)若 0 ? x1 ? 1 , x2 ? 1 ,求证: f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? e ? 2 ? 20. (本小题满分 14 分)

? 1? 设函数 f ( x) ? ?1 ? ? (n ? N , 且n ? 1, x ? R) . ks5u ? n? ? 1? (Ⅰ)当 x=6 时, 求 ?1 ? ? 的展开式中二项式系数最大的项; ? n?
(Ⅱ)对任意的实数 x, 证明
x

x

f ( 2 x ) ? f ( 2) > f ?( x)( f ?( x)是f ( x)的导函数); 2

(Ⅲ)是否存在 a ? N , 使得 an<

? 1? ? ?1 ? k ? < (a ? 1)n 恒成立? 若存在, 试证明你的结论 ? k ?1 ?
n

k

并求出 a 的值;若不存在, 请说明理由. ks5u

2012-2013 学年度第一学期期末考试 一、选择题(40 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 C

★ 高三理科数学 参考答案

5 C

6 A

7 D

8 A

二、填空题(30 分) 9 . (?

1 ,2) ? (2,?? ) 10 . 4 2

11 . 2n ? 1

12 . 8

13 . 2; ( 2, 3)

14. 6;3 ? 2 n?4 ? 11. 三、解答题(80 分)

n i( 15. (1) 解: 依题意有 A ? 1 , f ( ) ? 则 x s
而 0 ? ? ? ? ,? 分) (2)依题意有 cos ? ? 而 ? , ? ? (0,

? 1 ? 1 x ) ?? , 将点 M ( , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , 3 2 3 2

?

5 ? ? ? ? ? ? , 分)?? ? ,故 f ( x) ? sin(x ? ) ? cos x ; (4 (6 3 6 2 2

3 12 , cos ? ? , 5 13

3 4 12 5 ) ,?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , (10 分) 2 5 5 13 13 3 12 4 5 56 ? ? ? 故 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? .(12 分) 5 13 5 13 65
16.解:(Ⅰ) 众数约为 22.5 微克/立方米, 中位数约为 37.5 微克/立方米.(2 分) (Ⅱ)去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为

?

7.5 ? 0.1 ? 22.5 ? 0.3 ? 37.5 ? 0.2 ? 52.5 ? 0.2 ? 67.5 ? 0.1 ? 82.5 ? 0.1 ? 40.5 (微克/立方
米).( 因为 40.5 ? 35 ,所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居 民区的环境需要改进.(5 分)

(Ⅲ)记事件 A 表示“一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准”,

9 9 .随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2.且? ~ B (2, ) . 10 10 9 2?k k 9 k 所以 P(? ? k ) ? C2 ( ) (1 ? ) (k ? 0,1, 2) ,ks5u 10 10 所以变量 ? 的分布列为 ? 0 1 2
则 P ( A) ?
p

1 100

18 100

81 100

1 18 81 9 ? 1? ? 2? ? 1.8 (天)或 E? ? nP ? 2 ? ? 1.8 (天).(12 分) 100 100 100 10 17. 解: 设从 2011 年起, 该车第 n 年啤酒和葡萄酒年生产量分别为 an 吨和 bn 吨, 经过 n 年 后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为 An 吨和 Bn 吨。 ( 1 ) 设 第 n 年 啤 酒 和 葡 萄 酒 生 产 的 年 生 产 量 为 Dn 吨 , 依 题 意 , E? ? 0 ?
an ? 16000(1 ? 50%)n?1 =
32000 , 2n ( , ··········· ······· ·········· ······· bn ? 1000(1 ? 100%)n?1 = 500 ? 2n , n ? N * ) ··················2 分 32000 64 64 n n n + 500 ? 2 = 500( n ? 2 ) ? 500 ? 2 n ? 2 ? 8000 , n 2 2 2

则 Dn ? an ? bn = 当且仅当

64 ? 2n ,即 n ? 3 时取等号, n 2

故 2013 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低,为 8000 吨。 ············6 分 ··········· · ·········· ·

Bn 2 ? ,得 Bn ? 2 An , An ? Bn 3 1 16000[1 ? ( ) n ] 1000[1 ? 2n ] 2n ? 1 2 ? 1000(2n ? 1) , ∵ An ? ? 32000 ? n , Bn ? 1 1? 2 2 1? 2 2n ? 1 n ∴ 1000(2 ? 1) ? 32000 ? n ? 2 , 2 n n 6 ∵ 2 ? 1 ? 0 ,∴ 2 ? 64 ? 2 ,∴ n ? 6 , 2 从第6 年起, 葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的 。 … 3
(2)依题意, 12 分 18. 解: (Ⅰ)因为 a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? ? ? na n ?

