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广东省各地2012高考数学月考联考模拟最新分类汇编12 立体几何3 理


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2012 广东省各地月考联考模拟最新分类汇编(理) : 立体几何(3)
【广东省深圳市松岗中学 2012 届高三理科模拟(2) 】13、已知 m,n 是两条不同的直线,? 是 一个平面, 有下列四个命题: ① 若 m // ? , n // ? ,则 m // n ; ② 若 m

? ? , n ? ? ,则 m // n ; ③ 若 m // ? , n ? ? ,则 m ? n ; ④ 若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? . 其中真命题的序号有______________.(请将真命题的序号都填上) 【答案】②③ 【广东省深圳市松岗中学 2012 届高三理科模拟(1) 】4.下列命题中正确的个数是 (1)若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l ∥ ? . (2)若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都平行. (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行. (4)若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都没有公共点. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

【答案】B 【广东省英德市一中 2012 届高三模拟考试理】 如图, 5. 四面体 OABC 的三条棱 OA, OB, OC 两两垂直, OA ? OB ? 2 , OC ? 3 , D 为四面体 OABC 外一点.给出下列命题. ①不存在点 D ,使四面体 ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点 D ,使四面体 ABCD 是正三棱锥 ③存在点 D ,使 CD 与 AB 垂直并且相等 ④存在无数个点 D ,使点 O 在四面体 ABCD 的外接球面上

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C D O A 其中真命题的序号是 (A)①② (B)②③ (C)③ (D)③④ B

【答案】D 【广东省深圳市 2012 届高三第二次调研理】 某机器零件的俯视图是直径为 24 mm 的圆 10. (包 3 括圆心) ,主视图和侧视图完全相同,如图 2 所示.则该机器零件的体积是______mm (结果保

留? ) .

【答案】 2880 ? 【广东省韶关市 2012 届高三模拟理】4.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为.

A. 1 B. 3 C 6 D. 2 【答案】B 【广东省梅州中学 2012 届高三第二次月考试理】6.一个锥体的主视图和左视图如图所示, 下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是

1

1

1

1

1 1

1
主视图

1

1
左视图

1

1

1

1

A

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B

C

D

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【答案】C 【广东省茂名市 2012 年第二次高考模拟理】6. 已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3, 4, x ,且它的 8 个顶点都在同一个球面上,这个球面的表面积为 125π 则该球的半径为 ( A. 25 2 【答案】D 【解析】因为球的半径为R= 球的半径R为 5 2 5 。 【广东省深圳市松岗中学 2012 届高三理科模拟(2) 】18、 (本小题 14 分)已知某几何体的直 观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯
25 + x 2 ,所以有 4? ( 2

) B.10 C. 5 5 D. 5 2 5

25 ? x 2 2 ) ? 125 , 所以x ? 10 ,所以 ? 2

形, (1)求证:BN ? 平面C1B1 N ; (2) 设?为直线C1 N与平面CNB1所成的角,求sin?的值 ; (3)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上求一点 P,使 MP//平面 CNB1 求

BP 的值 PC

【答案】 (1)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯 形, ∴BA,BC,BB1 两两垂直。 ……………2 分 以 BA,BC,BB1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则 N(4,4,0) 1(0, 8,0) 1(0,8,4) ,B ,C , C(0,0,4) ∵ BN1 ? NB1 =(4,4,0)(-4,4,0)=-16+16=0 · · BN ? B1C1 =(4,4,0)(0,0,4)=0 ∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1 且 NB1 与 B1C1 相交于 B1, ∴BN⊥平面 C1B1N; (II)设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 NCB1 的一个法向量, ……………4 分

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?? ???? ? ?n2 ? CN ? 0 ?( x, y, z ) ? (4, 4, ?4) ? 0 ? 则 ? ?? ???? ?? ? ? ?n2 ? NB1 ? 0 ?( x, y, z ) ? (?4, 4, 0) ? 0 ?

