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2014年高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)

时间:2015-02-13


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高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接 球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力

以及 化归能力.研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关 几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.

一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题 例 1 (2006 年广东高考题)若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______________ . 解析:要求球的表面积,只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球,所以它的体对角线正好为球的直径,因此, 求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长,再计算半径.故表面积为 27? . 例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为 24 ,则该球的体积为______________. 解析:要求球的体积,还是先得求出球的半径,而球的直径正好是正方体的体对角线,因此,由正方体表面积可 求出棱长,从而求出正方体的体对角线是 2 3 所以球的半径为 3 .故该球的体积为 4 3? . 2、求长方体的外接球的有关问题 例 3 (2007 年天津高考题)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为 1, 2,3 ,则此 球的表面积为 .

解析: 关键是求出球的半径, 因为长方体内接于球, 所以它的体对角线正好为球的直径。 长方体体对角线长为 14 , 故球的表面积为 14? . 例 4、 (2006 年全国卷 I)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积为( ).

A. 16?

B. 20?

C. 24?

D. 32?

解析:正四棱柱也是长方体。由长方体的体积 16 及高 4 可以求出长方体的底面边长为 2,因此,长方体的长、宽、 高分别为 2,2,4,于是等同于例 3,故选 C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例 5. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的

9 体积为 8 ,底面周长为3,则这个球的体积为

.
1

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6 x ? 3, ? ? ? ?x? ?9 3 2 ?? x h, ? ? ? 6? 4 ?h ? 解 设正六棱柱的底面边长为 x ,高为 h ,则有 ? 8
r?
∴正六棱柱的底面圆的半径
2 2

1 , 2 3.

1 4? 3 ?V 球 ? d? 2 2 2 ,球心到底面的距离 3 . 2 .∴外接球的半径 R ? r ? d ? 1.
2

小结 本题是运用公式 R ? r ? d 求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式.

二、构造法(补形法)
1、构造正方体 例 5 (2008 年福建高考题)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 _______________. 解析:此题用一般解法,需要作出棱锥的高,然后再设出球心,利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题,我 们更想使用较为便捷的方法,所以三条侧棱两两垂直,使我们很快联想到长方体的一个角,马上构造长方体,且侧棱 长均相等,所以可构造正方体模型,如图 1,则 AC=BC=CD ? 3 ,那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角 线,故所求表面积是 9? .(如图 1) 例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 解 .

据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为 3 的正方体,于是正方体

的外接球就是三棱锥的外接球.

设其外接球的半径为 R ,则有

? 2R ?
2

2

?

? ? ? ? ? ?
3
2

?

3

2

?

3

2

?9

R2 ?
.∴

9 4.

故其外接球的表面积 S ? 4? R ? 9? . 小结 一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为 a、b、c ,则就可以将这个三棱锥补成一个 长方体, 于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R , 则有 2R ? 出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。

a 2 ? b2 ? c 2 .

【原理】 :长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为

,则体对角线长为

,几何体的外接

球直径为

体对角线长



【例题】 :在四面体 个球面上,求这个球的表面积。

中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为

,若该四面体的四个顶点在一

2

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解: 因为:长方体外接球的直径为长方体的体对角线长

所以:四面体外接球的直径为 即: 所以 球的表面积为

的长

例 6 (2003 年全国卷)一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为(



A

D B C

图 1 解析:一般解法,需设出球心,作出高线,构造直角三角形,再计算球的半径.在此,由于所有棱长都相等,我们 A. 3? B. 4? D. 6? 联想只有正方体中有这么多相等的线段, 所以构造一个正方体, 再寻找棱长相等的四面体, 如图 2, 四面体 A ? BDE 满 足条件,即 AB=AD=AE=BD=DE ? BE ? 2 ,由此可求得正方体的棱长为 1,体对角线为 3 ,从而外接球的直径 也为 3 ,所以此球的表面积便可求得,故选 A. (如图 2) 例 7(2006 年山东高考题)在等腰梯形 ABCD 中, AB=2DC=2 , ?DAB=60 , E 为 AB 的中点,将 ?ADE 与
0

C. 3 3?

?BEC 分布沿 ED 、 EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P ,则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为( ).

4 3 ? A. 27

B.

6 ? 2

C.

6 ? 8
3

6 ? D. 24

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解析: (如图 3) 因为 AE=EB=DC=1 , ?DAB=?CBE=?DEA=60 ,所以
0

AD ? AE=EB=BC=DC=DE=CE=1 ,即三棱锥 P-DCE 为正四面体,至此,这与例 6 就完全相同了,故选 C.

D

C

P

A

E

B

D E

C

图 DA ? 平面ABC ,AB ? BC ,DA=AB=BC= 3 , O 例 8 (2008 年浙江高考题) 已知球 B、 C、 D, 3 的面上四点 A、 则球 O 的体积等于 .

解析:本题同样用一般方法时,需要找出球心,求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径,由于

DA ? 平面ABC ,AB ? BC , 联想长方体中的相应线段关系, 构造如图 4 所示的长方体, 又因为 DA=AB=BC= 3 ,
9 ? 则此长方体为正方体,所以 CD 长即为外接球的直径,利用直角三角形解出 CD=3 .故球 O 的体积等于 2 .(如图 4)
D

O

A

2、构造长方体

B

C

图 例 9(2008 年安徽高考题)已知点 A、 4 B、C、D 在同一个球面上, AB ? 平面BCD , BC ? DC ,若

AB ? 6, AC=2 13,AD=8 ,则球的体积是

.

