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等差数列基础习题选(附详细答案)


等差数列基础习题选(附有详细解答) 一.选择题(共 26 小题) 1.已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,则公差 d 的值为( ) A. B.1 C. D.﹣1

2.已知数列{an}的通项公式是 an=2n+5,则此数列是( ) A.以 7 为首项,公差为 2 的等差数列 B. 以 7 为首项,公差为 5 的等差数列 C. 以 5 为首项,公差为 2

的等差数列 D.不是等差数列 3.在等差数列{an}中,a1=13,a3=12,若 an=2,则 n 等于( ) A.23 B.24 C.25 4.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=6,a4=8,则公差 d=( A .一 1 B.2 C .3 5.两个数 1 与 5 的等差中项是( A .1 B.3 ) C .2 D. ) ) D.一 2

D.26

6.一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是( A.﹣2 B.﹣3 C.﹣4 D.﹣5 7. (2012?福建)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( A .1 B.2 C .3 8. 数列 A .0 的首项为 3, 为等差数列且 B.8 C .3 , 若 ) D.4 , D.11 ) , 则

= (



9.已知两个等差数列 5,8,11,…和 3,7,11,…都有 100 项,则它们的公共项的个数为( A.25 B.24 C.20 D.19 10.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若满足 an=an﹣1+2(n≥2) ,且 S3=9,则 a1=( ) A .5 B.3 C.﹣1 D.1 11. (2005?黑龙江)如果数列{an}是等差数列,则( A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8=a4+a5 ) C.a1+a8<a4+a5

D.a1a8=a4a5

12. (2004?福建)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A .1 B.﹣1 C .2

=(

) D.

13. (2009?安徽)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20 等于( A.﹣1 B.1 C .3

) D.7

14.在等差数列{an}中,a2=4,a6=12, ,那么数列{ A. B.

}的前 n 项和等于( C.

) D.

15.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项的和,a2+a5=4,S7=21,则 a7 的值为( A .6 B.7 C .8 16.已知数列{an}为等差数列,a1+a3+a5=15,a4=7,则 s6 的值为( A.30 B.35 C.36 17. (2012?营口) 等差数列{an}的公差 d<0, 且 A .5 B.6 )

) D.9

D.24 )

, 则数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值时的项数 n 是 ( C .5 或 6 D.6 或 7 ) D.176 ) D.2 ) D.9 ) D.5

18. (2012?辽宁)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( A.58 B.88 C.143 19.已知数列{an}等差数列,且 a1+a3+a5+a7+a9=10,a2+a4+a6+a8+a10=20,则 a4=( A.﹣1 B.0 C .1 20. (理)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣8n,第 k 项满足 4<ak<7,则 k=( A .6 B.7 C .8 21.数列 an 的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2n ﹣17n,则当 Sn 取得最小值时 n 的值为( A .4 或 5 B.5 或 6 C .4 22.等差数列{an}中,an=2n﹣4,则 S4 等于( A.12 B.10 ) C .8 )
2 2

D.4

23.若{an}为等差数列,a3=4,a8=19,则数列{an}的前 10 项和为( A.230 B.140 C.115 24.等差数列{an}中,a3+a8=5,则前 10 项和 S10=( A .5 B.25 ) C.50

D.95

D.100

25.设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,且 S1,S2,S4 成等比数列,则 A .1 B.2 C .3

等于( D.4



26.设 an=﹣2n+21,则数列{an}从首项到第几项的和最大( ) A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 10 项或 11 项 二.填空题(共 4 小题) 27.如果数列{an}满足:

D.第 12 项

= _________ .
2

28.如果 f(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3…) ,且 f(1)=2,则 f(100)= _________ . 29.等差数列{an}的前 n 项的和 ,则数列{|an|}的前 10 项之和为 _________ .

30.已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55,a2+a7=16. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式: (Ⅱ )若数列{an}和数列{bn}满足等式:an== (n 为正整数) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

参考答案与试题解析
一.选择题(共 26 小题) 1.已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,则公差 d 的值为( ) A. B.1 C.

D.﹣1

考点: 等差数列. 专题: 计算题. 分析: 本题可由题意,构造方程组
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,解出该方程组即可得到答案.