n ?1 a n ?1 (n ? N ? ) 2

所以 a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)a n ?1 ? 两式相减得 na n ? 所以

n ?1 n a n ?1 ? a n 2 2

n a n (n ? 2) 2

- ks5u -------1 分

(n ? 1)a n ?1 ------------2 分 ? 3(n ? 2) nan 因此数列 ?nan ?从第二项起,是以 2 为首项,以 3 为公比的等比数列
所以 nan ? 2 ? 3n?2 (n ? 2) ----3 分

?1, n ? 1 ? 故 an ? ? 2 n?2 ?n ? 3 , n ? 2 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)可知当 n ? 2 n 2 an ? 2n ? 3n?2
当 n ? 2 时, Tn ? 1 ? 4 ? 30 ? 6 ? 31 ? ? ? ? ? 2n ? 3n?2 ,

------------4 分

------------5 分 ------------6 分 ------------7 分 ------------8 分 ------------9 分 ------------10 分

?3Tn ? 3 ? 4 ? 31 ? ? ? ? ? 2(n ? 1) ? 3n?2 ? 2n ? 3n?1 , 1 1 n ?1 两式相减得 Tn ? ? (n ? )3 (n ? 2) 2 2 又? T1 ? a1 ? 1也满足上式, 1 1 n ?1 ? 所以 Tn ? ? (n ? )3 (n ? N ) 2 2 a (Ⅲ) an ? (n ? 1)? 等价于 ? ? n , n ?1 a 2 ? 3n?2 由(Ⅰ)可知当 n ? 2 时, n ? n ? 1 n(n ? 1) n(n ? 1) (n ? 2, n ? N ? ), 设 f ( n) ? n?2 2?3 n(n ? 1)(1 ? n) ?0, 则 f (n ? 1) ? f (n) ? 2 ? 3 n ?1 1 1 1 1 1 a ? ? ? 及 1 ? , ,又 2 2 f (n ? 1) f (n) f (2) 3 1 1 ? 所求实数 ? 的取值范围为 ? ? , ? min ? 3 3
分 19 解: (I)函数 f ( x) ? ln x ?

------------12 分 ------------13 分 - ks5u -----14

a 的定义域是 (0,1) ? (1,??) ; x ?1 1 x 2 ? (a ? 2) x ? 1 2 ,当 x ? (0, ) 时,有 x( x ? 1) ? 0 ,所以,由上式分子是 f ?( x) ? 2 e x( x ? 1)

二次函数,题意就转化为 g ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 在 x ? (0, ) 有解且符合极值点要

1 e

1 ,由 ? ? ? ? a ? 2 且 ?? ? 1 可得 e 1 1 a?2 1 ? 1 ? 0 ,得 a ? e ? ? 2 . ? ? e ;因此,只要 g (0) ? 1 ? 0 , g ( ) ? 2 ? e e e e (II)由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? ? 或 x ? ? ;由 f ?( x) ? 0 得 ? ? x ? 1 或 1 ? x ? ? ; 所以得 f (x) 在 (0, ? ) 内递增,在 (? ,1) 内递减,在 (1, ? ) 内递减,在 (? ,??) 递增. a 由 0 ? x1 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f (? ) ? ln ? ? ,由 x2 ? 1 得 ? ?1 a f ( x 2 ) ? f ( ? ) ? ln ? ? , 所以, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? ) ? f (? ) , ? ? ? ? a ? 2 由 ? ?1 1 1 且 ?? ? 1 得 f ( ? ) ? f (? ) ? 2 ln ? ? ? ? ,由 ? ? e ,又 2 ln ? ? ? ? 在 ? ? e 是递
求,令 g ( x) ? ( x ? ? )(x ? ? ) ? 0 ,不妨设 0 ? ? ?

?

?

增的,所以, 2 ln ? ? ? ?

1

?

? 2 ln e ? e ?

1 1 1 ? 2 ? e ? .即 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? e ? . e e e

3 20.解(Ⅰ) :展开式中二项式系数最大的项是第 4 项,第 4 项是 T4 = C6 ?

? 1 ? 20 ? ? 3. ?n? n

3

? 1? ? 1? (Ⅱ)证法一:因 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? n? ? n?
2x 2

2x

2

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 2 ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ? 1 ? ? ? n? ? n? ? n? ? n? ? n?

x

x

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ? 2 f ? ? x ? ? n? ? 2? ? n? ? n?
证法二: 因 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? ?1 ?
x

x

x

? ?

1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? 2 ? 1 ? n ? ? ? 1 ? n ? ? 2 ? 1 ? ? n? ? ? ? ? ? n? ? n?

2x

2

2x

2

x

? 1? ? ?1 ? ? ? n?

