nbhkdz.com冰点文库

2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(参考答案)


2014 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(参考答案)
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分,请将答案填在答题卷的指定位置.

x2 ? 2 x ? 3 ( x ? R) 的值域是 x2 ? 4 x ? 5 x2 ? 2 x ? 3 ? ( y ? 1) x 2 ? (4 y ? 2) x ? 5 y ? 3 ? 0 【解析:

】 【方法一: 】由 y ? 2 x ? 4x ? 5 (1) y ? 1 时,该方程有解 (2) y ? 1 时,因为 x ? R ,所以 ? ? (4 y ? 2)2 ? 4( y ?1)(5 y ? 3) ? 0 ? y 2 ? 4 y ? 2 ? 0
1.函数 y ?

2 ? 2 ? y ? 2 ? 2 所以, 2 ? 2 ? y ? 2 ? 2 且 y ? 1
综合(1)(2) 2 ? 2 ? y ? 2 ? 2 ,故答案为 [2 ? 2, 2 ? 2] 【方法二: 】y?

x 2 ? 2 x ? 3 ( x ? 2)2 ? 2( x ? 2) ? 3 ,令 x ? 2 ? tan ? ,则 ? x2 ? 4 x ? 5 ( x ? 2)2 ? 1 tan 2 ? ? 2 tan ? ? 3 y? ? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? 3cos 2 ? ? 2 ? sin 2? ? cos 2? 2 tan ? ? 1 ? ? 2 ? 2 sin(2? ? ) ,故该函数的值域为 [2 ? 2, 2 ? 2] 4

x 2 ? 2 x ? 3 x 2 ? 4 x ? 5 ? 2( x ? 1) 2( x ? 1) 【方法三: 】y? 2 ? ? 1? 2 2 x ? 4x ? 5 x ? 4x ? 5 ( x ? 1) ? 2( x ? 1) ? 2 (1) x ? ?1 时, y ? 1 2 2 2 |?| x ? 1| ? ?2 2 (2) x ? ?1 时, y ? 1 ? ,因为 | ( x ? 1) ? 2 x ?1 | x ? 1| ( x ? 1) ? ?2 x ?1 2 2 ? ?2 2 或 x ? 1 ? ?2 2 所以 x ? 1 ? x ?1 x ?1 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 或 ( x ? 1) ? ?2?2 2?2 所以 ( x ? 1) ? x ?1 x ?1 2 2 2 2 所以, 且 ? ? ?0 2 ? 2 2 ( x ? 1) ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ( x ? 1) ? 2 ? 2 x ?1 x ?1 2 2 即 ? 2 ?1 ? ? 2 ?1 且 ?0 2 2 ( x ? 1) ? ?2 ( x ? 1) ? ?2 x ?1 x ?1 所以, 2 ? 2 ? y ? 2 ? 2 且 y ? 1
综合(1)(2) 2 ? 2 ? y ? 2 ? 2 ,故答案为 [2 ? 2, 2 ? 2] 【方法四: 】求导 y ' ?

2( x 2 ? 2 x ? 1) ,该函数在区间 (??, ?1 ? 2] 及 [?1 ? 2, ??) 上单调 ( x 2 ? 4 x ? 5)2

递增,在区间 [?1 ? 2, ?1 ? 2] 上单调递减,计算即得 【答案:】 [2 ? 2, 2 ? 2] 解题方法的灵活运用有利于对我们接受知识 ,应用知识的能力的培养 ,如限定 x 的取值范围

方法三,方法四可能更容易解决问题,如 x ? [?2, 2] ,方法一,二已经较难解决. 2.函数 y ? tan(2013x) ? tan(2014 x) ? tan(2015 x) 在 [0, ? ] 中的零点个数为 【解析:】 y ? tan(2013x) ? tan(2014 x) ? tan(2015 x)

sin 2013x sin 2015 x sin 2014 x sin 4028 x sin 2014 x ? ? ? ? cos 2013x cos 2015 x cos 2014 x cos 2013x cos 2015 x cos 2014 x sin 2014 x(2cos 2 2014 x ? cos 2013x cos 2015x) ? cos 2013x cos 2014 x cos 2015x 2 由于 2cos 2014 x ? cos 2013x cos 2015x ? cos 4028x ? 1 ? cos 2013x cos 2015x ? 1 ? sin 2013x sin 2015 x ? 0 所以, sin 2014 x ? 0 在 [0, ? ] 上的零点个数即是 ?
因为 y ? sin 2014x 的最小正周期为