解答: 解:等差数列{an}中,a3=9,a9=3, 由等差数列的通项公式,可得

解得

,即等差数列的公差 d=﹣1.

故选 D 点评: 本题为等差数列的基本运算,只需构造方程组即可解决,数基础题. 2.已知数列{an}的通项公式是 an=2n+5,则此数列是( ) A.以 7 为首项,公差为 2 的等差数列 B. 以 7 为首项,公差为 5 的等差数列 C. 以 5 为首项,公差为 2 的等差数列 D.不是等差数列 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列. 计算题.

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直接根据数列{an}的通项公式是 an=2n+5 求出首项,再把相邻两项作差求出公差即可得出结论. 解:因为 an=2n+5, 所以 a1=2×1+5=7; an+1﹣an=2(n+1)+5﹣(2n+5)=2. 故此数列是以 7 为首项,公差为 2 的等差数列. 故选 A. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式的应用.如果已知数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项.
3

3.在等差数列{an}中,a1=13,a3=12,若 an=2,则 n 等于( ) A.23 B.24 C.25

D.26

考点: 等差数列. 专题: 综合题. 分析: 根据 a1=13,a3=12,利用等差数列的通项公式求得 d 的值,然后根据首项和公差写出数列的通项公式,让 其等于 2 得到关于 n 的方程,求出方程的解即可得到 n 的值. 解答: 解:由题意得 a3=a1+2d=12,把 a1=13 代入求得 d=﹣ ,
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则 an=13﹣ (n﹣1)=﹣ n+

=2,解得 n=23

故选 A 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一道基础题. 4.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=6,a4=8,则公差 d=( A .一 1 B.2 C .3 ) D.一 2

考点: 等差数列. 专题: 计算题. 分析: 根据等差数列的前三项之和是 6,得到这个数列的第二项是 2,这样已知等差数列的;两项,根据等差数列 的通项公式,得到数列的公差. 解答: 解:∵ 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, S3=6, ∴ a2=2 ∵ a4=8, ∴ 8=2+2d ∴ d=3, 故选 C. 点评: 本题考查等差数列的通项,这是一个基础题,解题时注意应用数列的性质,即前三项的和等于第二项的三 倍,这样可以简化题目的运算.
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5.两个数 1 与 5 的等差中项是( A .1 B.3 考点: 等差数列. 专题: 计算题. 分析: 由于 a,b 的等差中项为
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) C .2 D.

,由此可求出 1 与 5 的等差中项. =3,

解答:

解:1 与 5 的等差中项为: 故选 B.

点评:

本题考查两个数的等差中项,牢记公式 a,b 的等差中项为:

是解题的关键,属基础题.

6.一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是( A.﹣2 B.﹣3 C.﹣4 D.﹣5 考点: 等差数列.



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4

专题: 计算题. 分析: 设等差数列{an}的公差为 d,因为数列前六项均为正数,第七项起为负数,所以 差为整数进而求出数列的公差. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, 所以 a6=23+5d,a7=23+6d, 又因为数列前六项均为正数,第七项起为负数, 所以 ,

,结合公

因为数列是公差为整数的等差数列, 所以 d=﹣4. 故选 C. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式,并且结合正确的运算. 7. (2012?福建)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( A .1 B.2 C .3 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的通项公式. 计算题. ) D.4

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设数列{an}的公差为 d,则由题意可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,由此解得 d 的值. 解:设数列{an}的公差为 d,则由 a1+a5=10,a4=7,可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,解得 d=2, 故选 B. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题. 8. 数列 A .0 的首项为 3, 为等差数列且 B.8 C .3 , 若 , D.11 , 则 = ( )

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 先确定等差数列 的通项,再利用
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,我们可以求得 ,

的值.