? ???? ? ? x ? y ? z ? 0 ?? ?? , 取n2 ? (1,1, 2), C1 N ? (4, ?4, ?4) ?? x ? y ? 0
则 sin ? ?|

(4, ?4, ?4) ? (1,1, 2) 2 |? ; 3 16 ? 16 ? 16 ? 1 ? 1 ? 4

……………9 分

(III)∵M(2,0,0).设 P(0,0,a)为 BC 上一点, 则 MP ? (?2,0, a) , ∵MP//平面 CNB1, ∴ MP ? n2 ? MP ? n2 ? (?2,0, a) ? (1,1,2) ? ?2 ? 2a ? 0 ? a ? 1. 又 PM ? 平面CNB1 ,? MP // 平面CNB1 , ∴当 PB=1 时 MP//平面 CNB1

?

BP 1 ? ……………14 分 PC 3

【广东省深圳市松岗中学 2012 届高三理科模拟(4) 】18. (本小题满分 14 分)如图,在四棱
? PA ? Q 锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形, BAD ? 60 , 为 AD 的中点, ? PD ? AD ? 2 .

(Ⅰ)求证: AD ? 平面 PQB ; (Ⅱ)点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC ,试确定 t 的值,使 PA // 平面 MQB ; (Ⅲ)若 PA // 平面 MQB ,平面 PAD ? 平面 ABCD ,求二面角 M ? BQ ? C 的大小.

P M

D Q A B

C

【答案】 (Ⅰ)证明:连接 BD . 因为四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 ,所以△ ABD 为正三角形.又 Q 为 AD 中
?

点, 所以 AD ? BQ .因为 PA ? PD , Q 为 AD 的中点,所以 AD ? PQ .又

BQ ? PQ ? Q , 所以 AD ? 平面 PQB .

P M

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D Q N

C

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(Ⅱ)解:当 t ?

1 时, PA ∥平面 MQB . 3

下面证明:连接 AC 交 BQ 于 N ,连接 MN . 因为 AQ ∥ BC ,所以

AN AQ 1 ? ? . NC BC 2

因为 PA ∥平面 MQB , PA ? 平面 PAC ,平面 MQB ? 平面 PAC ? MN , 所以 MN ∥ PA .所以

PM AN 1 1 1 ? ? .所以 PM ? PC ,即 t ? . …………9 分 MC NC 2 3 3
z P M

(Ⅲ)解:因为 PQ ? AD , 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,交线为 AD , 所以 PQ ? 平面 ABCD . 以 Q 为坐标原点,分别以 QA,QB,QP 所在的直 线为 x, y, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 Q ? xyz .

D Q A x N B y

C

由 PA = PD = AD =2 则有 A(1,0,0) , B(0, 3,0) ,

P(0,0, 3) .设平面 MQB 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,由 PA ? (1,0,? 3) , QB ? (0, 3,0)
且 n ? PA , n ? QB ,可得 ?

??? ?

??? ?

? x ? 3 z ? 0, 令 z ? 1, 得 x ? 3,y ? 0 . ? 3 y ? 0.
取平面 ABCD 的法向量 m = (0,0,1) ,

所以 n = ( 3,0,1) 为平面 MQB 的一个法向量. 则 cos m,n ?

m?n 1 1 ? ,故二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60°. ? m n 2 ?1 2

【广东省深圳市松岗中学 2012 届高三理科模拟(1) 】18.(本小题满分 14 分) 如图, AA1 、 BB1 为圆柱 OO1 的母线, BC 是 底面圆 O 的直径, D 、 E 分别是 AA1 、 CB1 的中 点,

DE ? 面CBB1 .

(1)证明: DE // 面ABC ;
1 (2)求四棱锥 C ? ABB A1 与圆柱 OO1 的体积比;

(3)若 BB1 ? BC ,求 CA1 与面 BB1C 所成角的正弦值.
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A1

O1 B1
D
E
A

C O
B
【答案】解: (1)证明:连结 EO , OA .

