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数列综合测试题含附加题(有答案)


数列综合测试题
一.选择题(每小题 5 分,满分 50 分) 1. “ b ? ac ”是“ a、b、c 成等比数列”的( )条件
2

A. 充分不必要

B. 必要不充分
?

C. 充要

D. 既不充分也不必要

2.已知 ?a n ?是等比数

列,对 ?n ? N , a n ? 0 恒成立,且 a1a3 ? 2a2 a5 ? a4 a6 ? 36 , 则 a2 ? a5 等于 A.36 B. ?6 C.-6 D.6 ( )

3.在等差数列 ? an ? 中,有 3 ? a3 ? a5 ? ? 2 ? a7 ? a10 ? a13 ? ? 24 ,则此数列的前 13 项乊和为 A.52 B.26 C.13 D.156

4.已知等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 , 若 a 4 ? a 6 ? 24 , a 2 ? a 8 ? 10 , 则该数列的前 n 项和

S n 的最大值为
A. 50 B. 45 C. 40 D. 35

(

).

5.已知等差数列 ?a n ?中, a3 ? a9 ,公差 d ? 0 ; S n 是数列 ?a n ?的前 n 项和,则( A. S5 ? S6 B. S5 ? S6
2 ?



C. S6 ? 0

D. S5 ? S6 ( D. na1 ? Sn ? nan ) )

6.数列 ?a n ?的前 n 和为 Sn ? 3n ? 2n (n ? N ) ,当 n ? 2 时有 A. Sn ? na1 ? nan B. Sn ? nan ? na1 C. na1 ? Sn ? nan

7.设函数 f(x)满足 f(n+1)= A.95

2 f ( n) ? n * (n∈N )且 f(1)=2,则 f(20)为 ( 2 B.97 C.105 D.192
*

8.已知数列 {an } 满足: an ? log n?1 (n ? 2) ,定义使 a1 ? a2 ? a3 ? ......ak 为整数的 K (k ? N ) 叫做 希望数,则区间[1,2010]内所有希望数的和 M ? A.2026 B.2036 C.2046 ( D.2048
2



9.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 成等比数列,p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次程 bx -2ax+c=0 A.无实数根 C.有两个同号的相异的实数根 B.有两个相等的实数根 D.有两个异号的相异的实数根 ( ) ( )

10.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 q ,则 q 的取值范围是

A. (0,

1? 5 ) 2

B. (

1? 5 ,1] 2

C. [1,

1? 5 ) 2

D. (

?1? 5 1? 5 , ) 2 2

二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.已知等比数列{an},a2>a3=1,则使不等式(a1然数 n 是 12.已知等比数列 {a n } 及等差数列 {bn } ,其中 b1 ? 0 ,公差 d≠0.将这两个数列的对应项相 加,得一新数列 1,1,2,…,则这个新数列的前 10 项乊和为_____________ 13.设{an}是首项是 1 的正项数列, 且 (n ? 1)an ?1 ? nan ? an ?1an ? 0 0(n=1.2,3,…),则它的通项
2 2

1 1 1 )+(a2)+…+(an)≥0 成立的最大自 a1 a2 an

公式 a n = ____________. 14.把 49 个数排成如图 4 所示的数表,若表中每行的 7 个数自左 至右依次都成等差数列,每列的 7 个数自上而下依次也都成等差 数列, 且正中间的数 a 44 =1, 则表中所有数的和为 ____________. 15. 已知 a n ? 2 ? ( 1 ) ,把数列 ?a n ?的各项排成三角形状; 3
n

a1

a2
a5

a3
a7

a4
a8

a6

a9

…… 记 A(m,n)表示第 m 行,第 n 列的项,则 A(10,8)= 三.解答题 16.( 本小题 12 分 ) 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

.

an ?1 1 (n ? 2, n ? N ) . , an ? n 4 ?? 1? an?1 ? 2

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式 a n ; (Ⅱ)设 bn ?

1 an
2

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ;

(Ⅲ)设 c n ? a n s in

(2n ? 1)? ? ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn .求证:对任意的 n ? N , 2

Tn ?


4 . 7

17.( 本小题 12 分 ) 设二次函数 f ( x) ? x 2 ? x,当x ? [n, n ? 1]( n ? N *)时, f ( x) 的所有整数值的个数为 g(n) . (I)求 g(n)的表达式; (II)设 a n ? (III)设 bn ?

2n 3 ? 3n 2 (n ? N *), S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? ?? ? (?1) n ?1 a n , 求S n; g ( n)
g ( n) , Tn ?b1 ?b2 ? ? ? bn .若Tn ? l (l ? Z ), 求l 的最小值. 2n

18. ( 本小题 12 分 ) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) , n ? 1.
n

(Ⅰ)写出数列 {an } 的前 3 项 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)证明:对任意的整数 m ? 4 ,有 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7 a 4 a5 am 8

19. ( 本小题 13 分 ) 设 A(x1,y1),B(x2,y2)是函数 f(x)= 已知点 M 的横坐标为

1 x 1 的图象上任意两点,且 OM ? (OA ? OB) , ? log 2 2 1? x 2

1 . 2 2 n n ?1 ), n ∈N*,且 n≥2,求 Sn; n

(I)求证:M 点的纵坐标为定值; (II)若 Sn=f( ) ? f ( ) ? ? ? f (

1 n

?2 n ?1 ?3 ? (III)已知 an= ? 1 ? ? ( S n ? 1)( S n ?1 ? 1) ?