解答: 解:∵

为等差数列,



∴ ∴ bn=b3+(n﹣3)×2=2n﹣8 ∵ ∴ b8=a8﹣a1 ∵ 数列 的首项为 3

∴ 2×8﹣8=a8﹣3, ∴ a8=11. 故选 D 点评: 本题考查等差数列的通项公式的应用,由等差数列的任意两项,我们可以求出数列的通项,是基础题. 9.已知两个等差数列 5,8,11,…和 3,7,11,…都有 100 项,则它们的公共项的个数为( )
5

A.25

B.24

C.20

D.19

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: (法一) :根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列,且公差为原来两个公差的最 小公倍数求解, (法二)由条件可知两个等差数列的通项公式,可用不定方程的求解方法来求解. 解答: 解法一:设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an},则 a1=11 ∵ 数列 5,8,11,…与 3,7,11,…公差分别为 3 与 4, ∴ {an}的公差 d=3×4=12, ∴ an=11+12(n﹣1)=12n﹣1. 又∵ 5,8,11,…与 3,7,11,…的第 100 项分别是 302 与 399, ∴ an=12n﹣1≤302,即 n≤25.5. 又∵ n∈N*, ∴ 两个数列有 25 个相同的项. 故选 A 解法二:设 5,8,11,与 3,7,11,分别为{an}与{bn},则 an=3n+2,bn=4n﹣1. 设{an}中的第 n 项与{bn}中的第 m 项相同,
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即 3n+2=4m﹣1,∴ n=

m﹣1.

又 m、n∈N*,可设 m=3r(r∈N*) ,得 n=4r﹣1. 根据题意得 1≤3r≤100 1≤4r﹣1≤100 解得 ≤r≤ ∵ r∈N* 从而有 25 个相同的项 故选 A 点评: 解法一利用了等差数列的性质,解法二利用了不定方程的求解方法,对学生的运算能力及逻辑思维能力的 要求较高. 10.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若满足 an=an﹣1+2(n≥2) ,且 S3=9,则 a1=( ) A .5 B.3 C.﹣1 D.1 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的通项公式. 计算题.

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根据递推公式求出公差为 2,再由 S3=9 以及前 n 项和公式求出 a1 的值. 解:∵ an=an﹣1+2(n≥2) ,∴ an﹣an﹣1=2(n≥2) , ∴ 等差数列{an}的公差是 2, 由 S3=3a1+ =9 解得,a1=1.

故选 D. 点评: 本题考查了等差数列的定义,以及前 n 项和公式的应用,即根据代入公式进行求解. 11. (2005?黑龙江)如果数列{an}是等差数列,则( A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8=a4+a5 考点: 等差数列的性质. 分析: 用通项公式来寻求 a1+a8 与 a4+a5 的关系. 解答: 解:∵ a1+a8﹣(a4+a5)=2a1+7d﹣(2a1+7d)=0 ∴ a1+a8=a4+a5
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) C.a1+a8<a4+a5

D.a1a8=a4a5

6

∴ 故选 B 点评: 本题主要考查等差数列通项公式,来证明等差数列的性质.

12. (2004?福建)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A .1 B.﹣1 C .2

=(

) D.

考点: 专题: 分析: 解答:

等差数列的性质. 计算题. 充分利用等差数列前 n 项和与某些特殊项之间的关系解题.
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解:设等差数列{an}的首项为 a1,由等差数列的性质可得 a1+a9=2a5,a1+a5=2a3,

∴ =

=

=

=1,

故选 A. 点评: 本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前 n 项和公式以及等差中项的综合应用, 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则有如下关系 S2n﹣1=(2n﹣1)an. 13. (2009?安徽)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20 等于( A.﹣1 B.1 C .3 ) D.7

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据已知条件和等差中项的性质可分别求得 a3 和 a4 的值,进而求得数列的公差,最后利用等差数列的通项 公式求得答案. 解答: 解:由已知得 a1+a3+a5=3a3=105, a2+a4+a6=3a4=99, ∴ a3=35,a4=33,∴ d=a4﹣a3=﹣2. ∴ a20=a3+17d=35+(﹣2)×17=1. 故选 B 点评: 本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用.解题的关键是利用等差数列中等差中项的 性质求得 a3 和 a4.
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14.在等差数列{an}中,a2=4,a6=12, ,那么数列{ A. B.

}的前 n 项和等于( C.