? E, O 分别为 B1C , BC 的中点,
∴ EO // BB1 .…………………………………2 分 又 DA// BB1 ,且 DA ? EO ?

1 BB1 . 2

∴四边形 AOED 是平行四边形, 即 DE // OA, DE ? 面ABC . ………………3 分 ∴ DE // 面ABC . ………………………4 分 (2)由题 DE ? 面CBB1 ,且由( 1)知 DE // OA . ∴ AO ? 面CBB1 ,∴ AO ? BC , ∴ AC ? AB . …………………………………………………………………………6 分 因 BC 是底面圆 O 的直径,得 CA ? AB ,且 AA ? CA , 1 ∴ CA ? 面AA B1 B ,即 CA 为四棱锥的高.………………………………………7 分 1 设圆柱高为 h ,底半径为 r ,则 V柱 ? ?r 2 h , V锥 ? ∴ V锥 : V柱 ?

1 2 h( 2r ) ? ( 2r ) ? hr 2 3 3

2 . …………………………………………………………………9 分 3?

(3)解一:由(1)(2)可知,可分别以 AB, AC, AA 为坐标轴建立空间直角标系,如图 1 设 BB1 ? BC ? 2 ,则 A1 (0,0,2) , C (0, 2 ,0) ,

z

A1
O1

O(

2 2 2 2 , ,0) ,从而 AO ? ( , ,0) , 2 2 2 2

CA1 ? (0,? 2,2) ,由题, AO 是面 CBB1
的法向量,设所求的角为 ? .…………………12 分

B1
D
E

A
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y
C O

x

B

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???? ???? ???? ???? | AO ? CA1 | 6 则 sin ? ?| cos ? AO, CA1 ?|? ???? ???? ? . 6 | AO || CA1 |
………………………………14 分 解二:作过 C 的母线 CC1 ,连结 B1C1 ,则

B1C1 是上底面圆 O1 的直径,连结 A1O1 ,得
A1O1 // AO ,又 AO ? 面CBB1C1 ,
∴ A1O1 ? 面CBB1C1 ,连结 CO1 , 则 ?A1CO1 为 CA1 与面 BB1C 所成的角, 设 BB1 ? BC ? 2 ,则

A1
O1

C1

B1
D
E
A

A1C ? 2 2 ? ( 2 ) 2 ? 6 , A1O1 ? 1 .……12 分
在 Rt?A1O1C 中,

C O
B

sin ?A1CO1 ?

A1O1 6 .………………14 分 ? A1C 6

【广东省深圳市 2012 届高三第二次调研理】18. (本小题满分 14 分) 如图 5,已知正方形 ABCD 在水平面上的正 投影(投影线垂直于投影面)是四边形 .

A 'B 'C ' D ' ,其中 A 与 A ' 重合,且 BB '? DD '? CC ' .
(1)证明 AD '// 平面 BB 'C 'C ,并指出四边形 AB 'C ' D ' 的形状; (2)如果四边形 AB 'C ' D ' 中, AD'? 2 , AB'? 5 ,正方形 ABCD 的边长为 6 , 求平面 ABCD 与平面 AB 'C ' D ' 所成的锐二面角 ? 的余弦值. 【答案】证明: (1)依题意, BB '? 平面 AB 'C ' D ' ,
C

CC '? 平面 AB 'C ' D ' ,
DD '? 平面 AB 'C ' D ' ,
所以 BB '// CC '// DD ' . ……………2 分

D
E

(法 1)在 CC ' 上取点 E ,使得 CE ? DD ' , 连结 BE , D ' E ,如图 5-1. 因为 CE // DD ' ,且 CE ? DD ' , 所以 CDD ' E 是平行四边形, D ' E // DC ,且 D 'E ? DC . 又 ABCD 是正方形, DC // AB ,且 DC ? AB , 所以 D ' E // AB ,且 D ' E ? AB ,故 ABED ' 是平行四边形,

B

C'
D'

B'

A(A ')

图5 ?1
… ……4 分

从而 AD '// BE ,又 BE ? 平面 BB 'C 'C , AD '? 平面 BB 'C 'C ,

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所以 AD '// 平面 BB 'C 'C .

