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立体几何中的向量方法

时间:2016-11-29


立体几何中的向量方法

1

立体几何中的向量方法

平面向量

推广到

空间向量

向量 渐渐成为重要工具

立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面以及由 它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会

向量 这一工具在立体几何中的应用.

2

思考 1: 怎样用向量来表示点、 直线、 平面在空间中的位置?

⑴点 在空间中,我们取一定点 O 作为基点,
那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量 ??? ? ??? ? OP 来表示,我们把向量 OP 称为点 P 的位置向 量. P ⑵直线 P 空间中任 ? 意一条直线 l a 的位置可以由 l 上一个定点 O A 以及一个定 B 方向确定. 3 A

⑵直线

空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.

P
? a

对于直线 l 上的任一点 P , ??? ? ??? ? 存在实数 t 使得 AP ? t AB

B
A

此方程称为直线的向量参数方程

??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? OA ? ta 或 OP ? xOA ? yOB (x ? y ? 1 )

4

⑶平面
空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两条相 交直线来确定. ? n 对于平面 ? 上的任一点 P , ? P b 存在有序实数对 ( x, y) ,使得 ? ??? ? ? ? ? O a OP ? xa ? yb

除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方 向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位 置. 5

? 平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所 ?,则称这个向量垂直于平 在直线垂直于平面 ? ? ? 面 ? ,记作 n⊥ ? ,如果 n ⊥ ? ,那么向量 n 叫做平面 ? 的法向量. ? l n ,那 给定一点A和一个向量 ? 么过点A,以向量 n 为法向量的平 ?
n
面是完全确定的.
A
几点注意: 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行 ? ?? ; 3.向量 n 是平面的法向量,向量 m 是与平面平行或在平面内,则有

? ?? n? m ? 0

6

思考 2:

因为方向向量与法向量可以确定直线和平 面的位置,所以我们应该可以利用直线的方向 向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的 平行、垂直、夹角等位置关系.

你能用直线的方向向量表示空间两直线平 行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗? 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂 直的位置关系以及它们二面角的大小吗?

7

? ? 设不重合的两直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 不重合的两平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? ? 线线平行: l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ; ? ? ? ? 线面平行: l ∥ ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ; ? ? ? ? 面面平行: ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv . ? ? ? ? 线线垂直:l ⊥ m ? a ⊥ b ? a ? b ? 0 ; ? ? ? ? 线面垂直: l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ; ? ? ? ? 面面垂直:? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0. 8

? ? 设不重合的两直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 不重合的两平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? 线线角: a?b ? 两直线 l , m 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), cos ? ? ? ? ;
2

a b ? ? 线面角: a?u ? 直线 l 与平面 ? 所成的角为 θ ( 0 ≤ ? ≤ ), sin ? ? ? ? ; 2 a u ? ? 面面角: u?v 二面角 α - l - ? 的大小为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ? ), cos ? ? ? ? . u v 点面距:(设 A 是面? 外一点,B 是面? 内任一点) ??? ? ? | BA ? u | 练习 : 点A到面?的距离为d= ? 9 u

P.104

练习: ???? ? 1.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求证: DB1 是平 面 ACD1 的一个法向量.
A
1

D1 B1 D A B

C1

C

2. 已知不共线的三点坐标 , 如何求经过这三点的 平面的一个法向量? 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一 ? 个法向量. n ? (4, 3,6)
10

1答案

2答案

3答案

练习 1:在正方体 ABCD ?A B 中, 1 C 1 D 1 1 ???? ? 求证: DB1 是平面 ACD1 的法向量

证:设正方体棱长为 1, ??? ? ???? ???? ? 以 DA, DC , DD1 为单位正交基底, 建立如图所示空间坐标系 D ? xyz ??? ? ???? ? DB1 ? (1,1,1) , AC ? (?1,1,0) , ???? ? AD1 ? (?1,0,1) ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? DB1 ? AC ? 0 ,所以 DB1 ? AC , ???? ? ???? ? 同理 DB1 ? AD1 又因为 AD1 ? AC ?A ???? ? ???? ? 所 以 DB1 ? 平 面 ACD , 从 而 DB1 是平面 ACD1 的一个法向量 .

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问题:如何求平面的法向量? ? ⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 ? ? 坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 ? ? ? ?n ? a ? 0 组 ?? ? ? ?n ? b ? 0

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
12

2、例题
例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点 A为 端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个 顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系? 解:如图1,设 AB ? AA1 ? AD ? 1,?BAD ??BAA1 ? ?DAA1 ? 60? 化为向量问题 依据向量的加法法则, AC1 ? AB ? AD ? AA1 进行向量运算
AC1 ? ( AB ? AD ? AA1 ) 2
2 2 2
2

D1

C1
B1

A1 D A 图1
B

C

? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 )

? 1 ? 1 ? 1 ? 2(cos60? ? cos60? ? cos60?) ?6 | AC1 |? 6 所以

回到图形问题 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6 倍。
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思考:
(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系? 分析:
BD1 ? BA ? BC ? BB1
A1 B1 D D1

其中?ABC ? ?ABB1 ? 120? , ?B1 BC ? 60?