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? 而 2 f ? ? x ? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ,故只需对 ?1 ? ? 和 ln ?1 ? ? 进行比较。ks5u ? n? ? n? ? n? ? n? 1 x ?1 令 g ? x ? ? x ? ln x ? x ? 1? ,有 g ? ? x ? ? 1 ? ? x x x ?1 ? 0 , x ? 1 ,因为当 0 ? x ? 1 时,g? ? x ? ? 0 ,g ? x ? 单调递减; 1 ? x ? ?? 时, 由 得 当 x g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单 调 递 增 , 所 以 在 x ? 1 处 g ? x ? 有 极 小 值 1 , 故 当 x ? 1 时 ,

? 1? ? 1? 从而有 x ? ln x ? 1, 亦即 x ? ln x ? 1 ? ln x ,故有 ?1 ? ? ? ln ?1 ? ? 恒 g ? x ? ? g ?1? ? 1 , ? n? ? n? 成立。所以 f ? 2x ? ? f ? 2? ? 2 f ? ? x ? ,原不等式成立。
(Ⅲ)对 m ? N ,且 m ? 1 有 ?1 ?

m ? m ? 1? ? 1 ? m ? m ? 1??? m ? k ? 1? ? 1 ? m ? m ? 1??2 ?1 ? 1 ? ? 1?1? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 2! ? m ? k! m! ?m? ?m? 1? 1? 1 ? 1 ?? 2 ? ? k ?1 ? 1 ? 1 ? ? m ?1 ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?? 1 ? ? 2! ? m ? k ! ? m ?? m ? ? m ? m! ? m ? ? m ? 1 1 1 1 ? 2 ? ? ??? ??? 2! 3! k! m! 1 1 1 1 ? 2? ? ??? ??? 2 ?1 3 ? 2 k ? k ? 1? m ? m ? 1?
2 k

? ?

1? 0 1 ? 1 ? 2? 1 ? k ? 1 ? m? 1 ? ? ? Cm ? Cm ? ? ? Cm ? ? ? ? ? Cm ? ? ? ? ? Cm ? ? m? ? m? ? m? ? m? ? m?

m

2

k

m

m

1 1? 1? ? 1? ?1 1? ? 1 ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 3 ? ? 3 , ks5u m ? 2? ? 2 3? ? k ?1 k ? ? m ?1 m ?
k 又因 Cm ?

?1? ? 1? ? ? 0 ? k ? 2,3, 4,?, m? ,故 2 ? ?1 ? ? ? 3 ?m? ? m?
m k

k

m

n ? 1? ? 1? ∵ 又当m ? 1 从而有 2n ? ? ?1 ? ? ? 3n ?n ? N , n ? 1? 成立, 时,有2 ? ?1 ? ? ? 3 , k? ? m? k ?1 ?

? 1? 即存在 a ? 2 ,使得 2n ? ? ?1 ? ? ? 3n 恒成立。 k? k ?1 ?
n

k


汕头市金山中学2012-2013学年度第一学期期末考试理科数学试题及答案

汕头市金山中学2012-2013学年度第一学期期末考试理科数学试题及答案_数学_高中教育_教育专区。汕头市金山中学2012-2013学年度第一学期期末考试理科数学试题及答案汕头...

汕头市金山中学2012-2013学年度第一学期期中考试.数学理

x1 汕头市金山中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试 高三理科数学 答题卷班级 一、选择题(40 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 姓名 学号 评分 答案 二、...

【整理 】广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期末数学理试题

【整理 】广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期末数学理试题_政史地_高中...2012-2013 学年度第一学期期末考试 ★ 高三理科数学 参考答案 一、选择题(40 ...

汕头市金山中学2012~2013学年度第二学期期末考试

汕头市金山中学20122013学年度第学期期末考试 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报...数学试题一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分把答案填...

广东省汕头市金山中学2012-2013学年高一上学期期中数学试题

广东省汕头市金山中学2012-2013学年高一上学期期中数学试题_从业资格考试_资格...资源库 www.ziyuanku.com 高一数学月考试题参考答案 DCCBB DADAA 11.1 12. ...

汕头市金山中学2012-2013学年度第一学期期中考试

汕头市金山中学2012-2013学年度第一学期期中考试_高中教育_教育专区。广东汕头市...2014造价工程师各科目冲刺试题及答案 68份文档 新市场营销法则 助推企业成长 999...

汕头市金山中学2012-2013年度第二学期期中考试高二理科数学

汕头市金山中学2012-2013年度第学期期中考试高二理科数学_数学_高中教育_教育专区。汕头市金山中学 2012-2013 年度第学期期中考试 高二理科数学 2012.4 本试题分...

汕头金山中学2012-2013高三上期末模拟考试数学(文)试题

汕头市金山中学 2012-2013 届高三上学期期末模拟考试...(本小题满分 14 分)如图,2012 春节,摄影爱好者...高三文科数学 参考答案 一、选择题(50 分) 1 2 ...

汕头市金山中学2012-2013学年第一学期期中考试数学文

汕头市金山中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试 高三文科数学 试题卷本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟. 第Ⅰ...