,其中 n∈N .

*

n?2
*

Tn 为数列{an}的前 n 项和,若 Tn<λ(Sn+1+1)对一切 n∈N 都成立,试求λ的取值范围.

20. ( 本小题 13 分 ) 对数列 ?a n ?,规定 ??an ?为数列 ?a n ?的一阶差分数列,其中 ?an ? an ?1 ? an (n ? N ) 。对自
*

然 数

k , 规 定

?? a ?
k n



?a n ?



k 阶 差 分 数 列 , 其 中

?k a n ? ?k ?1 a n ?1 ? ?k ?1 a n ? ?(?k ?1 a n ) 。
(I)已知数列 ?a n ?的通项公式 an ? n ? n(n ? N ), ,试判断 ??an ?, ? a n 是否为等差或
2 *

?

2

?

等比数列,为什么? (II)若数列 ?a n ?首项 a1 ? 1 ,且满足 ? an ? ?an ?1 ? an ? ?2 (n ? N ) ,求数列 ?a n ? 的通
2 n *

项公式。 (III)对(II)中数列 ?a n ?,是否存在等差数列 ?bn ? ,使得 b1C n ? b2 C n ? ? ? bn C n ? a n 对
1 2 n

一切 n ? N 都成立?若存在,求数列 ?bn ? 的通项公式;若不存在,则请说明理由。
*

21. ( 本小题 13 分 ) 如图, P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ),?, Pn ( xn , yn ), (0 ? y1 ? y2 ? ? ? yn ) 是曲线 1

C : y 2 ? 3x ( y ? 0) 上的 n 个点,点 Ai (ai , 0) (i ? 1, 2,3,? ,n )
在 x 轴的正半轴上, ?Ai ?1 Ai P 是正三角形( A0 是坐标原点) . i (Ⅰ) 写出 a1 , a2 , a3 ; A0 O (Ⅱ)求出点 An (an , 0)( n ? N *) 的横坐标 an 关于 n 的表达式; (Ⅲ)设 bn ?

y P3 P2 P1

A1

A2

A3

x

1 1 1 1 ? ? ??? ,若对任意正整数 n ,当 m ? ? ?1,1? 时,不等式 an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n

t 2 ? 2mt ?
.

1 ? bn 恒成立,求实数 t 的取值范围. 6

1. 已知函数 f ( x) ? ax ? (1)求 a 的值;

3 2 x 的最大值不大于 1 ,又当 x ? [ 1 , 1 ] 时 6 2 4 2

1 f ( x) ? . 8

1 1 ? . (2)设 0 ? a1 ? , an ?1 ? f (an ), n ? N ,证明 an ? n ?1 2

2.如图,把正 ?ABC 分成有限个全等的小正三角形,且 在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数,使得任 意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实 数的乘积相等.设点 A 为第一行,.,BC 为第 n 行,记 ..

? 点 A 上 的 数 为 a11, , 第 i 行 中 第 j 个 数 为
a ij (1 ? j ? i ) .若 a11 ? 1, a 21 ?

1 1 , a 22 ? . 2 4

(1)求 a31、a32、a33 ; (2)试求第 n 行中第 m 个数 a nm 的表达式(用 n、m 表示) ;

1 1 1 4n ? 1 ? ??? ? (n ? N * ) (3)记 S n ? a n1 ? a n 2 ? ? ? a nm (n ? N ) ,求证: n ? S1 S 2 Sn 3
*

3. 已 知 函 数 y ? f ? x ? 的 定 义 域 为 R, 且 对 于 任 意 x1 , x2 ? R, 存 在 正 实 数 L , 使 得

f ? x ? ? f? x? ? L 1x? 2都成立. x 1 2
2 (1) 若 f ? x ? ? 1 ? x ,求 L 的取值范围;

(2) 当 0 ? L ? 1 时,数列 ? an ? 满足 an ?1 ? f ? an ? , n ? 1, 2,? . ① 证明:

?a
k ?1

n

k

? ak ?1 ?

1 a1 ? a2 ; 1? L

② 令 Ak ?

n a1 ? a2 ? ? ak 1 a1 ? a2 . ? k ? 1, 2,3,?? ,证明: ? Ak ? Ak ?1 ? 1? L k k ?1

4 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , a2 ? 5 ,其前 n 项和 S n 满足 Sn ? Sn ? 2 ? 2Sn ?1 ? 2n ?1 ? n ≥ 3? .

令 bn ?

1 . an ? an ?1

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 f ? x ? ? 2 x ?1 ,求证: Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2 ? ? ? ? bn f ? n ? ? ( n ≥1 ) ; (Ⅲ)令 Tn ?
1 ,求同时满足下列两个条件的所 ?b1a ? b2a2 ? b3a3 ? ? ? bn an ?( a ? 0 ) 2
1
? ? 1? ?

1 6

有 a 的值:①对于任意正整数 n ,都有 Tn ? ;②对于任意的 m ? ? 0, ? ,均存在 6 6
n0 ? N ? ,使得 n ≥ n0 时, Tn ? m .