… ……………………6 分

四边形 AB 'C ' D ' 是平行四边形 (注: 只需指出四边形 AB 'C ' D ' 的形状, 不必证明) …… . 7分 (法 2)因为 DD '// CC ' , CC '? 平面 BB 'C 'C , DD '? 平面 BB 'C 'C , 所以 DD '// 平面 BB 'C 'C . 因为 ABCD 是正方形,所以 AD // BC ,又 BC ? 平面 BB 'C 'C , AD ? 平面 BB 'C 'C , 所以 AD // 平面 BB 'C 'C . … ………………………4 分

而 DD '? 平面 ADD ' , AD ? 平面 ADD ' , DD ' ? AD ? D , 所以平面 ADD '// 平面 BB 'C 'C , AD '? 平面 ADD ' , 又 所以 AD '// 平面 BB 'C 'C . ………… 6分 四边形 AB 'C ' D ' 是平行四边形 (注: 只需指出四边形 AB 'C ' D ' 的形状, 不必证明) …… . 7分 解: (2)依题意,在 Rt△ ABB ' 中, BB '? 在 Rt△ ADD ' 中, DD '?

AB 2 ? AB '2 ? ( 6 ) 2 ? ( 5 ) 2 ? 1 ,

AD 2 ? AD '2 ? ( 6 )2 ? ( 2 )2 ? 2 ,

所以 CC '? BB '? DD '? AA '? 1 ? 2 ? 0 ? 3 . (注:或 CC '? CE ? EC '? DD '? BB '? 2 ? 1 ? 3 ) 连结 AC , AC ' ,如图 5-2, 在 Rt△ ACC ' 中, AC '? ……………………8 分 C

AC 2 ? CC '2 ? (2 3 ) 2 ? 32 ? 3 .

2 2 2 所以 AC ' ? B 'C ' ? AB ' ,故 AC '? B 'C ' .……10 分

(法 1)延长 CB , C 'B ' 相交于点 F , 则

D B

FB ' BB ' 1 3 ? ? ,而 B 'C '? 2 ,所以 FC '? 2. FC ' CC ' 3 2
连结 AF ,则 AF 是平面 ABCD 与平面 AB 'C ' D '

C'
D'

B'

F

的交线. 在平面 AB 'C ' D ' 内作 C 'G ? AF ,垂足为 G , 连结 CG .

G

A(A ')

图5 ? 2

因为 CC '? 平面 AB 'C ' D ' , AF ? 平面 AB 'C ' D ' ,所以 CC '? AF . 从而 AF ? 平面 CC 'G , CG ? AF . 所以 ?CGC ' 是平面 ABCD 与平面 AB 'C ' D ' 所成的一个锐二面角. …… ………12 分

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C ' A ? C 'F 在 Rt△ AC ' F 中, C 'G ? ? AF

3 2 3 5 2 , ? 2 5 ?3 ? ( 3)2 ? ? 2? ?2 ? 3?
2 2

?3 5 ? 3 30 ? 在 Rt△ CC 'G 中, CG ? CC ' ?C 'G ? 3 ? ? ? 5 ? ? 5 . ? ?
2 2

所以 cos? ? cos?CGC '?

C 'G 6 , ? CG 6 6 .… ………14 分 6
z
C

即平面 ABCD 与平面 AB 'C ' D ' 所成的锐二面角 ? 的余弦值为

(法 2)以 C ' 为原点, C ' A 为 x 轴, C 'B ' 为 y 轴, C 'C 为 z 轴, 建立空间直角坐标系(如图 5-3) , 则平面 AB 'C ' D ' 的一个法向量 n ? (0 , 0 , 1) . 设平面 ABCD 的一个法向量为 m ? ( x , y , z ) , 因为 A( 3 , 0 , 0) , B(0 , 所以 AB ? (? 3 ,

2 , 1) , C (0 , 0 , 3) ,

D B

2 , 1) , BC ? (0 , ? 2 , 2) ,
C'
D'


而 m ? AB , m ? BC , 所以 m ? AB ? 0 且 m ? BC ? 0 , 即?

