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【导与练】2015届高考数学一轮复习 第1篇 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件 文 新人教版


第 3 节 简单的逻辑联结 词、全称量词与存在量词

基础梳理

考点突破

基础梳理

抓主干

固双基

知识整合
1.简单的逻辑联结词
(1)常用的简单的逻辑联结词有“且” “或”“非”.

(2)命题 p∧q

、p∨q、 ? p 的真假判断
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假

?p
假 假 真 真

2.全称量词和存在量词
(1)全称量词 “对所有的” “对任意一个”,用符号“? ”表示.

(2)存在量词 “存在一个”“至少有一个”,用符号“? ”表示. (3)全称命题 含有全称量词的命题,叫做全称命题; “对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简记为:? x∈M,p(x). (4)特称命题 含有存在量词的命题,叫做特称命题; “存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立”可用符号简记为:? x0∈M,p(x0).

3.含有一个量词的命题的否定
命题 ? x∈M,p(x) ? x0∈M,p(x0) 命题的否定 ? x0∈M, ? p(x0) ? x∈M, ? p(x)

双基自测
1.(2012 年高考山东卷)设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小

π π 正周期为 ;命题 q:函数 y=cos x 的图象关于直线 x= 2 2
对称.则下列判断正确的是( C (A)p 为真 (B) ? q 为假 )

(C)p∧q 为假 (D)p∨q 为真 解析:p 是假命题,q 是假命题,因此 p∧q 为假,故选 C.

2.(2013 年高考湖北卷)在一次跳伞训练中,甲、乙两 位学员各跳一次.设命题 p 是 “甲降落在指定范围” ,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员 没有降落在指定范围”可表示为( A ) (A)( ? p)∨( ? q) (B)p∨( ? q) (C)( ? p)∧( ? q) (D)p∨q 解析:“至少有一位学员没有降落在指定范围”指的 是“甲没有降落在指定范围”或“乙没有降落在指定 范围”,因此,可表示为“( ? p)∨( ? q)”,故选 A.

3.(2013 年高考四川卷)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集 合 B 是偶数集.若命题 p:? x∈A,2x∈B,则( C ) (A) ? p:? x∈A,2x∈B (B) ? p:? x ? A,2x∈B (C) ? p:? x∈A,2x ? B (D) ? p:? x ? A,2x ? B 解析:将 “? ” 否定为 “? ” , “2x∈B” 否定为 “2x ? B” . 得 ? p:? x∈A,2x ? B,故选 C.

4.(2013 中山市期末)若命题“存在实数 x,使 2 x +ax+1<0”的否定是假命题,则实数 a 的取值范 围为 . 2 解析:因为命题“存在实数 x,使 x +ax+1<0”的否 2 定是假命题,所以命题 “存在实数 x,使 x +ax+1<0” 2 是真命题,所以 a -4>0,解得 a<-2 或 a>2. 答案:a<-2 或 a>2

考点突破

剖典例 知规律

考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例 1】 (2013 汕头一中模拟)已知命题 p:? a,
1 1 b∈(0,+∞),当 a+b=1 时, + =3;命题 q:? x∈R, a b

x -x+1≥0 恒成立,则下列命题中假命题是( (A)( ? p)∨( ? q) (C)( ? p)∨q (B)( ? p)∧( ? q) (D)( ? p)∧q

2

)

解析:显然 q 为真命题. a>0,b>0,当 a+b=1 时,
1 1 a?b a?b b a + = + =2+ + ≥4,当且仅当 a b a b a b 1 a=b= 时等号成立,故 p 为假命题, 2
? p 为真命题, ? q 为假命题.

故( ? p)∧( ? q)为假命题. 故选 B.

即时突破 1 若命题“p 且 q”为假,有“ ? p”
为假,则( ) (A)“p 或 q”为假 (B)q 假 (C)q 真 (D)p 假 解析:∵ ? p 为假,?p 为真, 又≧p 且 q 为假,?q 为假.故选 B.

考点二 全称命题与特称命题的真假判断
【例 2】 (2013 安徽省大江中学、开成中学高三联考)下 列命题中是假命题的是( ) (A)? α ,β ∈R,使 sin(α +β )=sin α +sin β (B)? ? ∈R,函数 f(x)=sin(2x+ ? )都不是偶函数 (C)? m∈R,使 f(x)=(m-1)· x (0,+∞)上单调递减 (D)? a>0,函数 f(x)=(ln x) +ln x-a 有零点
2
m 2 ? 4 m ?3

是幂函数,且在

解析:对于选项 A,β=0 时,命题成立,故选项 A 为真命题; 对于选项 B,当 ?

π = 时,f(x)=cos 2x 是偶函数, 2

?选项 B 为假命题; 对于选项 C,若 f(x)为幂函数,则 m-1=1, ?m=2,此时 f(x)=x 在(0,+≦)上单调递减,故选项 C 为真 命题;
-1

1 2 1 对于选项 D,f(x)=(ln x+ ) - -a,显然? a>0,f(x)=0 有 2 4
解,故选项 D 为真命题.故选 B.

反思归纳

(1)全称命题真假的判断方法

①要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x,证明 p(x)成立. ②要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合 M 中的一个特殊值 x=x0,使 p(x0)不成立即可. (2)特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合 M 中,找到一个 x=x0, 使 p(x0)成立即可,否则这一特称 命题就是假命题.