5.设二次函数 f ( x) ? x 2 ? x,当x ? [n, n ? 1]( n ? N *)时, f ( x) 的所有整数值的个数为 g(n) . (I)求 g(n)的表达式; (II)设 a n ? (III)设 bn ?

2n 3 ? 3n 2 (n ? N *), S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? ?? ? (?1) n ?1 a n , 求S n; g ( n)
g ( n) , Tn ?b1 ?b2 ? ? ? bn .若Tn ? l (l ? Z ), 求l 的最小值. 2n

骣 p p 6..已知 a = (cos( x), 1), b = ? f ( x), 2sin( x)÷, a // b . ÷ ? ? 桫 4 4 ÷

?

?

? ?

数列 {an } 满足 a1 =

1 , an+ 1 = f (an ) , n ? N * 。 2

(Ⅰ)证明: 0 < an < an+ 1 < 1 ; (Ⅱ)已知 an ≥

p 4- p 1 ,证明: an+ 1 - an > ; 4 4 2

(Ⅲ)设 Tn 是数列 {an } 的前 n 项和,判断 Tn 与 n- 3 的大小,并说明理由.

7.数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S n ? (I) 求数列{an}的通项公式; (II) 若 bn ? ?

n 2 ? 3n . 2

?a n n ?2

(n为奇数) (n为偶数)

,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn;

n?0

(III) 张三同学利用第(II)题中的 Tn 设计了一个程序如图,但李四 同学认为这个程序如果被执行会是一个 “死循环” (即程序会永远循环 下去,而无法结束) .你是否同意李四同学的观点?请说明理由.

n?n?1

P?n*n/4?24*n

Tn?P?2011? Yes 打印 n

No

结束

1-10 BDBBD CBAAD 16 解: (Ⅰ)?

11.5;

12.978; 13.

1 ; 14.49; n

15. 2 ? ( 1 ) 3

89

1 2 1 1 ,? ? (?1) n ? ? (?1) n ? (?2)[ ? (?1) n ?1 ] , an a n ?1 an a n?1

又?

?1 1 n? ? (?1) ? 3 ,?数列 ? ? ?? 1? ? 是首项为 3 ,公比为 ? 2 的等比数列. a1 ? an ?

(?1) n ?1 1 . ? (?1) n ? 3(?2) n ?1 , 即 a n ? an 3 ? 2 n ?1 ? 1
(Ⅱ) bn ? (3 ? 2
n ?1

? 1) 2 ? 9 ? 4 n ?1 ? 6 ? 2 n ?1 ? 1.

Sn ? 9 ?

1 ? (1 ? 4 n ) 1 ? (1 ? 2 n ) ? 6? ? n ? 3 ? 4n ? 6 ? 2n ? n ? 9 . 1? 4 1? 2

(Ⅲ)? sin

(2n ? 1)? ? (?1) n?1 , 2

? cn ?

(?1) n ?1 1 ? . n ?1 n n ?1 3(?2) ? (?1) 3? 2 ?1

当 n ? 3 时,则 Tn ?

1 1 1 1 ? ? ??? 2 n ?1 3 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1
1 12

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 n ?1 4 7 3? 2 28 3? 2 3? 2
?

[1 ? ( 1 ) n ? 2 ] 2 1? 1 2

11 1 1 11 1 47 48 4 ? [1 ? ( ) n ?2 ] ? ? ? ? ? . 28 6 2 28 6 84 84 7 4 ? T1 ? T2 ? T3 , ?对任意的 n ? N ? , Tn ? 7
17【解析】(I)当 x ? [n, n ? 1](n ? N *) 时,函数 f ( x) ? x ? x 的值随 x 的增大而增大, :
2

∴ f (x) 的值域为 [n ? n, n ? 3n ? 2]( n ? N *) ,∴ g (n) ? 2n ? 3(n ? N *) .
2 2

(II) a n ?

2n 3 ? 3n 2 ? n2 . g ( n)

① n 为偶数时,

S n ? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? ?? ? a n ?1 ? a n ? (12 ? 2 2 ) ? (3 2 ? 4 2 ) ? ?? ? [( n ? 1) 2 ? n 2 ]
3 ? (2n ? 1) n n(n ? 1) . ? ?? 2 2 2

=-[3 + 7 +…+(2n-1)]=- ②当 n 为奇数时,

Sn ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ?? ? (an ? 2 ? an ?1 ) ? Sn ?1 ? an
n(n ? 1) n(n ? 1) . ? n2 ? 2 2 n(n ? 1) ∴ S n ? (?1) n ?1 . 2 g ( n) 5 7 9 2n ? 1 2 n ? 3 (III)由 bn ? n , 得Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? 2 2 2 2 2 2n 1 1 5 7 2n ? 1 2n ? 3 ①× 得 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n?1 . ② 2 2 2 2 2n 2 1 5 2n ? 3 2 2 2 ①-②得 Tn ? ( ? n ?1 ) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 5 2n ? 3 7 2n ? 7 2 2 = ( ? n ?1 ) ? ? ? n ?1 . 1 2 2 2 2 1? 2 2n ? 7 ∴ Tn ? 7 ? . 2n 2n ? 7 则由 Tn ? 7 ? ? l , l ? Z ,可得 l 的最小值是 7. 2n
=- 18(04 年全国卷Ⅲ) (Ⅰ)略, (Ⅱ) a n ? 2 2 n?2 ? (?1) n ?1 . ; 3 n (Ⅲ)由于通项中含有 (?1) ,很难直接放缩,考虑分项讨论: 简析 当 n ? 3 且 n 为奇数时



?