B'

y

?? 3x ? 2 y ? z ? 0 ? ? ? ? 2 y ? 2z ? 0

A(A ') x 图5 ? 3

取 z ? 1 ,则 y ? 2 , x ?

3 ,所以平面 ABCD 的一个法向量为 m ? ( 3 , 2 , 1) .

(注:法向量不唯一,可以是与 m ? ( 3 ,

2 , 1) 共线的任一非零向量) …………12 分

cos? ?| cos ? m, n ?|?

|m ? n| | 3 ? 0 ? 2 ? 0 ? 1? 1 | 6 ? ? . 2 2 2 2 2 2 | m || n | 6 ( 3) ? ( 2 ) ? 1 ? 0 ? 0 ? 1

所以平面 ABCD 与平面 AB 'C ' D ' 所成的锐二面角 ? 的余弦值为 14 分

6 . ………………… 6

(法 3)由题意,正方形 ABCD 在水平面上的正投影是四边形 A ' B 'C ' D ' , . 所以平面 ABCD 与平面 AB 'C ' D ' 所成的锐二面角 ? 的余弦值 ? 12 分 而 S ABCD ? ( 6 )2 ? 6 , S AB'C ' D' ? B 'C ' ? AC '? 2 ? 3 ? 6 ,所以 cos? ?

S AB'C ' D ' . ………………… S ABCD 6 , 6

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所以平面 ABCD 与平面 AB 'C ' D ' 所成的锐二面角 ? 的余弦值为

6 . ………………… 6

14 分 【广东省深圳高级中学2012届高三上学期期末理】18. (本小题满分14分) 正三棱柱 ABC - A1 B1C1 的底面边长为 4,侧棱长为 4, D 为 AA A1 的中点, 1 (1)求 AB 与 CD 所成角的余弦值; (2)求二面角 B ? CD ? A 的大小的正切值; (3)求三棱锥 C1 ? BCD 的体积。

【答案】作 CE∥AB,AE∥BC,CE 与 AE 交于 E,则∠DCE 是 AB 与 CD 所成角,AA1⊥平面 ABC, ∴△ACD 和△AED 都是直角三角形,由勾股定理可 A1 求得 CD=ED= 20 , B1 由余弦定理可求得 cos∠ECD=

5 , (4 分) 5

M1 C1 H O M C F E A D

(2)面 ACC1A1⊥面 ABC,交线为 AC,作 BF⊥ AC 于 F,则 BF⊥面 ACC1A1。 作 FO⊥CD 于 O,连 BO,由三垂线定理知,BO ⊥CD,则∠BOF 是二面角 B-CD-A 的平面角。 由△COF∽△CAD 可求得 OF=

B

2 5



正三角形 ABC 中,BF=

2 3 ,在△BFO 中,可求得 tan∠BOF= 15 , (8 分)

(3)可证 B1C1∥平面 BCD,取 B1C1 中点 M1,则 C1 、M1 与平面 BCD 距离相等,取 BC 中点 M, 连 AM、 1M、 1 A1, M M 可证面 AMM1A1⊥面 BCD, M1H⊥MD 于 H, M1H⊥面 BCD, 作 则 ∵可求得∠DMA= 30 ,
0

∴∠M1MD= 60 ,M1H=4sin∠M1MD=2 3 ,∴VC1-BCD=

0

1 16 3 S△BCDM1H= 。(12 分) 3 3

【广东省梅州中学 2012 届高三第二次月考试理】18. (本题满分 13 分) 如图,在四棱锥

P ? ABCD 中 , 底 面 为 直 角 梯 形 , AD // BC , ?BAD ? 90? , PA ? 底 面

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P

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ABCD , PA ? AD ? AB ? 2BC , M , N 分别为 PC , PB 的中点.
(Ⅰ)求证: PB ? DM ; (Ⅱ)求 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值.