) D.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 求出等差数列的通项,要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列,利用错位相减法求出数 列的前 n 项的和.
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7

解答: 解:∵ 等差数列{an}中,a2=4,a6=12; ∴ 公差 d= ∴ an=a2+(n﹣2)×2=2n; ∴ ; ;



的前 n 项和,

= 两式相减得

=

∴ 故选 B 点评: 求数列的前 n 项的和,先判断通项的特点,据通项的特点选择合适的求和方法. 15.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项的和,a2+a5=4,S7=21,则 a7 的值为( A .6 B.7 C .8 ) D.9

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由 a2+a5=4,S7=21 根据等差数列的性质可得 a3+a4=a1+a6=4① ,根据等差数列的前 n 项和公式可得,
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,联立可求 d,a1,代入等差数列的通项公式可求 解答: 解:等差数列{an}中,a2+a5=4,S7=21 根据等差数列的性质可得 a3+a4=a1+a6=4① 根据等差数列的前 n 项和公式可得, 所以 a1+a7=6② ② ﹣① 可得 d=2,a1=﹣3 所以 a7=9 故选 D 点评: 本题主要考查了等差数列的前 n 项和公式及等差数列的性质的综合应用,属于基础试题. 16.已知数列{an}为等差数列,a1+a3+a5=15,a4=7,则 s6 的值为( A.30 B.35 C.36 考点: 等差数列的性质. ) D.24

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8

专题: 计算题. 分析: 利用等差中项的性质求得 a3 的值,进而利用 a1+a6=a3+a4 求得 a1+a6 的值,代入等差数列的求和公式中求得 答案. 解答: 解:a1+a3+a5=3a3=15, ∴ a3=5 ∴ a1+a6=a3+a4=12 ∴ s6= ×6=36

故选 C 点评: 本题主要考查了等差数列的性质.特别是等差中项的性质. 17. (2012?营口) 等差数列{an}的公差 d<0, 且 A .5 B.6 , 则数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值时的项数 n 是 ( C .5 或 6 D.6 或 7 )

考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由 ,知 a1+a11=0.由此能求出数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值时的项数 n.
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解答: 解:由



知 a1+a11=0. ∴ a6=0, 故选 C. 点评: 本题主要考查等差数列的性质,求和公式.要求学生能够运用性质简化计算. 18. (2012?辽宁)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( A.58 B.88 C.143 考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: ) D.176

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根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16,再由 S11= 解答: 解:∵ 在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,∴ a1+a11=a4+a8=16,∴ S11=

运算求得结果.

=88,

故选 B. 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的前 n 项和公式的应用,属于中档题. 19.已知数列{an}等差数列,且 a1+a3+a5+a7+a9=10,a2+a4+a6+a8+a10=20,则 a4=( A.﹣1 B.0 C .1 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 计算题. ) D.2

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由等差数列得性质可得:5a5=10,即 a5=2.同理可得 5a6=20,a6=4,再由等差中项可知:a4=2a5﹣a6=0 解:由等差数列得性质可得:a1+a9=a3+a7=2a5,又 a1+a3+a5+a7+a9=10, 故 5a5=10,即 a5=2.同理可得 5a6=20,a6=4.
9

再由等差中项可知:a4=2a5﹣a6=0 故选 B 点评: 本题考查等差数列的性质及等差中项,熟练利用性质是解决问题的关键,属基础题. 20. (理)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣8n,第 k 项满足 4<ak<7,则 k=( A .6 B.7 C .8
2

) D.9

考点: 等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 先利用公式 an= 求出 an,再由第 k 项满足 4<ak<7,建立不等式,求出 k 的值.
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解答: 解:an=

= ∵ n=1 时适合 an=2n﹣9,∴ an=2n﹣9. ∵ 4<ak<7,∴ 4<2k﹣9<7, ∴ <k<8,又∵ k∈N+,∴ k=7, 故选 B. 点评: 本题考查数列的通项公式的求法, 解题时要注意公式 an= 的合理运用, 属于基础题.

21.数列 an 的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2n ﹣17n,则当 Sn 取得最小值时 n 的值为( A .4 或 5 B.5 或 6 C .4

2

) D.5

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 把数列的前 n 项的和 Sn 看作是关于 n 的二次函数,把关系式配方后,又根据 n 为正整数,即可得到 Sn 取得 最小值时 n 的值. 解答: 2 解:因为 Sn=2n ﹣17n=2 ﹣ ,
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又 n 为正整数, 所以当 n=4 时,Sn 取得最小值. 故选 C 点评: 此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力,是一道基础题. 22.等差数列{an}中,an=2n﹣4,则 S4 等于( A.12 B.10 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的前 n 项和. 计算题. ) C .8 D.4