?

1 1 3 1 1 3 2 n ? 2 ? 2 n ?1 ? ? ( n?2 ? n ?1 ) ? ? 2 n ?3 a n a n ?1 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2 ? 2 n ?1 ? 2 n ? 2 ? 1

?

3 2 n ? 2 ? 2 n ?1 3 1 1 ,于是 ? ? ? ( n ? 2 ? n ?1 ) (减项放缩) 2 n ?3 2 2 2 2 2 ①当 m ? 4 且 m 为偶数时 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 ) a4 a5 a6 a m ?1 a m a 4 a5 am

?

1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 7 ? ( 3 ? 4 ? ? ? m?2 ) ? ? ? ? (1 ? m?4 ) ? ? ? . 2 2 2 2 2 4 2 8 8 2 2 2

②当 m ? 4 且 m 为奇数时 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (添项放缩) a 4 a5 a m a 4 a5 a m a m ?1 由①知 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 7 . 由①②得证。 a 4 a5 a m a m ?1 8 19. (1)证明:∵ OM ?

1 (OA ? OB ), 2

∴M 是 AB 的中点.设 M 点的坐标为(x,y),

1 1 (x1+x2)=x= ,得 x1+x2=1,则 x1=1-x2 或 x2=1-x1. 2 2 1 1 而 y= (y1+y2)= [f(x1)+f(x2)] 2 2


=

1 1 x 1 x2 ( +log2 1 ? ? log 2 ) 2 2 1 ? x1 2 1 ? x2

=

1 x x2 (1+log2 1 ? log 2 ) 2 1 ? x1 1 ? x2 1 x x (1+log2 1 · 2 ) 2 1 ? x1 1 ? x2

=

=

1 x· x 1 1 (1+log2 1 2 ) ( ? 0) ? , ? 1 2 x1·2 x 2 2

∴M 点的纵坐标为定值

1 . 2

(2)由(1)知 x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,

1 n n ?1 ), n 2 n n ?1 n?2 1 Sn=f( )? f( ) ??? f ( ) , n n n
Sn=f( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 两式相加得: 2Sn=[f( ) ? f (

1 n ?1 2 n?2 n ?1 1 ) )+[f( ) ? f ( ) )+…+[f( )? f ( )) n n n n n n = 1 ?? ? ? 1 ?1? ? ? ?
n ?1

∴Sn=

n ?1 * (n≥2,n∈N ). 2
1 4 1 1 ? ? 4( · ). ( Sn ? 1)( Sn ?1 ? 1) (n ? 1)( n ? 2) n ?1 n ? 2

(2)当 n≥2 时,an=

2 1 1 1 1 ? 4 [( ? ) ? ? ? ( ? )) 3 3 4 n ?1 n ?1 2 1 1 2n = ? 4( ? )? . 3 3 n?2 n?2 2n n?2 由 Tn<λ(Sn+1+1)得 <λ· . n?2 2 4n 4n 4 ∴λ> ? 2 ? . 2 (n ? 2) n ? 4n ? 4 n ? 4 ? 4 n 4 ∵n+ ≥4,当且仅当 n=2 时等号成立, n 4 4 1 ∴ ? ? . 4 n? ?4 4?4 2 n
Tn=a1+a2+a3+…+an=

因此λ>

1 1 ,即λ的取值范围是( , +∞). 2 2
2

20 解: (I) ?a n ? a n ?1 ? a n ? ?n ? 1? ? ?n ? 1? ? n ? n ? 2n ? 2 ,
2

?

?

∴ ??an ?是首项为 4,公差为 2 的等差数列。

?2 a n ? 2?n ? 1? ? 2 ? ?2n ? 2? ? 2 ,
∴ ? a n 是首项为 2,公差为 0 的等差数列;也是首项为 2, 公比为 1 的等比数列。
2

?

?

(II)证法一: ? a n ? ?a n ?1 ? a n ? ?2 ,即 ?a n ?1 ? ?a n ? ?a n ?1 ? a n ? ?2 ,
2 n n

即 ?a n ? a n ? 2 ,∴ a n ?1 ? 2a n ? 2 ,
n n

∵ a1 ? 1 ,∴ a 2 ? 4 ? 2 ? 2 , a3 ? 12 ? 3 ? 2 , a 4 ? 32 ? 4 ? 2 ,
1
2

3

猜想: a n ? n ? 2

n ?1

.
0

证明:ⅰ)当 n ? 1时, a1 ? 1 ? 1 ? 2 ,猜想成立; ⅱ)假设 n ? k 时, a k ? k ? 2
k ?1

,

n ? k ? 1时, a k ?1 ? 2a k ? 2 k ? k ? 2 k ? 2 k ? ?k ? 1? ? 2 ?k ?1??1 结论也成立,
∴由ⅰ) 、ⅱ)可知, a n ? n ? 2
2 n n ?1

