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35.定义向量


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高考数学母题
[母题]Ⅰ(12-35):定义向量(295)

741

定义向量 [母题]Ⅰ(12-35):
(2002 年北京春招试题)对于任意两个复数 z1

? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y

2i ( x1 、 y1 、
1 2

,定义运算⊙为: z1 x2 、 y2 为实数)

z2 ? x1 x2 ? y1 y2 .设非零复数 w1 、 w2 在复平面内对应的点分别为 P 、P ,
王新敞
奎屯 新疆

点为 O 为坐标原点.如果 w1⊙w2=0,那么在?P1OP2 中,?P1OP2 的大小为_______

[解析]:反 [点评]:在

[子题](1): (2010 年课标高考试题)

上诲高考线性相关若对

n 个向量 a1,a2,a3,………….an, 存在 n

个不全为零的实数 k1,k2,k3….kn,使 k1a1+k2a2+k3a3….knan=0 成立,则称 a1,a2,a 3,………….an 为“线性相关”, 反之称为“线性无关”。 依次规定, 向量 a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2, 2)时,请给出一组能说明 a1,a2,a3 为线性相关的实数 k1,k2,k3:________(写出一组)
此题是给出一种新的定义,然后在此基础上再去处理新问题,这是新课标提出的考查学生创新能力的较好的素材,在复习中 应加强训练并引起足够的重视.解决此题要理解“线性相关”的含义.并理解 k1,k2,k3 的存在性和是否唯一. 设 k1a1+k2a2+k3a3=0,

则 当 k3=1 时,k1=-4,k2=2.



(注:给 k3 一个值,就可得出 k1,k2,k3 的一组值,也就是说此题答案不唯一)

[解析]:(Ⅰ)当 [子题](2): (2008 全国Ⅱ高考试题)设 [解析]:(Ⅰ)由 [子题](3): (2010 年课标高考试题)

742
[解析]: [子题系列]:

[母题]Ⅰ(12-35):定义向量(295)

12.(2010 年山东高考试题)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的 a=(m,n),b=(p,q),令 a⊙b=mq-np.下面说 法错误的是( )

(A)若 a 与 b 共线,则 a⊙b=0 (B)a⊙b=b⊙a (C)对任意的λ ∈R,有(λ a)⊙b=λ (a⊙b) (D)(a⊙b) +(ab) =|a| |b| 12.解:由 a⊙b=mq-np,b⊙a=pn-mq.故选(B).

2

2

2

2

14.(2009 年四川高考试题)(文)设 V 是己知平面 M 上所有向量的集合.对于映射 f:V→V,a∈V,记 a 的象为 f(a),若映射 f:V→V 满足:对所有 a、b∈V 及任意实数λ 、μ 都有 f(λ a+μ b)=λ f(a)+μ f(b),则称 f 为平面 M 上的线性变换.现有下 列命题:①设 f 是平面 M 上的线性变换,a、 b∈V,则 f(a+b)=f(a)+f(b);②设 e 是平面 M 上的单位向量,对 a∈V,设 f(a)=a+e, 则 f 是平面 M 上的线性变换;③对 a∈V 设 f(a)=-a,则 f 是平面 M 上的线性变换;④设 f 是平面 M 上的线性变换,a∈V,对 任意实数 k 均有 f(ka)=kf(a).其中的真命题是 (写出所有真命题的编号). 15.(2009 年四川高考试题)(理)设 V 是己知平面 M 上所有向量的集合.对于映射 f:V→V,a∈V,记 a 的象为 f(a),若映射 f:V→V 满足:对所有 a、b∈V 及任意实数λ 、μ 都有 f(λ a+μ b)=λ f(a)+μ f(b),则称 f 为平面 M 上的线性变换.现有下 列命题:①设 f 是平面 M 上的线性变换,则 f(0)=0;②对 a∈V 设 f(a)=2a,则 f 是平面 M 上的线性变换;③设 e 是平面 M 上 的单位向量,对 a∈V,设 f(a)=a-e,则 f 是平面 M 上的线性变换;④设 f 是平面 M 上的线性变换,a、b∈V,若 a、b 共线,则 f(a)、f(b)也共线.其中的真命题是 解 :令 2.(2007 年全国Ⅰ高考试题)设 解:(Ⅰ)由 解: 13.(2012 年广东高考试题)(文)对任意两个非零的平面向量α 和β ,定义α ○β = 与 b 的夹角θ ∈( 13.解:由 a○b=
? ? n , ),且 a○b 和 b○a 都在集合{ |n∈Z}中,则 a○b=( 4 2 2

(写出所有真命题的编号).

? ?? ? ??