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利用等差数列{an}中,an=2n﹣4,先求出 a1,d,再由等差数列的前 n 项和公式求 S4. 解:∵ 等差数列{an}中,an=2n﹣4, ∴ a1=2﹣4=﹣2,
10

a2=4﹣4=0, d=0﹣(﹣2)=2, ∴ S4=4a1+ =4×(﹣2)+4×3 =4. 故选 D. 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,注意先由通项公式求出首项和 公差,再求前四项和. 23.若{an}为等差数列,a3=4,a8=19,则数列{an}的前 10 项和为( A.230 B.140 C.115 ) D.95

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 综合题. 分析: 分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式,得到① 和② ,联立即可求出首项和公差,然后利用求出 的首项和公差,根据公差数列的前 n 项和的公式即可求出数列前 10 项的和. 解答: 解:a3=a1+2d=4① ,a8=a1+7d=19② , ② ﹣① 得 5d=15, 解得 d=3, 把 d=3 代入① 求得 a1=﹣2,
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所以 S10=10×(﹣2)+

×3=115

故选 C. 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值,是一道基础题. 24.等差数列{an}中,a3+a8=5,则前 10 项和 S10=( A .5 B.25 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: ) C.50

D.100

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根据条件并利用等差数列的定义和性质可得 a1+a10=5, 代入前 10 项和 S10 = 果. 解答: 解:等差数列{an}中,a3+a8=5,∴ a1+a10=5, ∴ 前 10 项和 S10 = 故选 B. =25,

运算求得结

点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质,以及前 n 项和公式的应用,求得 a1+a10=5,是解题的关键,属于基 础题.

25.设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,且 S1,S2,S4 成等比数列,则 A .1 B.2 C .3

等于( D.4



考点: 等差数列的前 n 项和.

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专题: 计算题. 2 分析: 由 S1,S2,S4 成等比数列,根据等比数列的性质得到 S2 =S1S4,然后利用等差数列的前 n 项和的公式分别 表示出各项后,代入即可得到首项和公差的关系式,根据公差不为 0,即可求出公差与首项的关系并解出公 差 d,然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后,把公差 d 的关系式代入即可求出比值. 解答: 解:由 S1,S2,S4 成等比数列, ∴ (2a1+d) =a1(4a1+6d) . ∵ d≠0,∴ d=2a1. ∴ = = =3.
2

故选 C 点评: 此题考查学生掌握等比数列的性质,灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值,是一道综 合题. 26.设 an=﹣2n+21,则数列{an}从首项到第几项的和最大( ) A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 10 项或 11 项

D.第 12 项

考点: 等差数列的前 n 项和;二次函数的性质. 专题: 转化思想. 分析: 方法一:由 an,令 n=1 求出数列的首项,利用 an﹣an﹣1 等于一个常数,得到此数列为等差数列,然后根据 求出的首项和公差写出等差数列的前 n 项和的公式,得到前 n 项的和与 n 成二次函数关系,其图象为开口
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向下的抛物线,当 n=﹣

时,前 n 项的和有最大值,即可得到正确答案;

方法二:令 an 大于等于 0,列出关于 n 的不等式,求出不等式的解集即可得到 n 的范围,在 n 的范围中找 出最大的正整数解,从这项以后的各项都为负数,即可得到正确答案. 解答: 解:方法一:由 an=﹣2n+21,得到首项 a1=﹣2+21=19,an﹣1=﹣2(n﹣1)+21=﹣2n+23, + 则 an﹣an﹣1=(﹣2n+21)﹣(﹣2n+23)=﹣2, (n>1,n∈N ) , 所以此数列是首项为 19,公差为﹣2 的等差数列, 则 Sn=19n+ 当 n=﹣ ?(﹣2)=﹣n +20n,为开口向下的抛物线, =10 时,Sn 最大.
2

所以数列{an}从首项到第 10 项和最大. 方法二:令 an=﹣2n+21≥0, 解得 n≤ ,因为 n 取正整数,所以 n 的最大值为 10,

所以此数列从首项到第 10 项的和都为正数,从第 11 项开始为负数, 则数列{an}从首项到第 10 项的和最大. 故选 A 点评: 此题的思路可以先确定此数列为等差数列, 根据等差数列的前 n 项和的公式及二次函数求最值的方法得到 n 的值;也可以直接令 an≥0,求出解集中的最大正整数解,要求学生一题多解. 二.填空题(共 4 小题) 27.如果数列{an}满足: = .