.
n

证法二: ? a n ? ?a n ?1 ? a n ? ?2 ,即 ?a n ?1 ? ?a n ? ?a n ?1 ? a n ? ?2 , 即 ?a n ? a n ? 2 ,∴ a n ?1 ? 2a n ? 2 ,
n n



an?1 an 1 1 1 ?a ? ? n ? ,故 ? n ? 是首项为 ,公差为 的等差数列, n n ?1 2 2 2 2 2 ?2 ? an 1 1 n ? ? ? n ? 1? ? ? ,故 a n ? n ? 2 n ?1 。 n 2 2 2 2
1 2 n 1 2 n n ?1



(III) b1C n ? b2 C n ? ? ? bn C n ? a n ,即 b1C n ? b2 C n ? ? ? bn C n ? n ? 2
1 当n ? 1时, b C ? a 1? b? 1 , n 时, 当 ? 2 1 1 1 1 b ?2 1 C 3



2 b? C a 2 ? b 2 2 ?

2

2,

当n ? 3时, b C ? b2 C ? 1 3
1 3 2

b ?3 a ? b ? 3 C 3
3

3,

猜想bn ? n.
∵ 1C n ? 2C n ? 3C n ? ? ? nCn ? n C n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? ? ? C n ?1 ? n ? 2
1 2 3 n 0 1 2 1 2 n

?

n ?1

?

n ?1

,

∴存在等差数列 ?bn ? , bn ? n ,使得 b1C n ? b2 C n ? ? ? bn C n ? a n 对一切自然

n ? N * 都成立。
21 解:(Ⅰ) a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 12 . (Ⅱ)依题意 An (an , 0), An ?1 (an ?1 , 0) ,则

xn ?

an ?1 ? an ? a ? an , yn ? 3 ? n ?1 2 2 ?

? ?… 3分 ?

y P3 P2 P1 A0

在正三角形 Pn An ?1 An 中,有

yn ?

3 3 | An ?1 An |? (an ? an ?1 ) . 2 2

O

A1

A2

A3

x

3 ? a ? an ? ? 3 ? n ?1 ? ? 2 (an ? an ?1 ) . 2 ? ?
? an ? an ?1 ? 2(an ?1 ? an ) ,

? an 2 ? 2an?1an ? an?12 ? 2(an ? an?1 ) (n ? 2, n ? N *) ,
同理可得 an ?1 ? 2an ?1 an ? an ? 2(an ?1 ? an )
2 2

① ②

(n ? N *) .

①-②并变形得

(an?1 ? an?1 )(an?1 ? an?1 ? 2an ? 2) ? 0 (n ? 2, n ? N *)
? an ?1 ? an ?1 ,

? an?1 ? an?1 ? 2an ? 2 ? 0 , ? (an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? 2 (n ? 2, n ? N *) .
∴数列 ?an ?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 4 为首项,公差为 2 的等差数列.

? an?1 ? an ? 2(n ? 1), (n ? N *) , …………………………………… 7 分
? an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ,

? 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? n2 ? n .

? an ? n(n ? 1) (n ? N *) .

(Ⅲ)解法 1 :∵ bn ?

1 1 1 1 ? ? ? ?? (n ? N *) , an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n 1 ? 1 an ? 4
?

∴ bn ?1 ?

1 an ? 2

?
1

an ?3
?

???
1 an ?1

1 a2 n ? 2

(n ? N *) .

? bn ?1 ? bn ?

1 a2 n ? 2

a2 n ?1

?

1 1 1 ? ? (2n ? 1)(2n ? 2) (2n ? 2)(2n ? 3) (n ? 1)(n ? 2)
?2(2n 2 ? 2n ? 1) . (2n ? 1)(2n ? 2)(2n ? 3)(n ? 2)

?

∴当 n ? N * 时,上式恒为负值, ∴当 n ? N * 时, bn ?1 ? bn , ∴数列 ?bn ? 是递减数列.

? bn 的最大值为 b1 ?

1 1 ? . a2 6
2

若对任意正整数 n ,当 m ? ? ?1,1 时,不等式 t ? 2mt ? ?

1 ? bn 恒成立,则不等 式 6

t 2 ? 2mt ?

1 1 ? 在 m ? ? ?1,1? 时恒成立,即不等式 t 2 ? 2mt ? 0 在 m ? ? ?1,1? 时恒成立. 6 6
2

设 f (m) ? t ? 2mt ,则 f (1) ? 0 且 f (?1) ? 0 , ∴?

?t 2 ? 2t ? 0 ? 2 ?t ? 2t ? 0 ?
t ? ?2 或 t ? 2 ,

解乊,得

即 t 的取值范围是 (??, ?2) ? (2, ??) .

辅助练习 1.(04 年辽宁卷第 21 题) 解析 (Ⅰ)a =1 ; (Ⅱ)由 an ?1 ? f (an ), 得 an?1 ? an ?

3 2 3 1 1 1 an ? ? ( an ? ) 2 ? ? 且 2 2 3 6 6

an ? 0. 用数学归纳法(只看第二步) ak ?1 ? f (ak ) 在 a k ? (0, :
ak ?1 ? f (ak ) ? f ( 1 1 3 1 2 1 )? ? ( ) ? . k ?1 k ?1 2 k ?1 k ?2

1 是增函数,则得 ) k ?1

2.解: (1) a31 ? (2) a nm

1 1 1 , a32 ? , a33 ? 4 8 16
n?m?2

?1? ?? ? ?2?

