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08--知识要点:高三数学总复习—圆锥曲线方程

时间:2011-01-09


第八章 《圆锥曲线》专题复习 圆锥曲线》
一、椭圆方程.
1. 椭圆的第一定义:
PF1 + PF 2 = 2a ? F 1F 2 方程为椭圆 , PF1 + PF 2 = 2a ? F 1F 2 无轨迹, PF1 + PF 2 = 2a = F 1F 2 以F 1, F 2为端点的线段

2.椭圆的方程形式: ①椭圆的标准方程: i. 中心在原点,焦点在 x 轴上:
y2 a
2

x2 a2

+

y2 b2

= 1(a ? b ? 0) .

ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上:

+

x2 b2

= 1(a ? b ? 0) .

② 一 般 方 程 : Ax 2 + By 2 = 1( A ? 0, B ? 0) . ③ 椭 圆 的 参 数 方 程 :
? x = a cos θ π (一象限 θ 应是属于 0 ? θ ? ). ? 2 ? y = b sin θ

x2 a2

+

y2 b2

=1 的参数方程为
▲y

( bcosα , bsinα ) ( acosα , asinα ) Nx

注意:椭圆参数方程的推导:得 N (a cos θ , b sin θ ) → 方程的轨迹为椭圆. 3.椭圆的性质: N的轨迹是椭圆 ①顶点: (± a,0)(0,±b) 或 (0,± a)(±b,0) .②轴:对称轴:x 轴, y 轴;长轴长 2a ,短轴长 2b .③ 焦 点 : (?c,0)(c,0) 或 (0,?c)(0, c) .④ 焦 距 : F 1F 2 = 2c, c = a 2 ?b 2 .⑤ 准 线 : x = ±
y=± a2 或 c

c a2 .⑥离心率: e = (0 ? e ? 1) .⑦焦半径: c a x2 a
2

i. 设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆

+

y2 b2

= 1(a ? b ? 0) 上的一点, F 1,F 2 为左、右焦点,则:

PF 1 = a + ex 0 , PF 2 = a ? ex 0
a2 a2 证明:由椭圆第二定义可知: pF1 = e(x0+ ) = a + ex0(x0? 0), pF2 = e( ?x0) = ex0?a(x0? 0) 归结起 c c 来为“左加右减”.

ii.设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆

x2 b2

+

y2 a2

= 1(a ? b ? 0) 上的一点, F 1,F 2 为上、下焦点,则:

PF 1 = a + ey 0 , PF 2 = a ? ey 0

2b 2 b2 b2 ⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通径: d = 2 ;坐标: (c, ), ( ?c, ) a a a
4.共离心率的椭圆系的方程:椭圆 程
x a
2 2

x2 a
2

+

y2 b
2

= 1(a ? b ? 0) 的离心率是 e =

c (c = a 2 ?b 2 ) ,方 a

+

y b

2 2

= t (t 是大于 0 的参数,a ? b ? 0) 的离心率也是 e =

c 我们称此方程为共离心率的 a

椭圆系方程. 5.若 P 是椭圆:
b 2 tan x2 a2 + y2 b2 = 1 上的点. F 1,F 2 为焦点,若 ∠F 1PF 2 = θ ,则 ?PF 1F 2 的面积为

θ
2

(用余弦定理与 PF 1 + PF 2 = 2a 可得). 若是双曲线,则面积为 b 2 ? cot
1

θ
2

.

二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义:
PF 1 ? PF 2 = 2a ? F 1F 2 方程为双曲线 PF 1 ? PF 2 = 2a ? F 1F 2 无轨迹 PF 1 ? PF 2 = 2a = F 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线

2.双曲线的方程: ① 双 曲 线 标 准 方 程 :
Ax 2 +Cy 2 = 1( AC ? 0) .
x2 a2 ? y2 b2 = 1(a, b ? 0), y2 a2 ? x2 b2 = 1(a, b ? 0) .