【答案】解: (Ⅰ)解法 1:∵ N 是 PB 的中点, PA ? AB ,∴ AN ? PB . ∵ PA ? 平面 ABCD ,所以 AD ? PA . 又 AD ? AB , PA ? AB ? A ,∴ AD ? 平面 PAB , AD ? PB . 又 AD ? AN ? A ,∴ PB ? 平面 ADMN . ∵ DM ? 平面 ADMN ,∴ PB ? DM . ………………6 分

解法 2:如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 BC ? 1 , 可得, A? 0,0,0? , P ? 0,0,2? , B ? 2,0,0? , C ? 2,1,0? , M ? 1, 因为 PB ? DM ? ? 2, 0, ?2 ? ? ?1, ? ,1? ? 0 ,所以 PB ? DM .

? 1 ? ,1? , D ? 0, 2,0? . ? 2 ?
………………6 分

??? ???? ? ?

? ?

3 ? 2 ?

z P

P

N A B x

M y D C B

N A

M D Q C

(Ⅱ) 解法 1: AD 中点 Q , 取 连接 BQ 和 NQ , BQ / / DC , PB ? 平面 ADMN , CD 则 又 ∴ 与平面 ADMN 所成的角为 ?BQN .

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设 BC ? 1 ,在 Rt ?BQN 中,则 BN ? 2 , BQ ? 5 ,故 sin ?BQN ?

10 . 5

所以 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值为

10 . 5

………………13 分

解法 2:因为 PB ? AD ? ? 2,0, ?2 ? ? ? 0, 2,0 ? ? 0 . 所以 PB ? AD ,又 PB ? DM ,所以 PB ? 平面 ADMN , 因此 PB, DC 的余角即是 CD 与平面 ADMN 所成的角.

??? ???? ?

??? ???? ?

??? ???? ? ??? ???? ? PB ? DC 10 ? 因为 cos PB, DC ? ??? ???? ? . 5 | PB || DC |
所以 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值为

10 . 5

………………13 分

【广东省韶关市 2012 届高三模拟理】18.(本小题满分 14 分) 如图 5(1)中矩形 ABCD 中,已知 AB ? 2 , AD ? 2 2 , MN 分别为 AD 和 BC 的中点,对 角线 BD 与 MN 交于 O 点,沿 MN 把矩形 ABNM 折起,使平面 ABNM 与平面 MNCD 所成 角为 60 ,如图 5(2). (1) 求证: BO ? DO ; (2) 求 AO 与平面 BOD 所成角的正弦值.
?

【答案】

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解: (1)由题设,M,N 是矩形的边 AD 和 BC 的中点,所以 AM ? MN, BC ? MN, 折叠垂直关系不 变,所以∠AMD 是平面 ABNM 与平面 MNCD 的平面角,依题意,所以∠AMD=60 , ……………………………………………………………………………………………………… 2 分 由 AM=DM, 可知△MAD 是正三角形, 所以 AD= 2, 在矩形 ABCD 中, AB=2,AD= 2 2 ,所以, BD= 6 , 由 题 可 知 BO=OD=
o

3 , 由 勾 股 定 理 可 知 三 角 形 BOD 是 直 角 三 角 形 , 所 以 BO ⊥

DO ……………………………………………………………………………………… 5 分 解(2)设 E,F 是 BD,CD 的中点,则 EF ? CD, OF ? CD, 所以,CD ? 面 OEF, OE ? CD 又 BO=OD,所以 OE ? BD, OE ? 面 ABCD, OE ? 面 BOD , 平面 BOD⊥平面 ABCD 过 A 作 AH⊥BD,由面面垂直的性质定理,可得 AH⊥平面 BOD,连结 OH ,…………………… 8 分 所 以 OH 是 AO 在 平 面 BOD 的投影 ,所以∠ AOH 为 所求的角 , 即 AO 与平 面 BOD 所 成 角。……………………11 分 AH 是 RT△ABD 斜边上的高,所以 AH=

2 3 ,BO=OD= 3 , 3

M

D A H C

所以 sin∠AOH=

2 (14 分) 3


O N

方法二:空间向量:取 MD,NC 中点 P,Q,如图建系,

Q(0,0,0) ,B(

6 2 2 ,0,0) ,D(0, ,2) ,O(0, ? ,1) 2 2 2

B

所以 BO ? ( ?