(3) S n ?

1 2
n?2

?

1 2
2n?2

当 n ? 2 时, S n ? 当 n ? 2 时,

1 2
n?2

?

1 2
2n?2

?

1 2
n?2

? 1 ,所以

1 1 1 1 ??? ?n ? 1 ,则 ? S1 S 2 Sn Sn



1 ? Sn 2

1 1
n?2

?

1 2
2n?2

?

4 n ?1 ? 4 n ?1 n 2 ?1

所以 3.

1 1 1 4n ?1 ? ??? ? S1 S 2 Sn 3

(1) 证明:对任意 x1 , x2 ? R,有:
2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1 ? x12 ? 1 ? x2
2 x12 ? x2 2 1 ? x12 ? 1 ? x2

?

?

x1 ? x2 ?x1 ? x2
2 1 ? x12 ? 1 ? x2

.

…… 2 分

由 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? L x1 ? x2 ,即

x1 ? x2 ? x1 ? x2
2 1 ? x12 ? 1 ? x2

? L x1 ? x2 .

当 x1 ? x2 时,得 L ?

x1 ? x2
2 1 ? x12 ? 1 ? x2

.

2 ? 1 ? x12 ? x1 , 1 ? x2 ? x2 , 且 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ,



x1 ? x2
2 1 ? x12 ? 1 ? x2

?

x1 ? x2 x1 ? x2

? 1.

…… 4 分

∴要使 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? L x1 ? x2 对任意 x1 , x2 ? R 都成立,只要 L ? 1. 当 x1 ? x2 时,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? L x1 ? x2 恒成立.
…… 5 分

∴ L 的取值范围是 ?1, ?? ? . (2) 证明:①∵ an ?1 ? f ? an ? , n ? 1, 2,? , 故当 n ? 2 时, an ? an ?1 ? f ? an ?1 ? ? f ? an ? ? L an ?1 ? an

? L f ? an ? 2 ? ? f ? an ?1 ? ? L2 an ? 2 ? an ?1 ? ? ? Ln ?1 a1 ? a2 . … 6 分


?a
k ?1

n

k

? ak ?1 ? a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? a3 ? a4 ? ? ? an ? an ?1
? ?1 ? L ? L2 ? ? ? Ln ?1 ? a1 ? a2
…… 7 分

?
∵ 0 ? L ? 1, ∴

1 ? Ln a1 ? a2 . 1? L

…… 8 分

?a
k ?1

n

k

? ak ?1 ?

1 a1 ? a2 ( 当 n ? 1 时,不等式也成立 ) . 1? L

…… 9 分

②∵ Ak ?

a1 ? a2 ? ? ak , k
a1 ? a2 ? ? ? ak a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 ? k k ?1
1 ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? kak ?1 ? k ? k ? 1?

∴ Ak ? Ak ?1 ?

?

?

1 ? a1 ? a2 ? ? 2 ? a2 ? a3 ? ? 3 ? a3 ? a4 ? ? ? ? k ? ak ? ak ?1 ? k ? k ? 1? 1 ? a1 ? a2 ? 2 a2 ? a3 ? 3 a3 ? a4 ? ? ? k ak ? ak ?1 ? . k ? k ? 1?
…… 11 分

?



?A
k ?1

n

k

? Ak ?1 ? A1 ? A2 ? A2 ? A3 ? ? ? An ? An ?1
? 1 ? 1 1 ? a1 ? a2 ? ? ?? ? ? ? 2 a2 ? a3 ? 1? 2 2 ? 3 n ? n ? 1? ? ? ? ? 1 ? 1 1 ? ??? ? ? ? 2 ? 3 3? 4 n ? n ? 1? ? ? ?

? 1 ? 1 1 1 ?3 a3 ? a4 ? ? ?? ? ? ? ? ? n an ? an ?1 ? ? 3? 4 4 ? 5 ? n ? n ? 1? ? n ? n ? 1? ?

1 ? ? ? a1 ? a2 ?1 ? ? ? a2 ? a3 ? n ?1 ?

2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? an ? an ?1 ? n ?1 ?

n ? ? ?1 ? ? ? n ?1 ?

? a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an ?1
? 1 a1 ? a2 . 1? L
……14 分

4.【解】 (Ⅰ)由题意知 Sn ? Sn ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? 2 ? 2n ?1 ? n ≥ 3? 即 an ? an ?1 ? 2n ?1 ? n ≥ 3? ……1′ ∴ an ? ? an ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? ? ? a3 ? a2 ? ? a2

? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 22 ? 5 ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 22 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2n ? 1? n ≥ 3? ……2′
检验知 n ? 1 、 2 时,结论也成立,故 an ? 2n ? 1 .…………3′ (Ⅱ)由于 bn f ? n ? ? 故
n ?1 n 1 1 ? 2 ? 1? ? ? 2 ? 1? 1 ? 1 1 ? ? 2n ?1 ? ? ? ? n ? n ?1 ? n n ?1 n n ?1 2 ? 2 ? 1?? 2 ? 1? 2 ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ? 1?? 2 ? 1?

Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2 ? ? ? ? bn f ? n ? ?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ?? 1 ? 2 ? 1 ? 22 ? ? ? 1 ? 22 ? 1 ? 23 ? ? ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ?1 ? 1 ? ? 2 ?? ? ? ? ? ??

1? 1 1 ? 1 1 1 ? ? ? n?1 ? ? ? ? .…………6′ 2 ?1? 2 2 ?1? 2 1? 2 6
(Ⅲ) (ⅰ)当 a ? 2 时,由(Ⅱ)知: Tn ?

1 1 ,即条件①满足;又 0 ? m ? , 6 6

1? 1 1 ? 3 ? 3 ? n ?1 ? ? 1 ? n ? log 2 ? ? 1? ? 1 ? 0 . ∴ Tn ? m ? ? ??m?2 ? 2 ? 1 ? 2 2n ?1 ? 1 ? 1 ? 6m 1 ? 6m ? ? ? 3 ? ? 1? 的最大整数,则当 n ≥ n0 时, Tn ? m .…9′ 取 n0 等于不超过 log 2 ? 1 ? 6m ? ?
an ? a ? a a a a (ⅱ) a ? 2 时, n ≥1 , n ? ? ? ≥ , a n ≥ ? 2n , bn ? a n ≥ bn ? ? 2n ? ? bn ? 2n . 当 ∵ ∴ ∴ 2 2 2 2 2 ?2?
n

n a 1? 1 1 ? ?1 ? a n ∴ Tn ? ? ? bi a i ? ≥ ? bi ? 2i ?1 ? ? ? ? ?. 2 2 i ?1 2 2 ? 1 ? 2 2n ?1 ? 1 ? ? i ?1 ?

?

?

1? 1 1 ? 1 由(ⅰ)知存在 n0 ? N ? ,当 n ≥ n0 时, ? , ? n ?1 ? ? 2 ? 1 ? 2 2 ? 1 ? 3a
故存在 n0 ? N ? ,当 n ≥ n0 时, Tn ?

a 1? 1 1 ? a 1 1 ? ? ? n ?1 ? ,不满足条件. …12′ ?? ? 2 2 ? 1 ? 2 2 ? 1 ? 2 3a 6
an ? a ? a a ?? ? ≤ , ∴ a n ≤ ? 2n , ∴ n 2 2 2 ?2?
n

( ⅲ ) 当 0 ? a ? 2 时 , ∵ n ≥1 ,

a a bn ? a n ≤ bn ? ? 2n ? ? bn ? 2n . 2 2
∴ Tn ? ? 取m? ∴
n 1 1 ?bi ai ? ≤ ? a ?bi 2i ?1 ? ? a ? 1 ? 1 ? 2 ? 2n?1 ? 1 ? . ? ? 1 2 2? ? i ?1 2 i ?1 2 n

a ? 1? a 1? 1 1 ? a 若存在 n0 ? N ? , n ≥ n0 时, n ? m , 当 则 ? ? ? ? 0, ? , ? n ?1 ? ? . T 12 ? 6 ? 2 2 1 2? 2 1 ?1 ? 2 ?

1 1 1 ? n?1 ? 矛盾. 故不存在 n0 ? N ? ,当 n ≥ n0 时, Tn ? m .不满足条件. 1? 2 2 ?1 3

综上所述:只有 a ? 2 时满足条件,故 a ? 2 .…………14′

5.【解析】(I)当 x ? [n, n ? 1](n ? N *) 时,函数 f ( x) ? x ? x 的值随 x 的增大而增大, :
2

∴ f (x) 的值域为 [n ? n, n ? 3n ? 2]( n ? N *) ,∴ g (n) ? 2n ? 3(n ? N *) .
2 2

(II) a n ?

2n 3 ? 3n 2 ? n2 . g ( n)

① n 为偶数时,

S n ? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? ?? ? a n ?1 ? a n ? (12 ? 2 2 ) ? (3 2 ? 4 2 ) ? ?? ? [( n ? 1) 2 ? n 2 ]
3 ? (2n ? 1) n n(n ? 1) . ? ?? 2 2 2

=-[3 + 7 +…+(2n-1)]=- ②当 n 为奇数时,

Sn ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ?? ? (an ? 2 ? an ?1 ) ? Sn ?1 ? an
n(n ? 1) n(n ? 1) . ? n2 ? 2 2 n ?1 n( n ? 1) ∴ S n ? (?1) . 2 g ( n) 5 7 9 2n ? 1 2 n ? 3 (III)由 bn ? n , 得Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? 2 2 2 2 2 2n
=-



1 1 5 7 2n ? 1 2n ? 3 得 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n?1 . ② 2 2 2 2 2n 2 1 5 2n ? 3 2 2 2 ①-②得 Tn ? ( ? n ?1 ) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 5 2n ? 3 7 2n ? 7 2 2 = ( ? n ?1 ) ? ? ? n ?1 . 1 2 2 2 2 1? 2 2n ? 7 ∴ Tn ? 7 ? . 2n 2n ? 7 则由 Tn ? 7 ? ? l , l ? Z ,可得 l 的最小值是 7. 2n
①× 6.解: (I)∵ a // b ,∴ cos( x) ?2sin( x)
? ?

p 4

p 4

f ( x) = 0 .
(1 分)