一 般 方 程 :

3.双曲线的性质: ①i. 焦点在 x 轴上: 顶点: (a,0), (?a,0) 方程: ±
x a

焦点: (c,0), (?c,0)

准线方程 x = ±

a2 渐近线 c

y x2 y2 = 0 或 2 ? 2 = 0 ii. 焦点在 y 轴上: 顶点:(0,?a ), (0, a ) . b a b a2 . c

焦点:(0, c), (0,?c) . 准

线方程: y = ±
? x = b tan θ . ? ? y = a sec θ

渐近线方程:

? x = a sec θ y x y2 x2 ± = 0 或 2 ? 2 = 0 ,参数方程: ? 或 a b a b ? y = b tan θ

②轴 x, y 为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. ③离心率 e = (两准线的距离) ;通径 方程
x2 a2 ? y2 b2 2b 2 . a

c . a

④准线距

2a 2 c

⑤参数关系 c 2 =a 2 +b 2 , e =

c . a

⑥焦半径公式:对于双曲线

= 1 ( F 1,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

“长加短减”原则:
MF 1 = ex 0 + a MF 2 = ex 0 ?a

构成满足 MF 1 ? MF 2 = 2a


M ′F 1 = ?ex 0 ?a M ′F 2 = ?ex 0 + a
y

(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半

径要带符号计算,而双曲线不带符号)
MF 1 = ey 0 ?a MF 2 = ey 0 + a M ′F 1 = ?ey 0 + a M ′F 2 = ?ey 0 ?a ′ ′
F1 M'



y F1 M x F2 M' F2 x

M

4.等轴双曲线: 双曲线 x 2 ? y 2 = ± a 2 称为等轴双曲线, 其渐近线方程为 y = ± x , 离心率 e = 2 . 5.共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共 轭双曲线.
x2 a2 ? y2 b2 x2 y2 x2 y2 ? 2 = λ 与 2 ? 2 = ?λ 互 为 共 轭 双 曲 线 , 它 们 具 有 共 同 的 渐 近 线 : 2 a b a b

=0.
2

6.共渐近线的双曲线系方程: 渐近线为

x2 a
2

?

y2 b
2

= λ (λ ≠ 0) 的渐近线方程为

x2 a
2

?

y2 b2

= 0 如果双曲线的

x y x2 y2 ± = 0 时,它的双曲线方程可设为 2 ? 2 = λ (λ ≠ 0) . a b a b

例如:若双曲线一条渐近线为 y =

1 1 x 且过 p(3,? ) ,求双曲线的方程? 2 2
4



y

1 x2 x2 y2 解:令双曲线的方程为: ? y 2 = λ (λ ≠ 0) ,代入 (3,? ) 得 ? = 1. 4 2 8 2
1

3

2 1
x

7.直线与双曲线的位置关系: F 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 3 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 注意:⑴过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、 4 条. “? 法与 ⑵若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入 ” 渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑶若 P 在双曲线
x2 a2 ? y2 b2 = 1 ,则常用结论 1:P 到焦点的距离为 m 与 n,则 P 到两准

53

F2

PF 1 d1 线的距离比为 m︰n. 简证: = e d2 PF 2 e

=

m . n

⑷:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.

三、抛物线方程.
设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 = 2 px
y 2 = ?2 px


x 2 = 2 py
y


x 2 = ?2 py


图形



y

y

y

x O

x O

x O
O

x

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率

F(

p ,0 ) 2

F (? x=

p ,0 ) 2

F (0, y=?

p ) 2

F (0,? y=

p ) 2

p 2 x ≥ 0, y ∈ R x=?

p 2 x ≤ 0, y ∈ R
x轴

p 2 x ∈ R, y ≥ 0

p 2 x ∈ R, y ≤ 0 y轴

(0,0)
e =1

3

焦点

PF =

p + x1 2

PF =

p + x1 2

PF =

p + y1 2

PF =

p + y1 2

注意:⑴ ay 2 +by + c = x 顶点 (

4ac ?b 2 b ? ). 4a 2a
2 2

⑵ y 2 = 2 px( p ≠ 0) 则焦点半径 PF = x + P ; x 2 = 2 py ( p ≠ 0) 则焦点半径为 PF = y + P . ⑶通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. ⑷ y 2 = 2 px (或 x 2 = 2 py )的参数方程为 ?
? x = 2 pt 2 ? y = 2 pt

(或 ?
2

? x = 2 pt ? y = 2 pt
2

) t 为参数). (

⑸关于抛物线焦点弦的几个结论:设 AB 为过抛物线 y =2px (p>0 )焦点的弦,A(x1 ,y1)、

p2 2p 2 B (x2 ,y2 ) ,直线 AB 的倾斜角为θ,则:① x1x2= , y1y2=-p ; ② |AB|= ;③ 4 sin 2 θ
以 AB 为直 径的圆与 准线相 切;④焦 点 F 对 A、 B 在准线上 射影的张角 为 90 ;⑤
0