.若两个非零的平面向量 a,b 满足 a
5 2 3 2 1 2

)

(A)

(B)

(C)1

(D)

|a| |b|

cosθ ,b○a=

|b| |a|

cosθ ? (a○b)(b○a)=cos θ ∈(0,

2

1 1 1 ) ? (a○b)(b○a)= ? cosθ = ? a○b= 2 4 2

1 |a| n 1 ? ∈{ |n∈Z} ? |a|=|b| ? a○b= .故选(D). 2 |b| 2 2

14.(2012 年广东高考试题)(理)对任意两个非零的平面向量α 和β ,定义α ○β = |a|≥|b|>0,a 与 b 的夹角θ ∈(0, 14.解:由 a○b= (C).
|a| |b|

? ?? ? ??

.若两个非零的平面向量 a,b 满足
1 2 3 2 5 2

? n ),且 a○b 和 b○a 都在集合{ |n∈Z}中,则 a○b=( 4 2

) (A)

(B)1 (C)

(D)

cosθ ,b○a=

|b| |a|

cosθ ∈(0,1) ? b○a=

1 1 2 ;又由(a○b)(b○a)=cos θ ∈( ,1) ? a○b∈(1,2).故选 2 2

3.(2009 年四川高考试题 ) 设V是已知平面M上所有向量的集合.对于映射 f : V ? V , a ? V , 记 a 的象为

及任意实数 ?、? 都有 f ( ? a ? ? b ) ? ? f ( a ) ? ? f (b ), 则 f 称为平 1 设 f 是平面M上的线性变换, 2 对 a ?V , () 2 ? a , 面M上的线性变换. 现有下列命题: ○ 则 f (0) ? 0; ○ 设 fa 3 若 e 是平面M上的单位向量,对 a ? V ,设 f ( a ) ? a ? e ,则 f 是平面M上 则 f 是平面M上的线性变换;○ 4 f 的线性变换;○设 是平面M上的线性变换, a、b ?V ,若 a、b 共线,则 f ( a )、f (b ) 也共线.其中的真 命题是 (写出所有真命题的编号) 。 3.(2009 年四川高考试题)设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合, 对于映射 f : V ? V , a ?V , 记 a 的象为
f ( a ) .若映射 f : V ? V , 满足:对所有 a、b ?V

f (a) 。 若映射 f : V ? V 满足: 对所有 a、b ? V 及任意实数 ? , ? 都有 f (? a ? ?b) ? ? f (a) ? ? f (b) , 则 f 称为平面 M 上的线性变换。现有下列命题: ①设 f 是平面 M 上的线性变换, a、b ? V ,则 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ②若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a ?V , 设f (a) ? a ? e ,则 f 是平面 M 上的线性变换; ③对 a ?V , 设f (a) ? ?a ,则 f 是平面 M 上的线性变换;

④设 f 是平面 M 上的线性变换, a ?V ,则对任意实数 k 均有 f (ka) ? kf (a) 。 其中的真命题是 (写出所有真命题的编号) 【答案】①③④ 【解析】①:令 ? ? ? ? 1 ,则 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 故①是真命题 同理,④:令 ? ? k , ? ? 0 ,则 f (ka) ? kf (a) 故④是真命题 ③:∵ f (a) ? ?a ,则有 f (b) ? ?b

f (?a ? ?b) ? ?(?a ? ?b) ? ? ? (?a) ? ? ? (?b) ? ?f (a) ? ?f (b) 是线性变换,故③是真
命题 ②:由 f (a) ? a ? e ,则有 f (b) ? b ? e

f (?a ? ?b) ? (?a ? ?b) ? e ? ? ? (a ? e) ? ? ? (b ? e) ? e ? ?f (a) ? ?f (b) ? e ∵ e 是单位向量, e ≠0,故②是假命题
3.(2011 年 山 东 高 考 试 题 ) 设

A1 , A2 , A3 , A4 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 两 两 不 同 的 四 点 , 若
1 ? 1 ? 2 ,则称 A3 , A4 调和分割 A1 , A2 ,已知


A1 A3 ? ? A1 A2 (λ ∈R), A1 A4 ? ? A1 A2 (μ ∈R),且

?

?