∴ f ( x) = sin(

p x) . 2

p ∴ an+ 1 = f (an ) = sin( an ) . 2

下面用数学归纳法证明: 0 < an < an+ 1 < 1 . ① n = 1 时, a1 =

1 p p 2 , a2 = sin( a1 ) = sin = . \ 0 < a1 < a2 < 1 ,故结论成立. 2 2 4 2

②假设 n = k 时结论成立,即 0 < ak < ak + 1 < 1, \ 0 < ∴ 0 < sin(

p p p ak < ak + 1 < . 2 2 2

p p ak ) < sin( ak + 1 ) < 1 ,即 0 < ak + 1 < ak + 2 < 1 . 2 2 也就是说 n = k + 1时,结论也成立.
由①②可知,对一切 n ? N 均有 0 < an < an+ 1 < 1 .
*

(4 分)

p 4- p p p 4- p 1 an > an > 0 ,其中 ? an ,即证 sin( an ) 4 4 2 4 4 2 p p 4- p 1 x令 g ( x) = sin( x) . x ? [ , 1) . 2 4 4 2
(Ⅱ)要证 an+ 1 -

1.

( 由 g ? x) =

p p p p p 1 2 cos( x) - = [cos( x) - ] = 0 ,得 x = . 3 2 2 4 2 2 2
x

(6 分)

1 2 ( , ) 2 3
+
?

2 3
0 极大值

2 ( , 1) 3

g ? x) (


?

g ( x)

又 g (1) = 0 ,

1 2 p 4- p 4 2 + p - 8 g( ) = - = > 0. 2 2 8 4 8
∴当 x ? [ , 1) , g ( x) > 0 .

1 2

∴ sin(

p p 4- p x) - x > . 2 4 4
p 4- p p 4- p an > an > . 即 an+ 1 . 4 4 4 4
(9 分)

∴ sin( an ) -

p 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知:

1- an+ 1 <

p p p p 1 (1- an ) < ( )2 (1- an- 1 ) < 鬃 ( )n (1- a 1 ) = ( )n . n ? 4 4 4 4 2

N* .
(11 分)

? ∴ (1- a1 ) + (1- a2 ) + 鬃 (1- an ) <

1 1 p 1 p n- 1 + ?( ) 鬃 ? ?( ) 2 2 4 2 4

1 2 p 14

=

2 . 4- p

? ∴ Tn = a1 + a2 + 鬃 an > n 又

2 . 4- p

(13 分)

2 2 3p - 10 > n- 3. - 3= < 0 ,即 n 4- p 4- p 4- p
(14 分)

∴ Tn > n - 3 .

7.解:(I)当 n=1 时, a1 ? S1 ? 2 ;

n 2 ? 3n ? n ? 1? ? 3 ? n ? 1? ? ? n ?1, 当 n≥2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2 2
2

∴ an ? n ? 1 n ? N

?

*

?.

(II)当 n 为偶数时, Tn ? ? b1 ? b3 ? ? ? bn ?1 ? ? ? b2 ? b4 ? ? ? bn ?

? ? a1 ? a3 ? ? ? an ?1 ? ? ? 22 ? 24 ? ? ? 2n ?
n a1 ? an ?1 n 4 ?1 ? 2 ? ? ? ? 2 2 1? 4

?

n 2 ? 2n 4 n ? ? 2 ? 1? . 4 3

当 n 为奇数时,则 n+1 为偶数, Tn ?1

? n ? 1? ?
?

2

? 2 ? n ? 1? 4

?

4 n ?1 ? 2 ? 1? 3

n 2 ? 4n ? 3 4 n ?1 ? ? 2 ? 1? , 4 3

而 Tn ?1 ? Tn ? bn ?1 ? Tn ? 2

n ?1



n2 ? 4n ? 3 1 n ?1 4 ∴ Tn ? ? ?2 ? . 4 3 3
? n 2 ? 2n 2 n ?1 4 ? 4 ? 3 ? 2 ? 3 ? n为偶数 ? ? ∴ Tn ? ? 2 . ? n ? 4n ? 3 ? 1 ? 2n ?1 ? 4 ? n为奇数 ? ? 4 3 3 ?
(III) P ?

n2 ? 24n ,设 d n ? Tn ? P ? n ? N * ? , 4

当 n 为奇数时, d n ? 若 dn?2 ? dn ? 2
n ?1

1 n ?1 47 7 ?2 ? n ? , 3 2 12

? 47 ? 0 ,则 n≥5,

∴ 从第 5 项开始 ? an ? 的奇数项递增而 d1 , d3 ,?, d11 均小于 2011 且 d13 ? 2011 , ∴ 此时 d n ? 2011 ; 当 n 为偶数时, d n ? 若 dn?2 ? dn ? 2
n?2

2 n?1 47 4 ?2 ? n ? , 3 2 3

? 47 ? 0 ,则 n≥4,

∴ 从第 4 项开始 ? an ? 的偶数项递增而 d 2 , d 4 ,?, d10 均小于 2011 且 d12 ? 2011 , ∴ 此时 d n ? 2011 , 综上可知 d n ? 2011 n ? N

?

*

? 即T

n

? P ? 2011? n ? N * ? ,

因此李四同学的观点是正确的.


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