1 1 2 + = . | FA | | FB | P

四、圆锥曲线的统一定义.
1. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹. 当 0 ? e ? 1 时,轨迹为椭圆; 当 e = 1 时,轨迹为抛物线; 当 e ? 1 时,轨迹为双曲线; 当 e = 0 时,轨迹为圆( e =
c ,当 c = 0, a = b 时). a

2. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如: 椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关 于原点对称的. 因为具有对称性,所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可. 3. 当椭圆的焦点位置不明确,而无法确定其标准方程时,可设方程为

x2 y 2 + =1(m>0, m n

n>0 且 m≠n) ,这样可以避免讨论和繁杂的运算,椭圆与双曲线的标准方程均可用简单形式 2 2 mx +ny =1(mn≠0)来表示,所不同的是:若方程表示椭圆,则要求 m>0,n>0 且 m≠n ; 若 方程表示双曲线,则要求 mn<0,利用待定系数法求标准方程时,应注意此方法的合理使用, 以避免讨论。 4. 双曲线是具有渐近线的曲线,复习中要注意以下两个问题: (1)已知双曲线方程,求它的渐近线方程,将双曲线的标准方程

x2 y2 ? = 1 中的常 a2 b2

数“1”换成“0” ,即得

x2 y2 x y ? 2 =0,然后分解因式即可得到其渐近线方程 ± =0;若 2 a b a b

求中心不在原点,对称轴平行于坐标轴的双曲线的渐近线方程,只需将双曲线方程 x,y 分 别配方,然后将常数“1”换成“0” ,再分解因式,则可得渐近线方程,例如双曲线
4

( x + 2) 2 ?

y2 y2 2 =1 的渐近线方程为 ( x + 2) ? 2 =0,即 y±3(x+2) ,因此,如果双曲线的方 32 3

程已经确定,那么它的渐近线方程也就确定了。 (2)求已知渐近线的双曲线方程,已知渐近线方程为 ax ± by =0 时,可设双曲线方程为

a 2 x 2 ? b 2 y 2 = λ (λ ≠ 0) ,再利用其他条件确定 λ 的值,求法的实质是待定系数法,如果已
知双曲线的渐近线,双曲线方程却不是惟一确定的。 5、在建立抛物线的标准方程的坐标系时,以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标 轴建立坐标系,这样不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简单, 便于应用。

五.直线和圆锥曲线的位置关系:相交,相切,相离。
1.直线 与圆锥曲线 C 位置关系的判断: 判断直线 与圆锥曲线 C 的位置关系时,将直线 的方程代入曲线 C 的方程,消去 y(也 可消去 x)得一个关于变量 x(或 y)的一元二次方程 ax +bx+c=0。 ①当 a≠0 时, 若Δ>0,则 与 C 相交; 若Δ=0,则 与 C 相切; 若Δ<0,则有 与 C 相离。 ②当 a=0 时,即得到一个一次方程,若方程有解,则直线 与 C 相交,此时只有一个公 共点 若 C 为双曲线,则 平行于双曲线的渐近线; 若 C 为抛物线,则 平行于抛物线的对称轴。 注意: 注意:当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线和双曲线、抛物线可能相切, 也可能相交。 2.直线被圆锥曲线截得的弦长公式: 斜率为 k 的直线被圆锥曲线截得弦 AB,设 弦长公式: , ,则
2



时, 弦长公式还可以写成:
5

注意: 注意:利用这个公式求弦长时,应注意应用韦达定理。

六.求曲线的方程.
1.坐标法的定义: 在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线 上点的坐标(x,y)所满足的方程 究曲线的性质.这就是坐标法. 2.坐标法求曲线方程的步骤: 建系→设点→点满足的几何条件坐标化→整理化简成最简形式→证明 (可省略, 但必须 删去增加的或者补上丢失的解) 3.求轨迹方程的常用方法: 直接法、定义法、代入法、参数法等。 表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研

七.规律方法指导. 规律方法指导
1.三种圆锥曲线定义、标准方程及简单几何性质的对比: 椭圆 双曲线 抛物线

1.到两定点 F1、F2 的距离之和 1.到两定点 F1、F2 的距离之差 为定值 2a(2a>|F1F2|)的点的 的绝对值的为定值 2a(0<2a< 定义 轨迹 |F1F2|)的点的轨迹