解析:首先可联想到例 8,构造下面的长方体,于是 AD 为球的直径,O 为球心, OB=OC=4 为半径,要求 B、C 两点间的球面距离,只要求出 ?BOC 即可,在 Rt ?ABC 中,求出 BC =4 ,所以 ?BOC=60 ,故 B、C 两点间的球面
0

A

4 ? 距离是 3 .(如图 5)
O

B

C

4
D



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本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

三.多面体几何性质法
例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是 A. 16? 解 B. 20? C. 24? D. 32?

2 设正四棱柱的底面边长为 x ,外接球的半径为 R ,则有 4 x ? 16 ,解得 x ? 2 .

∴ 2R ?

22 ? 22 ? 42 ? 2 6,     ? R ? 6 .∴这个球的表面积是 4? R2 ? 24? .选 C.

小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

四.寻求轴截面圆半径法
例 4 正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ,点 S、A、B、C、D 都在同一球面上,则此球的体 积为 解 . 设正四棱锥的底面中心为 O1 , 外接球的球心为 O , 如图 1 所示.∴由球的截面的性质, 可得 OO1 ? 平面ABCD .

又 SO1 ? 平面ABCD ,∴球心 O 必在 SO1 所在的直线上.

S
∴ ?ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,外接圆的半径就是外接球的半径. 在 ?ASC 中,由 SA ? SC ?

2,AC ? 2 ,得 SA2 ? SC 2 ? AC 2 .
A

D O1 图3 B

C

∴ ?ASC是以AC为斜边的Rt? .

AC 4? ?1 V球 ? 3 . ∴ 2 是外接圆的半径,也是外接球的半径.故
小结 根据题意,我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆,于是该圆的半径就 是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法,该方法的实质就是通过寻找外接球 的一个轴截面圆,从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.

五 .确定球心位置法
例 5 在矩形 ABCD 中, AB ? 4, BC ? 3 ,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角

D C B

B ? AC ? D ,则四面体 ABCD 的外接球的体积为

A

O 图4

125 ? A. 12


125 ? B. 9

125 ? C. 6

125 ? D. 3

设矩形对角线的交点为 O ,则由矩形对角线互相平分,可知 OA ? OB ? OC ? OD .∴点 O 到四面体的四个

5

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顶点 A、B、C、D 的距离相等,即点 O 为四面体的外接球的球心,如图 2 所示.∴外接球的半径

R ? OA ?

5 2 .故

4 125 V 球 ? ? R3 ? ? 3 6 .选 C.
出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。 【原理】 :直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。

【例题】 :已知三棱锥的四个顶点都在球 求球 的体积。 且 , 所以知 所以可得图形为: 中斜边为 中斜边为 , 中 中 ,

的球面上,









,

解: 因为 所以 在 在 取斜边的中点 在 在



,

所以在几何体中

,即为该四面体的外接球的球心

所以该外接球的体积为 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。 1. (陕西理?6)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该 正三棱锥的体积是( )
3 3 4 答案 B

A.

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 12

6

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2. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各顶点都在同一球面上,若

AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于



解:在 ?ABC 中 AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? ,可得 BC ? 2 3 ,由正弦定理,可得 ?ABC

TO ? B O 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O? , 球心为 O , 在R

2 ? 中, 易得球半径 R ? 5 , 故此球的表面积为 4? R ? 20? .

3.正三棱柱 ABC ? A1B1C1 内接于半径为 2 的球,若 A, B 两点的球面距离为 ? ,则正三棱 柱的体积为 答案 8 .

4.表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为

A.

2 ? 3

B. ?

1 3

C.

2 ? 3

D.

2 2 ? 3

答案 A 【解析】此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形,所以由 8 ?

3a 2 ? 2 3 知, 4

a ? 1 ,则此球的直径为 2 ,故选 A。 32 ? ,那么正方体的棱长等于( 5.已知正方体外接球的体积是 3
A.2 2 B.



2 3 3

C.

4 2 3
)

D.

4 3 3

答案 D 6.(2006 山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A. 1∶ 3 B. 1∶3 C. 1∶3 3

D. 1∶9

答案 C 7.(2008 海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边 形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 的体积为 答案 .

9 ,底面周长为 3,则这个球 8

4? 3

8. (2007 天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱 的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为 . 答案 14 π 9.(2007 全国Ⅱ理?15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为 cm2. 答案

2? 4 2
7

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10.(2006 辽宁)如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P ? ABCDEF ,则此正六棱 锥的侧面积是________. P

C B A 答案

D E F

6 7

11.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案

2


12.(2009 枣庄一模)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为 ( A. 3? B. 2? C. 答案 C

16? 3

D.以上都不对

2 3 13.(吉林省吉林市 2008 届上期末)设正方体的棱长为 ,则它的外接球的表面积为( 3 A. ?



8 3

B.2π

C.4π

D. ?

4 3

答案 C 1 . (2012 新课标理) 已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, ?ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的 直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为 ( ) A.

2 6

B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2

25. (2012 辽宁文) 已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3 正方形.若 PA=2 6 , 则△OAB 的面积为______________.

8


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