? ,故 [0, ? ] 之间函数 y ? sin 2014x 的图象有 1007 1007

个周期,每个周期有两个零点,考虑到两个端点为闭区间,故答案为 2015 【答案:】2015 3.设定点 A(2,1) ,动点 B 在 x 轴上,动点 C 在直线 y ? x 上,则 ?ABC 的周长的最小值是 【 解 析 : 】 A(2,1) 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 A1 (2, ?1) , 关 于 y ? x 的 对 称 点 为

A2 (1, 2) ,连接 A1 A2 与 y 轴及直线 y ? x 交于 B, C ,易证,此时 ?ABC 的周长最
小,且值为 | A 1A 2 |? 10 【答案:】 10 4. 设 P 2k ?2 是 P 1, P 2 是平面上的两点 , P 2 k ?1 是 P 2 k 关于 P 1 的对称点 , P 2 k ?1 关于 P 2 的对称点, k ? N * ,若 | PP 1 2 |? 1 ,则 | P 2013 P 2014 |? 【解析:】设 P n 点对应的复数为 zn 由题意: z2k ?1 ? z2k ? 2z1 , z2k ?1 ? z2k ?2 ? 2z2 所以, z2k ?2 ? z2k ? 2( z2 ? z1 ) ? z2k ? z2 ? 2(k ?1)( z2 ? z1 )

z2k ?1 ? 2z1 ? [ z2 ? 2(k ?1)( z2 ? z1 )] ? ?(2k ?1) z2 ? 2kz1 所以, z2k ?2 ? z2k ?1 ? z2 ? 2k ( z2 ? z1 ) ? (2k ?1) z2 ? 2kz1 ? 4k ( z2 ? z1 ) 所以, | P 2 k ?1P 2 k ?2 |?| z2 k ?2 ? z2 k ?1 |?| 4k ( z2 ? z1 ) |? 4k ,所以, | P 2013 P 2014 |? 4024
【答案:】4024 本题设点造成纵横坐标运算的繁琐,考虑到复数对应复平面内的点,使得运算简化, 5.已知四面体 ABCD 的侧面展开图如下图所示,则其体积为 【解析:】该三棱锥的三个侧棱长均为 5 ,故顶点在底面的射影为底面三角形的外心,又底面 三角形是边长为 2, 2, 2 的等腰直角三角形 ,( 即 ?ACD) , 所以顶 点 在 底 面 的 射 影 为 CD 的 中 点 , 所 以 该 三 棱 锥 的 高 为

1 ( 5) 2 ? 12 ? 2 ,又底面积为 ? ( 2) 2 ? 1 ,故其体积为 2 1 2 ? 1? 2 ? 3 3 2 【答案:】 3

1 |? 2 ,则 | z | 的取值范围是 z 1 1 1 【解析:】由 | z ? |? 2 ?|| z | ? | ||?| z ? |? 2 ,即 z z z 1 ?2 ?| z | ? ? 2 ? 2 ? 1 ?| z |? 2 ? 1 ,故答案为 [ 2 ?1, 2 ?1] |z|
6.设复数 z 满足 | z ? 【答案:】 [ 2 ?1, 2 ?1] 7.设动点 P(t ,0), Q(1, t ) ,其中参数 t ?[0,1] ,则线段 PQ 扫过的平面区域的面积是 【解析:】直线 PQ 的方程为 tx ? (t ?1) y ? t 2 ? 0 , t ? 0 时,直线方程为 y ? 0 t ? 1 时,直线方程为 x ? 1 ,故不妨设 0 ? t ? 1 ,

t 1? x ( x ? t ) ? (2 ? x) ? [ ? (1 ? t )] , 1? t 1? t 对每个 0 ? x ? 1 ,当 t ? (0, x] 变化时
直线方程为 y ?