2.与定点和定直线的距离之比 2.与定点和定直线的距离之比 与定点和定直线的距离 为定值 e 的点的轨迹 (0<e<1)为定值 e 的点的轨迹(e>1) 相等的点的轨迹

图形

标 准 方 方 程 程 参 数 方 程 角) (参数 为离心

(参数 为离心角)

(t 为参数)

6

范围 中心 顶点

, 原点 O(0,0) (a,0)(-a,0), (0,b),(0,-b) x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b

, 原点 O(0,0) (a,0),(-a,0) x 轴,y 轴; 实轴长 2a,虚轴长 2b (0,0)

对称轴

x轴

焦点

F1(c,0),F2(-c,0)

F1(c,0),F2(-c,0)

焦距 离心率 e=1

准线

渐近线

2.有关圆锥曲线综合题类型: (1)求圆锥曲线方程 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤: 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置, 如果位置不确定时, 考虑是否多 解。此时注意数形结合,在图形上标出已知条件,检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是 否准确等。 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在 2 2 哪个坐标轴上时,可设方程为 mx +ny =1(m>0,n>0) 定量——由题设中的条件找到 “式” 中特定系数的等量关系, 通过解方程得到量的大小。 此处注意 n 个未知数,列够 n 个独立的方程,并注意“点在线上”条件及韦达定理的使用。 注意:求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查学生识图、画图、数形结 合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求 同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最 值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法 (2)求取值范围或最值 ①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数,注意求函数的定义域。 ②方程与不等式组----n 个未知数,列够 n 个独立方程或不等式,注意归纳总结列不等 式的方法: ③利用几何性质求参数范围; ④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同.
7

3.解析几何问题中,解决运算问题的几点措施: 解析几何图形结构、问题结构多,且易于发散,一旦形成为图形或知识点的综合,往往 最具运算量、最为繁难复杂.因此,有时即便是明确了解法甚至较细的步骤,解题过程当中 也常常被卡住,算不到底、算不出正确结果也是常有的事。因此,如何解决运算量问题,对 于解题成功与否至关重要.解决运算问题,可以有以下措施: (1)不断提高运算和恒等变形能力。注意培养观察问题、分析问题、转化问题、解决问 题的能力,避免 思维定势,提高思维灵活性;具体审题中多收集些信息,综观全局,权衡 利弊,再决定解题策略; 加强训练运算基本功,不断提高恒等变形的能力. (2)善于运用平面几何性质来解题问题。解题处理方式不同,可能繁简大相径庭,若考 虑问题的几何特 征,充分利用图形几何性质,对于解决运算量会大有裨益,这一点对于圆 锥曲线综合题的处理很重要. (3)注意解析法与各种数学方法结合。当所求点的坐标直接解决有困难时,往往引进参 数或参数方程起到解决问题的桥梁作用,引进合适的参数,进行设而不求的计算方式,在解 析几何中是普遍的,但应注意不断积累消参经验;相应元替换法也是常用的策略

八.二次曲线中的中点弦问题.
2 2 1. 设 圆 x + y + Dx + Ey + F = 0 的 弦 AB 的 中 点 为 P ( x0 , y0 ) ( y0 ≠ 0) , 则

k AB = ?

2 x0 + D 2x + D k =? 0 2 y0 + E 。 2 y0 + E ) (假设点 P 在圆上时,则过点 P 的切线斜率为

b2 x x2 y2 k AB = ? 2 ? 0 + 2 =1 2 a y0 。 b 2.设椭圆 a 的弦 AB 的中点为 P ( x0 , y0 ) ( y0 ≠ 0) ,则 k =?
(注:对 a≤b 也成立。假设点 P 在椭圆上,则过点 P 的切线斜率为

b 2 x0 ? a 2 y0 )

b 2 x0 x2 y2 k AB = 2 ? ? 2 =1 2 a y0 。 b 3. 设双曲线 a 的弦 AB 的中点为 P ( x0 , y0 )( y0 ≠ 0) 则 (假 k=
设点 P 在双曲线上,则过 P 点的切线斜率为

b 2 x0 ? a 2 y0 )
k AB = p y0 。 (假设点 P

4.设抛物线 y = 2 px 的弦 AB 的中点为 P ( x0 , y0 ) ( y0 ≠ 0) 则
2

k=
在抛物线上,则过点 P 的切线斜率为

p ) y0

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