即时突破 2 下列命题中的假命题是(
(A)? x∈R,2 >0 (B)? x∈N ,(x-1) >0 (C)? x∈R,lg x<1 (D)? x∈R,tan x=2 解析:对于选项 A,正确;对于选项 B,当 x=1
x-1 * 2

)

时,(x-1) =0,错误;对于选项 C,当 x∈(0,1) 时,lg x<0<1,正确;对于选项 D,? x∈R,tan x=2,正确.故选 B.

2

考点三 全称命题与特称命题的否定
【例 3】 已知命题 p:? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则

? p 是(

)

(A)? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 (B)? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 (C)? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 (D)? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 思维导引:对全称命题和特称命题进行否定时,要在命题的两 个方面作出变化,一是量词符号,二是命题的结论. 解析:特称命题 p:? x1,x2∈R, (f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0 的否定为: ? p:? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0.故选 D.

反思归纳

(1)弄清命题是全称命题还是特称命题是

写出命题否定的前提. (2)常见词语的否定形式有:
原 语 句 否 定 形 式 不 是 不都 是 ≤ 是 都是 > 至少 有 一个 一个 也 没有 至多 有 一个 至少 有 两个 对任意 x∈A 使 p(x)真 存在 x0∈A 使 p(x0)假

即时突破 3 (2013 年高考重庆卷)命题“对任意 x∈R,都
有 x2≥0”的否定为(
2

)
2

(A)对任意 x∈R,都有 x <0 (B)不存在 x∈R,使得 x <0
2 2 (C)存在 x0∈R,使得 x 0 ≥0 (D)存在 x0∈R,使得 x 0 <0

2 解析:原命题的否定为:存在 x0∈R,使得 x 0 <0,故选 D.

备选例题
?1? 【例 1】 已知 f(x)=x ,g(x)= ? ? -m,若对? x1∈[-1,3], ?2?
2

x

? x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),则实数 m 的取值范围 是 .
2

解析:据题意可知:f(x1)min≥g(x2)min,x1∈[-1,3],x2∈[0,2].

1 ?1? 可得 0≥ ? ? -m,解得 m≥ . 4 ?2?

?1 ? 答案: ? , ?? ? ?4 ?

? π? 【例 2】 已知命题 p:? x∈ ?0, ? ,cos 2x+cos x-m=0 为真 ? 2?
命题,则实数 m 的取值范围是 令 t=cos x, .
2

解析:由题意得 m=cos 2x+cos x=2cos x+cos x-1.

? 1? 9 ? π? 2 ≧x∈ ?0, ? ,?t∈[0,1],?m=2t +t-1=2 ? t ? ? - , ? 4? 8 ? 2?
t∈[0,1].?函数在[0,1]上单调递增. ?当 t=0 时,m 有最小值-1,当 t=1 时,m 有最大值 2. 所以 m 的取值范围为[-1,2]. 答案:[-1,2]

2

思想方法 分类讨论思想在由命题真假求参数取值范 围问题中的应用
【典例】 已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=cx 在 R 上单调

?1 ? 递减;q:函数 f(x)=x -2cx+1 在 ? , ?? ? 上为增函数, ?2 ?
2

若“p∧q”为假,“p∨q”为真,求实数 c 的取值范围. 分析:先分别求出 p、q 为真、假时参数的取值范围,再 根据“p∧q”为假,“p∨q”为真可知 p、q 一真一假, 分两类讨论求得参数 c 的取值范围.

解:≧函数 y=c 在 R 上单调递减,?0<c<1. 即 p:0<c<1. ≧c>0 且 c≠1,? ? p:c>1.

x

?1 ? 又≧f(x)=x -2cx+1 在 ? , ?? ? 上为增函数, ?2 ?
2

1 1 ?c≤ .即 q:0<c≤ . 2 2 1 ≧c>0 且 c≠1,? ? q:c> 且 c≠1. 2

又≧“p∨q”为真,“p∧q”为假,?p 真 q 假或 p 假 q 真. ①当 p 真,q 假时,
1 ? ? ? 1 {c|0<c<1}∩ ?c c ? 且c ? 1? = ?c ? c ? 1? ?; 2 ? ? ? 2 ? 1? ? ②当 p 假,q 真时,{c|c>1}∩ ?c 0 ? c ? ? = ? . 2? ? ? 1 综上所述,实数 c 的取值范围是 ?c ? c ? 1? ?. ? 2 ?

方法点睛

解答本题时运用了分类讨论思想,

由条件可知 p、q 一真一假,因此需分 p 真 q 假 与 p 假 q 真两类讨论,分别求解最后将解合并, 实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再 积零为整”的解题策略.

即时突破 已知命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负实数
根;命题 q:方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实数根.若“p 或 q”为真 命题,“p 且 q”为假命题,求 m 的取值范围.
2 ? ??1 ? m ? 4 ? 0, 解:由 p 为真命题得, ? 则 m>2. ? ? ? m ? 0,
2

由 q 为真命题得, Δ2=16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0, 则 1<m<3. 又≧“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,
2 2

?p 与 q 一真一假.

?m ? 2, ①当 p 真 q 假时, ? 解得 m≥3; ?m ? 1或m ? 3, ? m ? 2, ②当 p 假 q 真时, ? 解得 1<m≤2. ?1 ? m ? 3,
?m 的取值范围为 m≥3 或 1<m≤2.


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