0 ? y ? 2 ? x ? 2 1 ? x , 所以 , 线段 PQ 扫过的平面区域是函数 y ? 2 ? x ? 2 1 ? x 及直线 x ? 0, x ? 1, y ? 0围成的封闭图形,由积分的几何意义
3 1 1 2 4 1 1 ?0 (2 ? x ? 2 1 ? x )dx ? [2 x ? 2 x ? 3 (1 ? x) 2 ] 0 ? 6 ,故答案为 6 1 【答案:】 6 1

8.从正十二边形的顶点中取出 4 个顶点,它们两两不相邻的概率是 【解析:】 将这十二个点依次标为 A 1, A 2, 的四个点两两不相邻的包含以下两类, (1)如果不取 A12 点,则从 A1 , A2 ,
4 ,取出 , A12 ,从十二个点中取 4 个点的方法数为 C12

A11 这 11 个点中取 4 个点,两两不相邻,则方法数为 C84 (相当
A10 这 9 个点中取三个点,两两不相邻,方法

于把 4 个点插到 7 个点中 (2)如果取 A12 点,由于不能取 A 3, 1, A 11 ,故从 A2 , A 数为 C (相当于把三个点插到 6 个点中) 故所求概率为 【答案:】
3 C84 ? C7 7 ? 4 C12 33

3 7

7 33

解决不相邻问题插空也是常有方法 二、解答题:本大题共 4 小题,共 86 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 9(本小题满分 21 分) 已知正实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1 ,求证: 【证明:】 【方法一:】由于

z?y x?z y?x ? ? ?0 x ? 2 y y ? 2z z ? 2x

1 1 1 1 1 1 ? ? ) ? [( x ? 2 y) ? ( y ? 2 z ) ? ( z ? 2 x)]( ? ? )?9 x ? 2 y y ? 2z z ? 2x x ? 2 y y ? 2z z ? 2x 1 1 1 ? ? )?3 所以, ( x ? y ? z )( x ? 2 y y ? 2z z ? 2x (3x ? 3 y ? 3z )(

( z ? y ) ? ( x ? 2 y ) ( x ? z ) ? ( y ? 2 z ) ( y ? x) ? ( z ? 2 x) ? ? ?3 x ? 2y y ? 2z z ? 2x z?y x?z y?x 即 ? ? ?0 x ? 2 y y ? 2z z ? 2x
所以, 【方法二:】令 x ? 2 y ? c, y ? 2 z ? a, z ? 2 x ? b

1 1 1 ? x ? (4b ? c ? 2a), y ? (4c ? a ? 2b), z ? (4a ? b ? 2c) 9 9 9 z?y x?z y ? x 1 a ? b ? 2c b ? c ? 2a a ? c ? 2b 所以, ? ? ? ( ? ? ) x ? 2 y y ? 2z z ? 2x 3 c a b

1 a c a b b c 1 a c a b b c ? [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 6] ? [2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 6] ? 0 3 c a b a c b 3 c a b a c b 由于命题人的疏忽 ,本题的条件 x ? y ? z ? 1 是一个多余的条件,是本题的败笔.不过,利用该 z?y ? 0 ,证明过程略 条件,可将不等式化为 ? 1 ? ( z ? y)
10(本小题满分 21 分)
2 an ?3 设数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? (n ? N * ) 2an (Ⅰ)求证:当 n ? 2 时,数列 {an } 是严格单调递减数列;

(Ⅱ)求证:当 n ? N 时, | an ?1 ? 3 |?
*

2 3r 2 1? r2
n

n

, 其中 r ? 2 ? 3 .

【证明:】(Ⅰ)由 a1 ? 1, an?1 ?

2 an ?3 (n ? N * ) ,易得 an ? 0 , 2an

2 2 an ? 3 2 an ? 3 ? ? 3 ,即 n ? 2 时, an ? 3 所以, n ? 1 时, an ?1 ? 2an 2an

2 an ?3 又若 an ? 3 ,则 an ? ?1 ? 3 ? an?1 ? 3 2an?1

? a1 ? 3 与 a1 ? 1 矛盾,故 an ? 3

所以, an ? 3 (也可以根据 an 为有理数,说明 an ? 3 )
2 an ?3 所以, an ? an?1 ? ? 0 ,所以, 数列 {an } 是严格单调递减数列 2an

(Ⅱ)由 an?1 ? 3 ?