C1

(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,

并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等
, 那么有这个四棱柱的对角线的长可以 ? 确定棱长吗? 于
A

C
B

AB ? AD ? AA1 ? x , ?BAD ? ?BAA1 ? ?DAA1 ? ? 分析: 设 AC1 ? a ,

则由AC1 ? AB ? AD ? AA1
AC1 ? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 )
2 2 2 2

1 a 即 a ? 3 x ? 2(3 x cos? ) 3 ? 6 cos? ∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
2 2 2

? x?

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(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(提 示:求两个平行平面的距离,通常归结为求两点间的距离) 分析:面面距离 ?点面距离 ? 向量的模 ? 回归图形
过 A1点作 A1 H ? 平面 AC 于点 H . 解: 则 A1 H 为所求相对两个面之间 的距离 .
2

D1 A1 B1 H A C B

C1

D

由 ?A1 AB ? ?A1 AD ? ?BAD 且 AB ? AD ? AA1 ? H 在 AC上.
AC ? ( AB ? BC )2 ? 1 ? 1 ? 2 cos 60? ? 3 ? AC ? 3

AA1 ? AC ? AA1 ? ( AB ? BC ) ? AA1 ? AB ? AA1 ? BC ? cos60? ? cos60? ? 1.
? cos?A1 AC ? AA1 ? AC | AA1 | ? | AC | ? 1 3

?

?

6 A1 H ? AA1 sin?A1 AC ? 3

6 3 6 ∴ 所求的距离是 3 。 sin?A1 AC ?

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(4)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条

D1
A1 B1 D A B C

C1

对角线的长,并且以同一顶点为端点的各棱间的
夹角都相等,那么可以确定各棱之间夹角的余弦 值吗? 分析:如图,设以顶点 A 为端点的对角线
2

长为 d ,三条棱长分别为 a , 各棱间夹角为 ? 。 b, c,
则 d ? A1C ? ( AB ? BC ? CC1 ) 2
2

? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2(ab ? bc ? ac) cos?
? d 2 ? a 2 ? b2 ? c 2 cos? ? 2(ab ? bc ? ac)

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(5)如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 a ,并且以某一顶
点为端点的各棱间的夹角都等于? ,那么可以确定这个四棱柱相邻 D1 两个夹角的余弦值吗? 分析: 二面角 ? 平面角 ?向量的夹角 ? 回归图形 解:如图,在平面 AB1 内过 A1 作 A A1E⊥AB 于点 E, 在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。
则 A1 E ? CF ? a sin? , AE ? BF ? a cos?
A1 B1 C B F C1

D E

? cos? ? cos ? EA1 , FC ?? cos ? A1 E , CF ?
? A1 E ? CF | A1 E || CF |

?

( A1 A ? AE ) ? (CB ? BF ) a 2 sin2 ?

a 2 cos? ? a 2 cos? cos( ? ? ? ) ? a 2 cos? cos(? ? ? ) ? a 2 cos2 ? ? a 2 sin2 ? cos? ? ∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。 1 ? cos? 17

例2.如图甲站在水库底面上的点A处,乙站在水 坝斜面上的点B处。从A,B到直线 l(库底与水坝 的交线)的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.
??? ? 2 ??? ? 2 ??? ?2 ???? ??? ? ???? ???? ??? ? ???? ? AB ? CD ? BD ? 2( AC ? CD ? AC ? DB ? CD ? DB )

??? ? 2 ???? ??? ? ??? ?2 AB ? ( AC ? CD ? DB )

?
C

B

库底与水坝所成的二面角的余弦值 ??? ? ??? ? 即 CA 与 DB 的夹角的余弦值.

D

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CA ? DB CA ? DB ∵ cos CA, DB ? ??? ,∵只要求出 CA ? DB 即可. ? ??? ? ? ab CA ? DB

?

A

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 由 d ? a ? c ? b ? 2CA ? DB 能求出 CA ? DB
2 2 2 2

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例3 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形, 侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点, 作EF⊥PB于F. z P (1)求证:PA∥平面EDB;
(0,0,1)

(2)求证:PB⊥平面EFD;

(0,0.5,0.5)

F
(0,0,0)

E

(3)求二面角C-PB-D的大小.

(0,1,0)

(4)PD=1,求A到面PBC的距离;

D

C y

A (5)求PB与平面EDB所成角的余弦 x (1,0,0) (6)直线PA与BE的夹角的余弦

G

(1,1,0) B
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(3)求二面角C-PB-D的大小.

z

方法一:几何法求∠DFE (0,0,1) (0,0.5,0.5) E 的大小(相似三角形、勾 F 股定理求边,余弦定理求 角); (0,0,0) C D 方法二:向量法求∠DFE的 y G 大小(求cos<DF,FE>,先 A B (1,0,0) (1,1,0) x 求点F的坐标,课本109页);

P

方法三:向量法求两面法向量夹角的余弦值. 易知,AC是平面PBD的法向量,设平面CPB的法 向量为n=(x,y,z),列方程求出n,求cos<DF,n>, 20 从而求出锐二面角C-PB-D的大小.


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