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双曲线2


双曲线:
(1) 双曲线的定义: 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数 (小于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹。 第二定义: 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 e(e ? 1) 的点 的轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距;定直线叫做准线。 常数叫做离心率。 注意: | PF1 | ? | PF2

|? 2a 与 | PF2 | ? | PF1 |? 2a ( 2a ?| F1 F2 | )表示双曲线的一支。

2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方程 中心在原点,焦点在 y 轴上

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
P y F2 B2 O B1 F1 x

P 图 形 F1 A1

y x O A2 F2





A1 (?a,0), A2 (a,0)

B1 (0,?a), B2 (0, a)

对称轴 焦 焦 点 距

x 轴, y 轴;虚轴为 2b ,实轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0) F1 (0,?c), F2 (0, c)
c2 ? a2 ? b2

| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

离心率

c (e ? 1) (离心率越大,开口越大) a



线

x??
y??

a2 c
b x a

y??
y??

a2 c
a x b

渐近线

(3)双曲线的渐近线: ①求双曲线 到。

x2 y2 x2 y2 ? ? 0 ,因式分解得 ? ? 1 的渐近线,可令其右边的 1 为 0 ,即得 a2 b2 a2 b2

x2 y2 x2 y2 ②与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 2 ? 2 ? ? ; a b a b
(4)等轴双曲线为 x 2 ? y 2 ? t 2 ,其离心率为 2

乐学教育——课堂练习 1
一.选择题:每小题 5 分,共 50 分
1、双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 10 2
B. 4 2 C. 3 3 D. 4 3

A. 3 2

x2 y 2 ? ? 1 的离心率 e∈(1, 2),则 k 的取值范围是 2. 双曲线 4 k
A .(0, 6) B. (3, 12) C. (1, 3) D. (0, 12)

3.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 4. “ab<0”是“方程 ax2+by2=c 表示双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.双曲线 A.7 6.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上的点 P 到点(5, 0)的距离是 15 则点 P 到点(-5, 0)的距离是 16 9
B.23 C.5 或 25 D.7 或 23

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PE2|, a 2 b2
C.(3,+∞) D. [3,+∞]

则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B.(1,3)

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 有公共焦点,则椭圆的离心率是 7 .椭圆 与双曲线 2m 2 n 2 m 2 2n 2
A
2 2

B

15 3

C

6 4

D

30 6

8.已知双曲线

x2 y 2 ? ?1 (a>0,b>0) 的一条渐近线为 y=kx(k>0),离心率 e= 5k , a 2 b2

则双曲线方程为
(A)

x2 y2 - =1 a 2 4a 2

(B)

x2 y 2 ? ?1 a 2 5a 2

(C)

x2 y 2 ? ?1 4b 2 b 2

(D)

x2 y 2 ? ?1 5b 2 b 2

9.设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个 13

焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为 (A)

x2 y2 ? ?1 4 2 32

(B)

x2 y2 ? ?1 132 5 2

(C)

x2 y2 ? ?1 32 4 2

(D)

x2 y2 ? ?1 132 122

10、已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 9 16

F1、F2 ,P 为 C 的右支上一点,且
(D)96

| PF |?| F F | ,则△PF1F2 2 1 2

的面积等于
(C)48

(A)24

(B)36

二填空题: 每小题 5 分,共 25 分
11.若曲线

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k



12、双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 与椭圆 ? ? 1 有共同的焦点,则 m= m 2m 5 30



13.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________。 14. 若双曲线的顶点为椭圆 x ?
2

y2 ? 1 长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的 2

积为 1,则双曲线的方程是 . 15.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心 率为 .

三.解答题:(16 题 10 分,

17 题 15 分)

16. 已 知 中 心 在 原 点 的 双 曲 线 C 的 一 个 焦 点 是 F1 (? 3 ,一条渐近线的方程是 , 0)

5x ? 2 y ? 0 .求双曲线 C 的方程

17.求一条渐近线方程是 3x ? 4 y ? 0 ,一个焦点是 ?4,0? 的双曲线标准方程,并求此双曲线 的离心率. (12 分)


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