2 an ?3 (a ? 3)2 ? 3? n 2an 2an

an?1 ? 3 ?
所以,

2 an ?3 (a ? 3)2 ? 3? n 2an 2an

an?1 ? 3 an?1 ? 3

?

(an ? 3)2 (an ? 3) |? lg |
2

? lg |

an?1 ? 3 an?1 ? 3

|? 2lg |

an ? 3 an ? 3

|

所以 lg |

an?1 ? 3 an ?1 ? 3

n 1? 3 n | ?2 ? lg(2 ? 3) ? 2n ? lg(2 ? 3) 2 1? 3

所以, |

an ?1 ? 3 an ?1 ? 3

|? (2 ? 3) 2 即
2 3r 2
n

n

n an ?1 ? 3 ? (2 ? 3) 2 an ?1 ? 3

解得 an?1 ? 3 ?

3 .即 n , 其中 r ? 2 ? 1? r2 n 2 3r 2 | an?1 ? 3 |? 3. n , 其中 r ? 2 ? 1? r2

11(本小题满分 22 分) 已知平面凸四边形 ABCD 的面积为 1. 求证: | AB | ? | AC | ? | AD | ? | BC | ? | BD | ? | CD |? 4 ? 2 2 【证明:】假设凸四边形 ABCD 满足

L ?| AB | ? | AC | ? | AD | ? | BC | ? | BD | ? | CD | 最小,则 此时四边形 ABCD 一定是菱形. 否则,如图所示,可固定两对角点(不妨设为 B, D ),过 A, C 分别作 BD 的平行线,调整另外两个点 A, C 的位置,使它们分别位于两平 行线上,则 ?ABD 和 ?CBD 的面积不变,但 L 变大,故只有 AB ? AD, CB ? CD 类似地, BA ? BC, DA ? DC ,故四边形 ABCD 为菱形 设菱形的两条对角线长分别为 x, y ,则由已知, xy ? 2
2 2 所以, L ? x ? y ? 2 x ? y ? 2 xy ? 2 2 xy ? 4 ? 2 2

当且仅当 x ? y ? 2 时,等号成立. 12(本小题满分 22)
3 (Ⅰ)求证:方程 x ? x ? 1 ? 0 恰有一个实根 ? ,并且 ? 是无理数;

(Ⅱ) ? 是(Ⅰ)中方程的根,求证: ? 不是任何整数系数二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a, b, c,? Z , a ? 0) 的根.
2

【证明:】 【方法一:】(Ⅰ)令 f ( x) ? x ? x ?1 ? f '( x) ? 3x ?1
3 2

3 3 或x? 3 3 3 3 由 f '( x) ? 0 ? ? ?x? 3 3 3 3 3 3 所以 f ( x ) 在 (??, ? , ) 上单调减,在 ( , ??) 上单调递增 ) 上单调增,在 (? 3 3 3 3 3 2 3 2 ) ? ?1 ? 3 ? 0, f ( ) ? ?1 ? 3 ? 0, f (2) ? 0 又 f (? 3 9 3 9 3 , 2) ,即方程 x3 ? x ? 1 ? 0 恰有一个实根 ? 故该函数有唯一零点属于区间 ( 3 m 若 ? 为有理数,设 ? ? ( m, n 为正整数,且 m, n 互质) n 3 2 m ? mn ? n3 ? 0 代入到方程中得 3 2 3 (1)当 m, n 均为奇数时, m ? mn ? n 值为奇数不为 0, 3 2 3 (2)当 m, n 一个为奇数,另一个为偶数时, m ? mn ? n 值为奇数不为 0,
由 f '( x) ? 0 ? x ? ?