考点: 数列递推式;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的数列的递推式,看出数列是一个等差数列,根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项,
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根据等差数列的通项公式写出数列,进一步得到结果. 解答: 解:∵ 根据所给的数列的递推式 ∴ 数列{ ∵ a1=3, ∴ = , ∴ 数列的通项是 ∴ 故答案为: 点评: 本题看出数列的递推式和数列的通项公式,本题解题的关键是确定数列是一个等差数列,利用等差数列的 通项公式写出通项,本题是一个中档题目. 28.如果 f(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3…) ,且 f(1)=2,则 f(100)= 101 . 考点: 数列递推式;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由 f(n+1)=f(n)+1,x∈N+,f(1)=2,依次令 n=1,2,3,…,总结规律得到 f(n)=n+1,由此能够求 出 f(100) . 解答: 解:∵ f(n+1)=f(n)+1,x∈N+, f(1)=2, ∴ f(2)=f(1)+1=2+1=3, f(3)=f(2)+1=3+1=4, f(4)=f(3)+1=4+1=5, …
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}是一个公差是 5 的等差数列,

∴ f(n)=n+1, ∴ f(100)=100+1=101. 故答案为:101. 点评: 本题考查数列的递推公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 29.等差数列{an}的前 n 项的和 ,则数列{|an|}的前 10 项之和为 58 .

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 先求出等差数列的前两项,可得通项公式为 an=7﹣2n,从而得到 n≤3 时,|an|=7﹣2n,当 n>3 时,|an|= 2n﹣7.分别求出前 3 项的和、第 4 项到第 10 项的和,相加即得所求. 解答: 解:由于等差数列{a }的前 n 项的和 ,故 a =s =5,
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n

1

1

∴ a2=s2﹣s1=8﹣5=3,故公差 d=﹣2,故 an=5+(n﹣1) (﹣2)=7﹣2n. 当 n≤3 时,|an|=7﹣2n,当 n>3 时,|an|=2n﹣7. 故前 10 项之和为 a1+a2+a3﹣a4﹣a5﹣…﹣a10= + =9+49=58,

故答案为 58. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式,前 n 项和公式及其应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
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30.已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55,a2+a7=16. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式: (Ⅱ )若数列{an}和数列{bn}满足等式:an== (n 为正整数) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: (1)将已知条件 a3a6=55,a2+a7=16,利用等差数列的通项公式用首项与公差表示,列出方程组,求出首项 与公差,进一步求出数列{an}的通项公式 (2)将已知等式仿写出一个新等式,两个式子相减求出数列{bn}的通项,利用等比数列的前 n 项和公式求 出数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解答: 解(1)解:设等差数列{an} 的公差为 d,则依题设 d>0 由 a2+a7=16.得 2a1+7d=16 ① 由 a3?a6=55,得(a1+2d) (a1+5d)=55 ② 由① 得 2a1=16﹣7d 将其代入② 得(16﹣3d) (16+3d)=220. 2 2 即 256﹣9d =220∴ d =4,又 d>0, ∴ d=2,代入① 得 a1=1 ∴ an=1+(n﹣1)?2=2n﹣1 所以 an=2n﹣1
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(2)令 cn=

,则有 an=c1+c2+…+cn,an+1=c1+c2+…+cn﹣1

两式相减得 an+1﹣an=cn+1, 由(1)得 a1=1,an+1﹣an=2 ∴ cn+1=2,cn=2(n≥2) , n+1 即当 n≥2 时,bn=2 又当 n=1 时,b1=2a1=2 ∴ bn= <BR>

于是 Sn=b1+b2+b3…+bn=2+2 +2 +…+2
n+2

3

4

n+1

=2+2 +2 +2 +…+2

2

3

4

n+1

﹣4=

﹣6,

即 Sn=2 ﹣6 点评: 求一个数列的前 n 项和应该先求出数列的通项,利用通项的特点,然后选择合适的求和的方法.

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