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选修2-2 《导数及其应用》题型总结

时间:2017-10-30


《导数及其应用》经典题型总结 一、知识网络结构
导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数

导 数

导数的运算 导数的运算法则 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值

题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考点一 导数的概念,物理意义的应用 例 1.(1)设函数 f ( x ) 在 x

? 2 处可导,且 f ?(2) ? 1 ,求 lim
h ?0

(2) f ( x) ? 2 x sin(2 x ? 5) ,求 f ?( x )

f (2 ? h) ? f (2 ? h) ; 2h

(3)已知 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2)?( x ? 2008) ,求 f ?(0) .

考点二 导数的几何意义与物理意义的应用 例 2: 已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点 P(1,1),且在点 Q(2,-1)处与直线 y=x-3 相切,求实数 a、b、c 的值 例 3:已知曲线 y= x3 ? . (1)求曲线在(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点(2,4)的切线方程.
1 3 4 3

例 4:已知物体运动的位移 s 与时间 f 关系为 s(t)= t ? 2t ? 1 ,则 t=1 时物体的速度与加速度分别
2

为____________, ___________________ 题型二 函数单调性的应用 考点一 利用导函数的信息判断 f(x)的大致形状 例 1 如果函数 y=f(x)的图象如图,那么导函数 y=f(x)的图象可能是(

)

考点二 求函数的单调区间及逆向应用

例 1 求函数 y ? x 4 ? 2 x 2 ? 5 的单调区间.(不含参函数求单调区间)

1 例 2 已知函数 f(x)= x2+alnx(a∈R,a≠0),求 f(x)的单调区间.(含参函数求单调区间) 2

练习:求函数 f ( x) ? x ?

a 的单调区间。 x
2

例 3 若函数 f(x)=x -ax +1 在(0,2)内单调递减,求实数 a 的取值范围.(单调性的逆向应用)

3

3 练习 1:已知函数 f ( x) ? 2ax ? x , x ? (0,1], a ? 0 ,若 f ( x) 在 (0,1] 上是增函数,求 a 的取值范围。

2. 设 a>0,函数 f ( x) ? x ? ax 在(1,+∞)上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围。
3

3. 已知函数 f(x)=ax3+3x2-x+1 在 R 上为减函数,求实数 a 的取值范围。 总结:已知函数 y ? f ( x) 在 ( a, b) 上的单调性,求参数的取值范围方法: 1、利用集合间的包含关系 2、转化为恒成立问题(即 f ( x) ? 0或f ( x) ? 0 )(分离参数) 3、利用二次方程根的分布(数形结合)
/ /

例 4 求证 sin x ? x ,( x ?? )(证明不等式)

练习:已知 x>1,证明 x>ln(1+x).

题型三 函数的极值与最值 考点一 利用导数求函数的极值。 lnx+1 1 例 1 求下列函数的极值:(1)f(x)=x+ ;(2)f(x)= .(不含参函数求极值) 4x x

a 例 2 设 a>0, 求函数 f(x)=x2+ (x>1)的单调区间, 并且如果有极值时, 求出极值. (含参函数求极值) x

a 例 3 设函数 f(x)= x3+bx2+cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两个根分别为 1,4.若 f(x)在(-∞, 3 +∞)内无极值点,求 a 的取值范围.(函数极值的逆向应用)

例 4 已知函数 f(x)=x -3ax-1,a≠0. (利用极值解决方程的根的个数问题) (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线 y=m 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围.

3

题型四 函数的最值 例 1 求函数 f ( x) ?

4x , x ? ?? 2,2? 的最大值与最小值。(不含参求最值) x ?1
2

例 2 已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,试问是否存在实数 a、b,使 f(x)在[-1,2]上取得最大值 3,最小 值-29,若存在,求出 a,b 的值;若不存在,请说明理由.(最值的逆向应用)

例 3 已知 f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2. (1)求函数 f(x)的单调区间.
(2)若对任意 x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2 恒成立,求实数 a 的取值范围.(利用极值处理恒成立

问题)

1 练习 1 已知 f(x)=x3- x2-2x+5,当 x∈[-1,2]时,f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围。 2 3 (2)f(x)=ax -3x+1 对于 x∈[-1,1]恒有 f(x)≥0 成立,则 a=________.

二、知识点
1、函数 f ? x ? 从 x1 到 x 2 的平均变化率:

2、导数定义: f ? x ? 在点 x0 处的导数记作 y ?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? . x2 ? x1
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

3、函数 y ? f ? x ? 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 4、常见函数的导数公式:
' ① C ? 0 ;② ( x? )' ? ?x? ?1 ;

y ? f ? x?

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) . ?x

在点

? ? x0 , f ? x0 ??

处的切线的斜率.

③ (sin x) ' ? cos x ;④ (cosx) ' ? ? sin x ; ⑦ (log a x) ?
'

⑤ (a x ) ' ? a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ; 5、导数运算法则:

1 1 ' ;⑧ (ln x ) ? x ln a x

?1?

? ? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x ? ? g? ? x ? ; ? 2? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x? g ? x ? ? f ? x ? g? ? x ? ;

? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? g ? x ? ? 0? ? ? ? 2 g x ? ? g x ? ? ? ? 3? ? ? ? ??

6、在某个区间 ? a, b ? 内,若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递增; 若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递减. 7、求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域;
'



(2)求导数 y ? f ( x) ;
' '

(3)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间.
'

8、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时:

?1? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x? ? 0 ,右侧 f ? ? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; ? 2 ? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x? ? 0 ,右侧 f ? ? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
9、求解函数极值的一般步骤: (1)确定函数的定义域 (2)求函数的导数 f’(x) (3)求方程 f’(x)=0 的根 (4)用方程 f’(x)=0 的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格 (5)由 f’(x)在方程 f’(x)=0 的根左右的符号,来判断 f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b? 上的最大值与最小值的步骤是:

?1? 求函数 y ? f ? x? 在 ? a, b ? 内的极值; ? 2 ? 将函数 y ? f ? x? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其中最大的一个是最大值,最
小的一个是最小值.


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