故 ? 是无理数. 【方法二:】令 f ( x) ? x3 ? x ?1 ? f '( x) ? 3x2 ?1

3 3 或x? 3 3 3 3 由 f '( x) ? 0 ? ? ?x? 3 3 3 3 3 3 所以 f ( x ) 在 (??, ? , ) 上单调减,在 ( , ??) 上单调递增 ) 上单调增,在 (? 3 3 3 3 3 2 3 2 又 f (? ) ? ?1 ? 3 ? 0, f ( ) ? ?1 ? 3 ? 0, f (1) ? ?1 ? 0, f (2) ? 0 3 9 3 9 故该函数有唯一零点属于区间 (1, 2) ,即方程 x3 ? x ? 1 ? 0 恰有一个实根 ? m 若 ? 为有理数,设 ? ? ( m, n 为正整数,且 m, n 互质) n 3 2 3 代入到方程中得 m ? mn ? n ? 0 即 m3 ? n2 (m ? n) ? n2 | m3 ? n ? 1 即 ? 是整数,这与 ? ? (1, 2) 矛盾,因此, ? 是无理数.
由 f '( x) ? 0 ? x ? ? 【方法三:】设 x ? m ? n ? x3 ? m3 ? n3 ? 3mn(m ? n) ? m3 ? n3 ? 3mnx 即 x ? 3mnx ? m ? n ? 0 ,比较方程 x ? x ? 1 ? 0
3 3 3 3

1 ? ? 3 3 1 9 ? 69 3 9 ? 69 ?mn ? ?m n ? ?? ? 3 27 ? m ? n ? 3 ? 18 18 ?m3 ? n3 ? 1 ?m3 ? n3 ? 1 ? ?
即x?
3

9 ? 69 3 9 ? 69 ,所以该方程有唯一实数解, ? 18 18

仍然用反证法证明这个解为无理数,过程同上. (Ⅱ)假设 ? 还满足方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a, b, c ? Z , a ? 0) ,则有
2 ? (1) ?a? ? b? ? c ? 0 将(1)式乘 ? 减去(2)式乘以 a 得: ? 3 (2) ? ?? ? ? ? 1 ? 0 2 ? (1) ?a? ? b? ? c ? 0 将(3)乘以 a 减去(1)式乘以 b 得 ? 2 b ? ? ( a ? c ) ? ? a ? 0 (3) ? ? (a2 ? ac ? b2 )? ? a2 ? bc ? 0

因为 ? 是无理数,所以 ?

?a 2 ? ac ? b 2 ? 0 ? 2 ? ?a ? bc ? 0

a2 2 2 由 a ? 0 ? bc ? 0 ,把 b ? 代入到 a ? ac ? b ? 0 中,得 c a 3 a a ( ) ? ( ) ? 1 ? 0 ,所以 ? ? ,这与 ? 是无理数矛盾, c c c 2 所以, ? 不是任何整数系数二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的根.


2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷word

不是任何整数系数二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a, b, c ? Z , a ? 0) 的根. 2 2014 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷答案 ...

2015年全国高中数学竞赛安徽初赛试题及答案

2015年全国高中数学竞赛安徽初赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(考试时间:2015 年 7 月 4 日上午 9:00—11:30)...

2015年全国高中数学联赛安徽省初赛试题和答案

2015年全国高中数学联赛安徽省初赛试题和答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年全国高中数学联赛安徽省初赛试题(考试时间:2015 年 7 月 4 日上午 9:00-11:...

2014年全国高中数学联赛安徽省赛区初赛试题(扫描版)

2014年全国高中数学联赛安徽省赛区初赛试题(扫描版)_学科竞赛_高中教育_教育专区。 今日推荐 68份文档 新市场营销法则 助推企业成长 ...

2014年全国高中数学联赛安徽省赛区初赛试题

2014年全国高中数学联赛安徽省赛区初赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。 文档贡献者 数学好玩7 贡献于2014-07-10 相关文档推荐 暂无相关推荐文档 ...

2014年全国高中数学联赛试题及答案

2014年全国高中数学联赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。声明:本资料未经过...更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》 由此可设 m ...

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2014...证明你的结论. 2014 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则一. ...

2014年安徽省数学竞赛初赛试题答案

2014年安徽省数学竞赛初赛试题答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014安徽数学预赛试题答案1 2 3 今日推荐 89份文档 爆笑大撞脸 ...

全国高中数学联赛安徽省预赛试题及答案

全国高中数学联赛安徽省预赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 年全国...2014年笑话大全之让你笑个够 儿童笑话大全爆笑 爆笑笑话精选89份文档 应届生求...