??? ?

???? 6 2 ,? ,1) DO ? (0, ? 2 , ?1) , 2 2

所以 BO ? DO ? 0,即 BO⊥DO(5 分) (2)设平面 BOD 的法向量是 n ? ( x, y, z) ,可得 ?

??? ???? ?

?

6 2 x? y + z =0 2 2

M

P D A Q C

? ? 2y ?z =0,令 y ? 2 可得 x ? ? 6, z ? ?2 所以 n ? (? 6, 2, ?2)
又 AO ? ( ?

O N

????

6 2 ,? , ?1) , 2 2

设 AO 与平面 BOD 所成角为 ?

???? ??? 2 ? sin ? ? cos ? AO, n ? = (14 分) 3
【广东省茂名市 2012 年第二次高考模拟理】19.(本小题满分 14 分)

B

如图所示,圆柱底面的直径 AB 长度为 2 2 , O 为底面圆心,正三角形 ABP 的一个顶

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点 P 在上底面的圆周上,PC 为圆柱的母线,CO 的延长线交 ? O 于点 E , BP 的中点为 F . (1) 求证:平面 ABP ⊥平面 ACF ; (2) 求二面角 F ? CE ? B 的正切值.

【答案】解: (1)证明: 正三角形 ABP 中, F 为 BP 的中点, ∴ AF ⊥ PB ∵ PC 为圆柱的母线, ∴ PC ⊥平面 ABC , 而 AC 在平面 ABC 内 ∴ PC ⊥ AC ………………2 分

…1 分

∵ AB 为 ? O 的直径,∴ ?ACB ? 90 °即 AC ⊥ BC

……………3 分

PC ? BC =C ,∴ AC ⊥平面 PBC , …………………4 分
而 PB 在平面 PBC 内, ∴ AC ⊥ PB …………5 分

AC ? AF =A ,∴ PB ⊥平面 ACF ,………………………6 分
而 PB 在平面 ABP 内,∴平面 ABP ⊥平面 ACF …………7 分 (2) 由(1)知 AC ⊥ BC , PC ⊥ AC ,同理 PC ⊥ BC , 而 PA ? PB ? AB ? 2 2 ,可证 Rt ?PAC ≌ Rt ?PBC , ∴ AC ? BC ? PC ? 2 ……8 分 以 C 为原点, CA, CB, CP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 则 C (0,0,0), F (0,1,1), O(1,1,0), P(0,0, 2) ………………………9 分

∵ PC ⊥平面 ABC ,∴ CP ? (0,0, 2) 为平面 CEB 的一个法向量………10 分 设 n ? ( x, y, z) 平面 CEF 的一个法向量, CF ? (0,1,1), CO ? (1,1,0)

??? ?

?

??? ?

??? ?

??? ? ? ?CF ?n ? 0 ? 则 ? ??? ? ? ?CO?n ? 0 ?

即?

?y ? z ? 0 ?x ? y ? 0

,令 y ? ?1 则 n ? (1, ?1,1)

?

………11 分

设二面角 F ? CE ? B 的平面角为 ? ,

??? ? ? CP ? n 0 ?1 ? 0 ? (?1) ? 2 ?1 3 ? ? ? ? ∴ cos ? ? ??? ………………12 分 2 2 2 3 | CP | ? | n | 2 ? 1 ? (?1) ? 1
∴ sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

6 , ………………………………13 分 3
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所以二面角 F ? CE ? B 的正切值 tan ? ?

sin ? ? 2 ……………14 分 cos ?

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