点 C(c,o),D(d,O)(c,d∈R)调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是( (A)C 可能是线段 AB 的中点 (B)D 可能是线段 AB 的中点 (C)C,D 可能同时在线段 AB 上 (D)C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
3.(2011 年福建高考试题)设 V 是全体平面向量构成的集合,若映射

f : V ? R 满足:对任意向量 a=(x1,

y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意 ? ∈R,均有

则称映射 f 具有性质 P。 先给出如下映射:

其中,具有性质 P 的映射的序号为________。 (写出所有具有性质 P 的映射的序号) 【2012 高考上海理 23( 】4+6+8=18 分) 对于数集 X ? {?1 其中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , ,x1,x2, ?,xn } ,

n ? 2, 定义向量集 Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X } , 若对任意 a1 ? Y , 存在 a2 ? Y , 使得 a1 ? a2 ? 0 ,
则称 X 具有性质 P .例如 {?1,1,2} 具有性质 P . (1)若 x ? 2 ,且 {?1,1,2, x} 具有性质 P ,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P ,求证: 1 ? X ,且当 xn ? 1 时, x1 ? 1 ; (3)若 X 具有性质 P ,且 x1 ? 1 、 x2 ? q ( q 为常数) ,求有穷数列 x1,x2, ?,xn 的通项公式.

[解](1)选取 a1 ? ( x, 2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b) . 所以 x=2b,从而 x=4. (2)证明:取 a1 ? ( x1, x1 ) ? Y .设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 .

……2 分 ……4 分

由 ( s ? t ) x1 ? 0 得 s ? t ? 0 ,所以 s 、 t 异号. 因为-1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为-1,另一为 1, 故 1?X. ……7 分 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn . 选取 a1 ? ( x1, xn ) ?Y ,并设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 sx1 ? txn ? 0 , 则 s 、 t 异号,从而 s 、 t 之中恰有一个为-1. 若 s =-1,则 2,矛盾; 若 t =-1,则 xn ? sx1 ? s ? xn ,矛盾. 所以 x1=1. (3)[解法一]猜测 xi ? q
i ?1

……10 分 ,i=1, 2, ?, n. ……12 分

记 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } ,k=2, 3, ?, n. 先证明:若 Ak ?1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P. 任取 a1 ? (s, t ) , s 、 t ? Ak .当 s 、 t 中出现-1 时,显然有 a2 满足 a1 ? a2 ? 0 ; 当 s ? ?1 且 t ? ?1 时, s 、 t ≥1. 因为 Ak ?1 具有性质 P,所以有 a2 ? (s1, t1 ) , s1 、 t1 ? Ak ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 , 从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1. 假设 t1 ? Ak ?1 且 t1 ? Ak ,则 t1 ? xk ?1 .由 (s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 ,得 s ? txk ?1 ? xk ?1 ,与

s ? Ak 矛盾.所以 t1 ? Ak .从而 Ak 也具有性质 P.
现用数学归纳法证明: xi ? qi ?1 ,i=1, 2, ?, n. 当 n=2 时,结论显然成立;

……15 分

假设 n=k 时, Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 有性质 P,则 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, ?, k; 当 n=k+1 时,若 Ak ?1 ? {?1, 1, x2 , ?, xk , xk ?1} 有性质 P,则 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 也有性质 P,所以 Ak ?1 ? {?1, 1, q, ?, qk ?1, xk ?1} . 取 a1 ? ( xk ?1, q) ,并设 a2 ? (s, t ) 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 xk ?1s ? qt ? 0 .由此可得 s 与 t 中有且只 有一个为-1. 若 t ? ?1 ,则 1,不可能; 所以 s ? ?1 , xk ?1 ? qt ? q ? qk ?1 ? qk ,又 xk ?1 ? q k ?1 ,所以 xk ?1 ? q k . 综上所述, xi ? qi ?1 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, ?, n. [解法二]设 a1 ? (s1, t1 ) , a2 ? (s2 , t2 ) ,则 a1 ? a2 ? 0 等价于
s1 t1

……18 分
t2 ??s 2

.

记 B ? {s | s ? X , t ? X ,| s |?| t |},则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于 t 原点对称. ……14 分 注意到-1 是 X 中的唯一负数, B ? (??, 0) ? {? x2 , ? x3 , ?, ? xn }共有 n-1 个数, 所以 B ? (0, ? ?) 也只有 n-1 个数. 由于
xn xn?1

?

xn xn ?2

???

xn x2

?

xn x1

,已有 n-1 个数,对以下三角数阵

xn x n ?1
x n ?1 x n?2

?
?

xn x n?2
x n ?1 x n ?3

???
???

xn x2
x n ?1 x1

?

xn x1

??
x2 x1

注意到

xn x1

?

x n ?1 x1

???

x2 x1

,所以

xn x n ?1

?

x n ?1 xn?2

???

x2 x1

,从而数列的通项公式为 ……18 分

2 k ?1 xk ? x1 ( x ) ? q k ?1 ,k=1, 2, x1

?, n.

【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识,本题属于信息给予题, 通过定义“ X 具有性质 P ”这一概念,考查考生分析探究及推理论证的能力.综合考查集合的基本运算, 集合问题一直是近几年的命题重点内容,应引起足够的重视.


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